Propuesta didáctica para la enseñanza de inecuaciones cuadráticas en el marco funcional

Abstract

Esta tesis tiene como objetivo analizar el efecto que tiene, en términos de aprendizaje, la implementación de una propuesta didáctica para la enseñanza de las inecuaciones cuadráticas, dirigida a estudiantes de cuarto y quinto año de secundaria. El trabajo se enmarca en la metodología de la ingeniería didáctica y se basa en la teoría de marcos de Régine Douady, pues permite interpretar los cambios de razonamiento que los estudiantes realizan al transitar entre diferentes marcos, en particular el algebraico y el funcional, durante la resolución de problemas matemáticos. Se diseñó una secuencia didáctica compuesta por nueve actividades, resueltas únicamente con papel y lápiz, en las que se buscó provocar la movilización entre marcos. Las tareas, basadas en funciones lineales y cuadráticas, permitieron representar comparaciones gráficas y construir los conjuntos de solución desde un enfoque visual antes de abordar el tratamiento algebraico formal. Los resultados mostraron que los estudiantes fueron capaces de activar razonamientos en el marco funcional al analizar gráficas de funciones y que, en muchos casos, lograron realizar transiciones efectivas hacia el marco algebraico. Las actividades favorecieron la comprensión del concepto de conjunto solución a partir de la observación de zonas de intersección o separación entre funciones. No obstante, se identificaron dificultades en la conversión entre marcos, especialmente al interpretar intervalos en relación con la representación gráfica, lo que se sugiere la necesidad de apoyos pedagógicos adicionales en esos puntos críticos. El análisis posterior a la implementación confirmó una correspondencia significativa entre los comportamientos previstos y los observados, lo que valida la pertinencia del diseño propuesto. Asimismo, la secuencia permitió abordar errores frecuentes en la manipulación algebraica desde una perspectiva estructural. En lugar de considerar estos errores como simples fallos técnicos, se interpretaron como señales de una dificultad para movilizar y articular diferentes marcos de razonamiento. En este sentido, el enfoque teórico adoptado brindó herramientas potentes para promover la flexibilidad cognitiva y una comprensión más profunda del álgebra. Se concluye que la propuesta didáctica desarrollada no solo resultó eficaz para la enseñanza de las inecuaciones cuadráticas, sino que representa un modelo potencial de aplicación para otros contenidos del currículo de matemáticas del nivel secundaria. La articulación entre marcos, cuando es promovida mediante tareas cuidadosamente diseñadas, es una vía valiosa para fortalecer el pensamiento algebraico y superar obstáculos persistentes en la enseñanza y aprendizaje del álgebra escolar.

This thesis aims to analyze the learning impact of implementing a didactic proposal for teaching quadratic inequalities for fourth- and fifth-year high school students. The work is framed within the methodology of didactic engineering and based on Régine Douady's frame theory, as it allows for the interpretation of the changes in reasoning that students make when moving between different frameworks, particularly algebraic and functional frameworks, when solving mathematical problems. A teaching sequence was designed consisting of nine activities, solved solely with paper and pencil, which sought to provoke movement between frameworks. The tasks, based on linear and quadratic functions, allowed for graphical comparisons and the construction of solution sets from a visual perspective before addressing the formal algebraic treatment. The results showed that students were able to activate reasoning within the functional framework when analyzing function graphs and, in many cases, were able to make effective transitions to the algebraic framework. The activities fostered understanding of the solution set concept through the observation of intersection or separation zones between functions. However, difficulties were identified in converting between frameworks, especially when interpreting intervals in relation to graphical representation, suggesting the need for additional pedagogical support at these critical points. Post-implementation analysis confirmed a significant correspondence between expected and observed behaviors, validating the relevance of the proposed design. Furthermore, the sequence made it possible to address common errors in algebraic manipulation from a structural perspective. Rather than considering these errors as simple technical glitches, they were interpreted as signs of difficulty mobilizing and articulating different reasoning frameworks. In this sense, the theoretical approach adopted provided powerful tools to promote cognitive flexibility and a deeper understanding of algebra. It is concluded that the developed teaching proposal was not only effective for teaching quadratic inequalities but also represents a potential model for application to other content areas of the secondary mathematics curriculum. The articulation between frameworks, when promoted through carefully designed tasks, is a valuable way to strengthen algebraic thinking and overcome persistent obstacles in the teaching and learning of school algebra.