Existencia de solución global y decaimiento de la solución de un sistema de la jerarquía AKNS

Abstract

En este trabajo estudiaremos el problema de valor inicial asociado al sistema de Ablowitz, Kaup, Newell y Segur (AKNS)

{ ∂ 𝑡 𝑢 + ∂ 𝑥 3 𝑢 + ∂ 𝑥 ( 𝑢 𝑣 2 ) = 0 , 𝑥 , 𝑡 ∈ 𝑅 ,

∂ 𝑡 𝑣 + ∂ 𝑥 3 𝑣 + ∂ 𝑥 ( 𝑢 2 𝑣 ) = 0 ,

𝑢 ( 𝑥 , 0 ) = 𝜑 ( 𝑥 ) ,

𝑣 ( 𝑥 , 0 ) = 𝜓 ( 𝑥 ) .

(1) ⎩ ⎨ ⎧ ​

∂ t ​

u+∂ x 3 ​

u+∂ x ​

(uv 2 )=0,x,t∈R, ∂ t ​

v+∂ x 3 ​

v+∂ x ​

(u 2 v)=0, u(x,0)=φ(x), v(x,0)=ψ(x). ​

(1)

Nuestro objetivo es estudiar la buena formulación local, global y su comportamiento asintótico del problema (1).

Empezaremos demostrando que el problema (1) está bien formulado localmente, cuando los datos iniciales pertenecen a 𝐻 𝑠 × 𝐻 𝑠 H s ×H s con 𝑠 > 3 2 s> 2 3 ​

, y que el tiempo de existencia de solución no depende del orden 𝑠 s del espacio de Sobolev, para ello usaremos la teoría cuasi-lineal de Kato.

A continuación se adaptaron las ideas desarrolladas en Bisognin-Menzala para conseguir los estimados del conmutador, y obtener un “estimado a priori”, que junto con el “principio de extensión” nos permite para datos iniciales pequeños en 𝐻 𝑠 × 𝐻 𝑠 H s ×H s con 𝑠 ≥ 2 s≥2, probar la existencia de una solución global y su comportamiento asintótico.

Finalmente, usando los estimados lineales (de tipo Kenig-Ponce-Vega) extendemos la solución local para datos iniciales en espacios 𝐻 𝑠 × 𝐻 𝑠 H s ×H s con 𝑠 ≥ 1 4 s≥ 4 1 ​

.

In this work, we study the initial value problem associated with the Ablowitz, Kaup, Newell and Segur (AKNS) system

{ ∂ 𝑡 𝑢 + ∂ 𝑥 3 𝑢 + ∂ 𝑥 ( 𝑢 𝑣 2 ) = 0 , 𝑥 , 𝑡 ∈ 𝑅 ,

∂ 𝑡 𝑣 + ∂ 𝑥 3 𝑣 + ∂ 𝑥 ( 𝑢 2 𝑣 ) = 0 ,

𝑢 ( 𝑥 , 0 ) = 𝜑 ( 𝑥 ) ,

𝑣 ( 𝑥 , 0 ) = 𝜓 ( 𝑥 ) .

(1) ⎩ ⎨ ⎧ ​

∂ t ​

u+∂ x 3 ​

u+∂ x ​

(uv 2 )=0,x,t∈R, ∂ t ​

v+∂ x 3 ​

v+∂ x ​

(u 2 v)=0, u(x,0)=φ(x), v(x,0)=ψ(x). ​

(1)

Our objective is to study the well-posedness local, and global and asymptotic behavior of problem (1). We will begin by demonstrating that problem (1) is well-posed locally when the initial data belongs to 𝐻 𝑠 × 𝐻 𝑠 H s ×H s with 𝑠 > 3 / 2 s>3/2, and that the existence time of the solution does not depend on the order 𝑠 s of the Sobolev space; for this, we will use Kato’s quasi-linear theory.

The ideas developed in Bisognin-Menzala were then adapted to obtain the commutator estimates, and obtain an “a priori estimate” which, together with the extension principle, allows us to prove the existence of a global solution and its asymptotic behavior in 𝐻 𝑠 × 𝐻 𝑠 H s ×H s for small initial data with 𝑠 ≥ 2 s≥2.

Finally, using Kenig-Ponce-Vega type linear estimates, we extend the local solution to initial data in spaces 𝐻 𝑠 × 𝐻 𝑠 H s ×H s with 𝑠 > 1 4 s> 4 1 ​

.