Superficies mínimas de traslación en el grupo de Heisenberg

Abstract

Un grupo de Lie es una variedad diferenciable que también tiene cualidad de grupo, y su operación producto y el tomar inversa respetan la estructura diferenciable. El prototipo más simple de variedad es el espacio euclidiano, y por tanto es más que conocido; sin embargo, si cambiamos la operación rutinaria, la estructura geométrica que le otorga a la variedad es diferente a la ya conocida. Este nuevo espacio en el que trabajaremos es conocido como el Grupo de Heisenberg. En esta variedad, estudiaremos una clase particular de superficies mínimas. Dividiremos nuestro estudio en tres partes. En la primera parte construiremos el ya conocido Grupo de Heisenberg a partir de la motivación de generalizar el espacio euclidiano. Además, trabajaremos la geometría heredada por los campos invariantes izquierda que definiremos. En la segunda parte estudiaremos las superficies en el grupo de Heisenberg, lo que involucra definir y ejemplificar algunas nociones básicas. Además, se darán los primeros ejemplos de superficies mínimas en este espacio. En la tercera parte abordaremos las llamadas superficies mínimas de traslación. Esta clase de superficies nacen de la motivación por replicar el estudio realizado por Scherk en el espacio euclidiano.