2. Maestría

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Tesis de la Escuela de Posgrado

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    Optimización de pago de dividendos bajo una tasa de interés estocástica considerando el tiempo de ruina
    (Pontificia Universidad Católica del Perú, 2024-10-31) Peres Malarin, Luis Miguel; Farfán Vargas, Jonathan Samuel
    En el presente trabajo de tesis estudiaremos el problema de optimización de pago de dividendos para una compañía de seguros. El excedente de la empresa y la tasa de interés de descuento son modelados por procesos de difusión. Además, en la función de valor clásica se considera un término que depende de la vida útil de la compañía. Este término representa el valor presente que una compañía gana mientras se encuentra en actividad. El objetivo principal del problema es encontrar la función de valor y una estrategia ´optima para el pago de dividendos que maximice el valor esperado de los dividendos descontados acumulados hasta el tiempo de ruina de la compañía. Para este trabajo consideraremos dos escenarios: (I) Cuando la tasa de dividendos es acotada. En este primer escenario tenemos dos subescenarios que se originan por los parámetros iniciales asociados al modelo. En el primero, encontramos la forma explícita de la función de valor y la estrategia de pago de dividendos ´optima. En este caso, se debe pagar la máxima tasa durante la vida útil de la compañía. Además, demostramos un teorema de verificación asociado a nuestro problema. En el segundo caso, encontramos la solución de la ecuación HJB asociada al modelo, la cual a través de un teorema de verificación demostramos que es efectivamente la función de valor asociada a nuestro problema. La estrategia de pago de dividendos ´optima es de tipo barrera. Es decir, se debe pagar la máxima tasa cuando el excedente de la compañía supera una cierta barrera y no se debe pagar dividendos cuando el excedente está por debajo de esta barrera. En ambos subescenarios se muestran ejemplos numéricos para diferentes valores de los parámetros iniciales de nuestro modelo. (II) Cuando la tasa de dividendos no es acotada. En este caso, encontramos la solución de la ecuación HJB asociada a nuestro modelo y a través de un teorema de verificación demostramos que la solución obtenida es efectivamente la función de valor asociada a nuestro problema. Además, encontramos de forma explícita la función de valor y la estrategia ´optima de pago de dividendos. Esta estrategia consiste en pagar en cada instante el máximo de los excesos del excedente de la compañía sobre una cierta barrera hasta dicho instante, caso contrario no se paga dividendos. Finalmente, se muestran ejemplos numéricos para poder visualizar los resultados obtenidos.
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    Functional Central Limit Theorems and Unit Root Testing
    (Pontificia Universidad Católica del Perú, 2024-06-28) Aquino Chávez, Juan Carlos; Rodríguez Briones, Gabriel Hender
    This paper analyzes and employs two versions of the Functional Central Limit Theorem within the framework of a unit root with a structural break. Initial attention is focused on the probabilistic structure of the time series to be considered. Later, attention is placed on the asymptotic theory for nonstationary time series proposed by Phillips (1987a), which is applied by Perron (1989) to study the e¤ects of an (assumed) exogenous structural break on the power of the augmented Dickey- Fuller test and by Zivot and Andrews (1992) to criticize the exogeneity assumption and propose a method for estimating an endogenous breakpoint. A systematic method for dealing with e¢ ciency issues is introduced by Perron and Rodríguez (2003), which extends the Generalized Least Squares detrending approach due to Elliott, Rothenberg, and Stock (1996).
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    Existencia de equilibrio competitivo en economias con bienes indivisibles y el teorema de unimodularidad
    (Pontificia Universidad Católica del Perú, 2022-03-24) Leiva Huamaní, Pedro Luis; Jordan Liza, Abelardo
    En esta tesis estudiamos un nuevo enfoque sobre las preferencias de un agente que adquiere cestas de consumo con bienes indivisibles y tenemos como objetivo principal encontrar condiciones bajo las cuales el equilibrio competitivo siempre existe para economías con bienes indivisibles en las que participan un conjunto finito de agentes. Por este motivo, consideramos una economía con n distintos bienes indivisibles que están disponibles en múltiples unidades y con un precio lineal, donde las preferencias de un agente están representadas por una función real definida sobre un subconjunto finito no vacío de Zn, llamada valoración. De esta manera, el primer objeto que estudiamos es el "Conjunto de precios de indiferencia" (LIP), el cual está conformado por los vectores de precios (en IRn) que hacen que el agente sea indiferente entre más de una cesta de consumo. Además, se demuestra que este conjunto está conformado por una colección finita de conjuntos convexos (n - 1)-dimensionales, los cuales forman un complejo poliedral racional (n - 1)-dimensional. Después de esto, enunciamos el teorema de equivalencia valoración-complejo, el cual afirma que cualquier complejo poliedral que satisface una cierta propiedad corresponde al LIP de una valoración y viceversa. De esta manera, podemos estudiar las demandas del agente usando directamente la geometría del LIP. Luego, definimos los "Tipos de demanda D", usando un conjunto de vectores que describen las formas en que las cestas demandadas por el agente pueden cambiar en respuesta a un pequeño cambio en los precios. Finalmente, probamos el "Teorema de unimodularidad", el cual nos proporciona condiciones para la existencia del equilibrio competitivo en este tipo de economías. Cabe mencionar que el principal aporte de este trabajo, es la presentación detallada de los resultados que han sido establecidos en las referencias [1], [2] y [7], tanto en el contexto matemático como económico.
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    Estrategia óptima de inversión-consumo con tasa de interés estocástica y función de utilidad HARA
    (Pontificia Universidad Católica del Perú, 2022-03-22) Guillen Mendoza, Abel; Farfan Vargas, Jonathan Samuel
    En el presente trabajo estudiamos el problema de optimizaci on de inversión-consumo en tiempo continuo cuando la tasa de inter es es estocástica (bajo el modelo de Vasicek, de Hull-White y de Ho-Lee) y la función de utilidad pertenece a la familia de funciones HARA (Hyperbolic Absolute Risk Aversion), la cual engloba funciones de utilidad que se emplean frecuentemente en problemas de optimizaci on de portafolios de inversi on. El objetivo es encontrar una estrategia din amica de distribuci on de la riqueza de un individuo entre consumo e inversi on en instrumentos financieros riesgosos (cuyos precios est an gobernados por movimientos geom etricos brownianos) y uno libre de riesgo con retorno igual a la tasa de inter es, la cual debe maximizar su utilidad agregada durante un periodo de tiempo finito. Este problema de control optimo estoc astico se resuelve usando el principio de programaci on din amica, por lo que se busca una funci on que resuelva la ecuaci on de Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB). Para simplificar esta ecuación diferencial parcial no lineal en tres variables empleamos la transformada de Legendre, la cual reduce el problema a dos ecuaciones diferenciales parciales lineales en dos variables. Estas se resuelven aplicando el principio de Duhamel, con lo cual conseguimos otra manera de obtener la soluci on del problema a la planteada por Chang y Chang en [4]. Los aportes principales del trabajo son el teorema de verificación que demuestra que la funci on hallada que resuelve la ecuaci on HJB equivale a la función de valor del problema de inversión-consumo, la demostración de que las funciones en las que se alcanzan los supremos en la ecuaci on HJB forman la estrategia óptima, y el desarrollo del problema de inversión-consumo bajo los modelos de Hull-White y de Ho-Lee de tasa de interés.
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    El browniano fraccionario y el cálculo de Malliavin en las finanzas cuantitativas
    (Pontificia Universidad Católica del Perú, 2022-03-22) Soldevilla Cueva, Abraham Alonso; Alos Alcalde, Elisa
    Podemos definir "Finanzas cuantitativas" como la rama de las finanzas donde se desarrollan e implementan modelos matemáticos complejos, los cuales usarán las empresas para tomar decisiones sobre la gestión de riesgos, futuras inversiones y los precios de nuevos productos financieros. El objetivo de la investigación es presentar el Movimiento Browniano Fraccionario y Elementos del Cálculo de Malliavin en su uso para determinar el precio de los derivados financieros. Con el fin de mostrar como son aplicados diversos objetos matematicos y sus contextos en las Finanzas cuantitativas replico los tres resultados sobre derivados de volatilidad propuestos en 2009 por Peter Carr y Roger Lee en su publicación titulada "Volatility Derivatives[8]", los cuales se evalúan mediante ejercicios de simulación y utilizando el cálculo de Malliavin, siguiendo el trabajo de Elisa Àlos y Kenichiro Shiraya titulado "Estimating the Hurst parameter from short term volatility swaps: a Malliavin calculus approach".
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    Modelos de regulación monopólica bajo información asimétrica
    (Pontificia Universidad Católica del Perú, 2022-03-02) Inga Martel, Andy Marcial; Calagua Mendoza, José Braulio
    En un modelo tradicional, la política de regulación de un monopolio recomienda que el precio se sitúe al nivel del costo marginal y que el tamaño del subsidio permita a la firma cubrir sus costos fijos. Sin embargo, estos resultados se basan en un supuesto irreal, en el cual todos los agentes tienen información perfecta para tomar sus decisiones de manera óptima. Dado este panorama, el objetivo de este trabajo es presentar los principales modelos de regulación en un contexto de información asimétrica, en el cual el regulador tiene información imperfecta acerca de algunas características de la firma (costos, calidad del bien/servicio, entre otros) o del mercado (demanda). En particular, se presenta dos grupos de modelos: (i) los modelos unidimensionales, caracterizados porque la asimetría de información ocurre solo en un parámetro (costos); y (ii) los modelos bidimensionales, en donde la asimetría de información se da en dos parámetros conjuntamente (costos y demanda). Para estos modelos, la política regulatoria di ere del caso tradicional, ya que el precio regulado, en general, supera al costo marginal y el subsidio entregado a la firma no necesariamente cubre la totalidad de sus costos. Estos resultados se producen en un contexto en el cual el regulador busca reducir la ventaja informacional de la firma. Adicionalmente este trabajo encontró resultados distintos al ejemplo planteado en el documento original de Lewis and Sappington (1988b). Este hallazgo constituye la principal contribución realizada en este documento.
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    Control óptimo estocástico de una cuenta individual de capitalización en el sistema privado de pensiones del Perú
    (Pontificia Universidad Católica del Perú, 2022-01-12) Castañeda Medina, Ranu; Gasco Campos, Loretta Betzabe Rosa
    El presente trabajo estudia los efectos de los cargos administrativos en saldo y/o en flujo que aplica una administradora de fondos de pensiones sobre una cuenta de retiro individual durante el periodo de acumulación. Los cargos administrativos y el aporte mensual del contribuyente son modelados a través de funciones determinísticas, continuas y acotadas en un intervalo de tiempo [0, T] con T ∈ R; y luego, haciendo uso de la teoría de control ´optimo estocástico, se establece un problema de programación dinámica mediante el cual maximizamos la utilidad esperada de la riqueza terminal del aportante. La solución del problema antes mencionado nos permite obtener expresiones analíticas que relacionan los parámetros del modelo. Así mismo, se han propuesto funciones candidatas para cada uno de los parámetros que estamos modelando, los cuales fueron ajustados a la realidad de los sistemas pensionarios y que a su vez permitan la tractabilidad analítica del modelo. Particularmente, se abordó el caso de la comisión por saldo y de la tasa de contribución, llegando a proponer funciones que se ajustan a nuestros requerimientos teóricos y prácticos. Finalmente, para la aplicación numérica del modelo se usó como caso particular al Sistema Privado de Pensiones del Perú (SPP), tomando como punto de partida los actuales valores de las comisiones y ratios. Posteriormente, se muestra la dinámica de la comisión en saldo, ajustada a diferentes periodos de acumulación, en relación a la comisión en flujo. De esta manera, la aplicación de este trabajo en el SPP es muy ´útil como herramienta de benchmarking.
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    Una propuesta didáctica basada en la orquestación instrumental: Interpretación del análisis marginal en funciones económicas
    (Pontificia Universidad Católica del Perú, 2021-11-10) Tasayco Casas, Pedro Daniel; Flores Salazar, Jesús Victoria
    La presente investigación tiene por objetivo diseñar una propuesta didáctica basada en la Orquestación Instrumental que permita que los estudiantes de economía interpreten el análisis marginal de funciones económicas para lo cual nos hemos planteado la siguiente pregunta de investigación: ¿El diseño de una propuesta didáctica basada en la Orquestación Instrumental podría permitir que los estudiantes de economía interpreten el análisis marginal de funciones económicas? Para responder dicha pregunta recurriremos a aspectos de la Genesis Instrumental y Orquestación Instrumental como base teórica mientras que la metodología tiene un enfoque cualitativo. Se propusieron dos secuencias didácticas con configuraciones en educación virtual con el apoyo del Geogebra y los modos de ejecución se basaron en la tipología propuesta por Şay y Akkoç, (2016) con el objetivo de provocar la emergencia de los esquemas uso, de acción instrumentada y acción colectiva instrumentada. Las secuencias didácticas buscan la Génesis instrumental del análisis marginal para que los estudiantes de economía puedan usarlo en la toma de decisiones en contextos económicos Finalmente, en cada actividad hemos propuesto posibles esquemas de usos y de acción instrumentada que debería emerger al desarrollar la actividad. Estas serán identificables a través de técnicas instrumentadas, lo cual nos llevaría a concluir que, si los estudiantes de economía son capaces de resolver desarrollar las preguntas relacionadas al análisis marginal, entonces alcanzarían la Genesis Instrumental, siendo así observable la emergencia de técnicas instrumentadas en el estudiante de economía.
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    Estudio de un modelo dinámico estocástico para las decisiones de compra de bienes durables
    (Pontificia Universidad Católica del Perú, 2020-12-01) García Carpio, Juan Manuel; Gasco Campos, Loretta Betzabé
    El trabajo de tesis muestra en detalle los fundamentos matemáticos del modelo estocástico para las decisiones de compra de un bien durable cuyas características son heterogéneas en el mercado y cambian en el tiempo, planteado por Melnikov (2001), el cual se basa en la hipótesis de utilidad aleatoria propuesta por McFadden (1978, 1981) y permite la estimación de los determinantes y la evolución de las ventas de este tipo de bienes. En este modelo se considera que los individuos toman la decisión de comprar el bien durable a partir de la maximización de la utilidad esperada a lo largo del tiempo. La decisión de un individuo se descompone en dos etapas: i. selección de la alternativa del bien durable que maximiza su utilidad en cada momento asumiendo la hipótesis de utilidad aleatoria aditiva. ii. determinación del momento óptimo para realizar la compra de la alternativa elegida en la etapa anterior. El problema estudiado se plantea como una generalización de los modelos de elección discreta estáticos o de un periodo. Para ello, se presenta el modelo de elección discreta de los individuos ante un conjunto de alternativas, y se asume el supuesto de maximización de la utilidad aleatoria, utilizando el marco analítico de la teoría económica de elección de la demanda. Asimismo, se indica las condiciones bajo las cuales es posible analizar las decisiones de una población mediante un agente representativo que demanda proporciones de cada alternativa que coinciden con las probabilidades de elección, específicamente, mediante el supuesto de errores aleatorios que afectan la utilidad de forma aditiva y que tienen distribución de Valor Extremo (generando modelos de elección del tipo Logit Multinomial). Posteriormente, se plantea el problema de la decisión sobre el momento en que el individuo representativo compra una alternativa del bien durable asumiendo que, en cada período, se cumplen el supuesto de maximización de la utilidad aleatoria. Se presenta este problema como uno de optimización dinámica estocástica (específicamente de Tiempo de Parada Óptimo), se identifica las condiciones bajo la cuales existe una solución, y se muestra sus principales características. Finalmente, se discute los resultados del modelo en cuanto a la dinámica de las compras agregadas del bien durable.
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    Modelo de riesgo periódico con cambio de régimen para las empresas aseguradoras del sector agrícola
    (Pontificia Universidad Católica del Perú, 2020-01-31) Santana Flores, Carlos Alberto; Oliveros Ramos, David Ricardo
    El modelo de riesgo es un proceso donde se observa la evolución, a través del tiempo, de las utilidades de una empresa que nos permite identificar el momento donde se puede obtener utilidades negativas, además de ver la intensidad de esta pérdida. Hemos considerado para el presente trabajo una empresa aseguradora del rubro agrícola, debido a que creemos que es el sector productivo más vulnerable a los hechos catastróficos climatológicos generando grandes pérdidas a las personas que tienen como princiapal actividad la agricultura. Los objetivos propuestos son: Desarrollar la teoría básica de medidas aleatorias y proceso de conteo, enunciar y demostrar las propiedades del proceso de Poisson para el caso de una intensidad estocástica, describir el modelo de Cox con intensidad peri ódica con cambio de régimen, desarrollar los límites superiores de probabilidad de ruina, además de realizar un caso aplicativo donde se muestra las repercusiones en las utilidades de la empresa y el precio de la prima del seguro a medida que se presenten cambios climatológicos en dos posibles escenarios. La propuesta del modelo que se considera en este trabajo, está relacionado al número de ocurrencias (o hechos desafortunados), un proceso de Poisson no homogéneo con una intensidad λ(t) estocástico asociado a un cambio de régimen que es expresada mediante una cadena de Markov. Las conclusiones obtenidas determinan la existencia de una relación directa entre el precio de la prima y el número de incidentes catastróficos; así como cierta relación inversa entre las utilidades de la empresa y el incremento de la frecuencia.