Algunos invariantes topológicos y formales de foliaciones holomorfas

Abstract

Una foliación holomorfa singular en una vecindad del punto singular en el plano complejo (excluyendo dicho punto) determina una descomposición en subvariedades complejas inmersas de dimensión uno, conocidas como superficies de Riemann. Para analizar el comportamiento de estas foliaciones, se emplean herramientas analíticas, topológicas y formales. En este trabajo, se estudian dichas foliaciones a través de ciertos invariantes topológicos, como el número de Milnor [CNS84]. Con ello se prueba que las sillas nodo y las curvas generalizadas son invariantes topológicos. Por otro lado, desde el punto de vista formal, la ecuación equilibrada [Gen07] permite, en el caso dicrítico, determinar un número finito de separatrices que proporcionan información sobre la estructura de las infinitas separatrices.

A singular holomorphic foliation in a neighborhood of its singular point in the complex plane (excluding the point itself) induces a decomposition into immersed complex onedimensional submanifolds, known as Riemann surfaces. The study of the behavior of such foliations relies on analytical, topological, and formal techniques. In this work, we investigate these foliations through certain topological invariants, such as the Milnor number [CNS84], and we show that saddlenodes and generalized curves are topological invariants. From a formal perspective, the balanced equation [Gen07] allows, in the dicritical case, the determination of a finite set of separatrices that provides essential information about the structure of the infinitely many separatrices.