Front instabilities in stochastic reaction-diffusion equations

Abstract

Las reacciones químicas autocatalíticas dan lugar a fenómenos complejos como las reacciones oscilatorias y la formación de patrones químicos. Experimentos en las reacciones de Belousov-Zhabotinsky y de iodato-ácido arsenioso (entre otras) exhiben frentes de reacción que separan reactivos de productos de la reacción. La propagación de los frentes es debida al efecto conjunto de la reacción y la difusión molecular. La mayoría de los estudios teóricos en estos sistemas se basan en modelos deterministas. Sin embargo, al realizar experimentos, fluctuaciones aleatorias estarán presentes. El objetivo de este trabajo es realizar un análisis numérico de los efectos del ruido externo en frentes de reacción-difusión. Nos enfocamos en un sistema c ́ubico de reacción-difusión con dos especies químicas que poseen distintos coeficientes de difusión. Al propagarse en dominios bidimensionales, estos frentes experimentan inestabilidades transversales que dependen de la razón entre dichos coeficientes. En esta tesis, exploramos cómo el ruido estocástico influye en estas inestabilidades. Para ello, aplicamos dos métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales estocásticas: Heun y Milstein. Resolvemos numéricamente el sistema para distintos valores del ancho del dominio, observando transiciones entre estados estacionarios del sistema. Encontramos que el ruido incrementa la velocidad del frente de propagación. También observamos que, al aumentar el ruido, las transiciones ocurren en dominios de menor ancho. Además, cuando la amplitud del ruido es muy pequeña, las ecuaciones estocásticas pueden aproximarse a ecuaciones diferenciales de difusión. Los resultados obtenidos con esta aproximación son altamente confiables, ya que se asemejan a la solución completa estocástica.

Autocatalytic chemical reactions give rise to complex phenomena such as oscillatory behavior and chemical pattern formation. Experiments involving the Belousov-Zhabotinsky and iodate–arsenious acid reactions (among others) exhibit reaction fronts that separate reactants from products. The propagation of these fronts is driven by the combined effect of chemical reaction and molecular diffusion. Most theoretical studies are based on deterministic models. However, real experiments inevitably involve random fluctuations. The objective of this work is to carry out a numerical analysis of the effects of external noise on reaction-diffusion fronts. We focus on a cubic reaction-diffusion system involving two chemical species with different diffusion coefficients. As the fronts propagate in two-dimensional domains, they experience transverse instabilities that depend on the ratio between these diffusion coefficients. In this thesis, we explore how stochastic noise influences these instabilities. We apply two numerical methods to solve stochastic differential equations: Heun and Milstein. We numerically solve the system for various domain widths, observing transitions between steady traveling states. We find that noise increases the velocity of the propagating front. We also observe that as noise increases, these transitions occur at narrower domain widths. Moreover, in the limit of small noise amplitude, the stochastic equations can be approximated by diffusion equations. The results obtained using this approximation show excellent agreement with the full stochastic solution.