2. Maestría
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Tesis de la Escuela de Posgrado
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Item Uniformización de subconjuntos hiperbólicos del plano(Pontificia Universidad Católica del Perú, 2024-10-17) Castillo Ayaque, José Luis Enrique; Poirier Schmitz, Alfredo BernardoEn el presente trabajo se estudia la construcción de los recubrimientos universales de subconjuntos hiperbólicos del plano (es decir, de subconjuntos abiertos y conexos que omiten al menos tres puntos de la esfera de Riemann).Item Dinámica simbólica para conjuntos de rotación(Pontificia Universidad Católica del Perú, 2024-07-19) Lozano Cerna, Alexander Manuel; Poirier Schmitz, Alfredo BernardoEn el presente trabajo se estudian los conjuntos de rotación irracional dentro de la dinámica de multiplicación por d en el círculo unitario. Se presenta la dinámica simbólica necesaria para poder extraer la existencia de conjuntos de rotación irracional dentro este esquema de multiplicación por d. Se introduce el espacio de desplazamiento, donde se le asigna una secuencia simbólica a los puntos a fin de hacerla compatible con el desplazamiento. Luego se muestra que existen estos conjuntos de rotación irracional y se estudian sus principales características. Como las secuencia de desplazmiento en d simbólos pueden ser concretizadas dentro del círculo como multiplicación del argumento por d, esto en efecto permite materializar rotaciones.Item Obstrucción cohomológica para extensión de deformaciones de algebras asociativas(Pontificia Universidad Católica del Perú, 2024-07-16) Muñoz Ugarte, Bernardo Luis; Valqui Haase, Christian HolgerEn el estudio de la teoría de deformaciones se observa que hay por lo menos tres tipos distintos, estos tipos aparecen en análisis, algebra y geometría algebraica. La teoría de deformaciones es una idea que proviene desde Riemann con el estudio de las deformaciones de estructuras complejas de variedades Riemannianas. Por otro lado, las deformaciones en el área de la geometría algebraica datan casi desde la aparición de esta área, ya que los objetos algebro-geométricos pueden ser “deformados” con una variación de los coeficientes de sus ecuaciones de definición. En el estudio de la teoría de deformaciones formales de algebras aparecen algunas preguntas que aún se encuentran abiertas. Es en el caso particular de algebras asociativas donde aparece un problema, no resuelto en general. Para explicar de que trata este problema debemos partir de la definición de deformación de un álgebra asociativa. Es a partir de la condición de asociatividad, donde se observa que el “infinitesimal” de una deformación es un cociclo de Hochschild. Se plantea entonces la pregunta “¿Dado un cociclo de Hochschild, resulta ser este cociclo el “infinitesimal” de una deformación?”. Desglosaremos el problema en una construcción recursiva de deformaciones truncadas. La obstrucción a extender una deformación truncada de grado n a una de grado n+1 es un cociclo de Hochschild. Este resultado que es uno de los resultados principales en la teoría de deformaciones, se probara en la Proposición 10. 2. Para ello empleamos la teoría de algebras graduadas y conceptos como anillos de Lie y pre-Lie graduados así como sistemas pre-Lie. En el desarrollo de este trabajo se mostrará, además del resultado, la manera de trabajar con distintos conceptos y como trabajar con operadores que aparecerán a lo largo del desarrollo.Item Foliaciones algebraicas unidimensionales determinadas únicamente por sus singularidades(Pontificia Universidad Católica del Perú, 2024-03-08) Burgos Namuche, Graciela Del Pilar; Fernandez Sanchez, Percy BraulioUna foliación algebraica unidimensional Fα es aquella que es generada por un campo vectorial meromorfo α ∈ H0(Pn,ΘPn(1 − d)), donde d > 1 sobre el espacio proyectivo complejo Pn. En este trabajo estudiaremos cómo determinar las foliaciones holomorfas unidimensionales mediante sus singularidades usando la cohomología de haces asociadas a las foliaciones holomorfas. El trabajo está basado en la investigación desarrollada por Xavier Gómez-Mont y George Kempf en [GMK89].Item Introducción a la desingularización y equisingularidad(Pontificia Universidad Católica del Perú, 2024-01-31) Díaz Díaz, Rosa Marivel; Neciosup Puican, HernanCon el propósito de explicar la desingularización y la equisingularidad, este trabajo examina en detalle las nociones de explosiones básicas y cruzamientos normales iniciando con ejemplos en el plano real para luego formalizarlas. Al trabajar con funciones analíticas, se puede tener una uniformización local de la misma, y así construir transformaciones birracionales que son necesarias para el estudio de variedades algebraicas singulares. Para el problema de la equisingularidad se estudia la desingularización global y se define el homeomorfismo analítico por explosión. Se describen algunos invariantes analíticos, esto es propiedades que se mantienen invariantes con la equisingularidad. Se hace un breve estudio de la relación del polígono de Newton con la desingularización y la relación del homeomorfismo analítico por explosión con las funciones bi-Lipschitz. Este trabajo de tesis tiene el enfoque de los trabajos de Tze-Char Kuo y Laurentiu Paunescu.Item Función exponencial: un estudio basado en la teoría de registros de representación semiótica para estudiantes de bachillerato(Pontificia Universidad Católica del Perú, 2024-01-31) Carhuallanqui Poma, Tomás Arturo; Peñaloza Vara, Tito NelsonLa presente investigación tiene por objetivo analizar cómo estudiantes de quinto de secundaria comprenden la noción de función exponencial con base en la Teoría de Registros de Representación Semiótica al realizar una secuencia de actividades. Los estudiantes tienen edades de 16 a 17 años, forman parte del Programa del Bachillerato Internacional de una institución privada de Lima-Perú. Para conseguir este propósito se ha empleado algunos aspectos de la Teoría de Registros de Representación Semiótica (TRRS); tomando en cuenta los registros en lengua natural, algebraico y gráfico. Además, la configuración del Registro Gráfico Dinámico (RGD) nos permite reconocer el desarrollo de aprehensiones. La metodología aplicada es de tipo cualitativa y como método se utiliza la Ingeniería Didáctica. En relación a la parte experimental, hemos seleccionado a cuatro estudiantes agrupados en dos duplas, quienes desarrollan dos actividades; la primera en relación al reconocimiento de la función exponencial f(x) = A . bx junto a características del dominio y rango, la segunda respecto a la monotonía de dicha función. Estas actividades inician con el uso de GeoGebra en Línea para mejorar la comprensión de ciertas características del objeto matemático y terminan en el uso de lápiz y papel para resolver problemas extramatemáticos que permitan evidenciar la comprensión de lo visto en la primera actividad. Por último, los resultados mostraron que los estudiantes logran realizar transformaciones de las representaciones en diferentes registros semióticos junto al desarrollo de aprehensiones, lo que significó la comprensión de la noción de función exponencial.Item Aprehensiones en la descripción geométrica de la derivada direccional en docentes en formación continua mediado por el GeoGebra(Pontificia Universidad Católica del Perú, 2024-01-22) Menacho Vilca, John Bryan; Peñaloza Vara, Tito NelsonLa presente investigación tiene como objetivo el estudio de las aprehensiones desarrolladas por docentes en formación continua, cuando movilizan nociones geométricas preliminares asociado a la derivada direccional por medio de su registro gráfico dinámico mediado por el GeoGebra. Para tal propósito se recopiló información que permita justificar la relevancia de la investigación desde su perspectiva académica, además de su pertinencia e impacto del uso de software de representación (en este caso el GeoGebra) cuando se trabaja con representaciones gráficas en un ambiente tridimensional dinámico. Como marco teórico se consideró aspectos de la Teoría de Registro de Representación Semiótica, referido específicamente al registro gráfico dinámico y al estudio de las aprehensiones perceptiva, discursiva y operatoria. La investigación es de tipo cualitativa, ya que nuestro foco de atención es describir las acciones y comportamientos de los sujetos participantes al momento de interactuar en las actividades diseñadas bajo el objetivo de tesis, por lo cual, el procedimiento metodológico realizado sigue los criterios propios de una investigación de corte cualitativo. Los resultados obtenidos nos permiten concluir que los docentes en formación continua logran desarrollar sus aprehensiones al movilizar conceptos geométricos asociados a la representación algebraica de la derivada direccional por medio de actividades mediadas por el GeoGebra, lo cual nos permite dar como respuesta a la pregunta de investigación: ¿Cómo una secuencia didáctica mediada por el GeoGebra favorecería a los docentes en formación continua desarrollar su aprehensión perceptiva, discursiva y operatoria en relación a la comprensión geométrica de la derivada direccional asociado a su representación algebraica?Item Enumeración de singularidades de foliaciones holomorfas por curvas(Pontificia Universidad Católica del Perú, 2023-11-28) León Chávarri, Eduardo José; Fernandez Sanchez, Percy BraulioUna foliación holomorfa singular por curvas es una estructura geométrica definida sobre una variedad compleja, cuyo prototipo local es la familia de curvas integrales de un campo vectorial holomorfo. Los ceros de estos campos locales, denominados puntos singulares de la foliación, son especiales tanto desde un punto de vista topológico como analítico, ya que la curva integral que pasa por un punto singular es simplemente el punto singular mismo. En este trabajo, contaremos los puntos singulares de una foliación por curvas de una variedad compleja compacta. Pese a la naturaleza geométrica de nuestro problema, la principal herramienta que usaremos para resolverlo es la topología algebraica. Más precisamente, construiremos las clases de Chern ci(E) de un fibrado vectorial complejo E → M y las interpretaremos como obstrucciones a que existan una o varias secciones linealmente independientes de E. Aplicando esta interpretación a una variedad compleja compacta M y un fibrado tangente torcido E = T M ⊗ L, obtendremos el número de puntos singulares de una foliación definida por una sección holomorfa de E.Item Interacción de conocimientos tecnológicos con el espacio de trabajo matemático idóneo de profesores sobre cuadriláteros(Pontificia Universidad Católica del Perú, 2023-09-27) Théry Romero, Morella Cristina; Flores Salazar, Jesús VictoriaLa presente investigación tiene como objetivo analizar la interacción de los conocimientos tecnológicos que poseen los profesores de matemática de secundaria en la planificación de la enseñanza de cuadriláteros. Para ello, se utilizó una metodología cualitativa, el cual permite identificar los conocimientos tecnológicos de profesores de secundaria para enseñar cuadriláteros a través de la utilización de diferentes instrumentos de recolección de datos. Los cuestionarios y tareas se aplicaron como parte de una formación docente sobre herramientas tecnológicas para la enseñanza de cuadriláteros. Durante la investigación, se trabajó con la teoría Espacio de Trabajo Matemático (ETM) y el modelo Conocimientos Tecnológicos Pedagógicos del Contenido para Matemática (TPACK). Los resultados obtenidos muestran que los profesores perciben el uso de tecnología como un elemento que, para sus estudiantes, es más motivador e intentan incluirlo en su planificación de sesiones de clase para enseñar cuadriláteros. Por ello, podemos establecer que diseñar un plan de formación nutrido y profundo sobre el uso de tecnologías para la enseñanza de cuadriláteros es fundamental en la formación de profesores. Los conocimientos tecnológicos para la enseñanza de cuadriláteros que poseen los profesores, cambian y determinan los artefactos que los profesores seleccionan para presentar el objeto matemático a sus alumnos y el nivel y tipo de exploración que planifican para sus estudiantes.Item Dominios de Fatou Bieberbach generados por automorfismos(Pontificia Universidad Católica del Perú, 2022-12-15) Puchoc Quispe, Jose Luis; Rosas Bazan, Rudy JoseEn la presente tesis se estudia una forma de encontrar dominios de Fatou-Bieberbach, a partir de un automorfismo de Cn. Específicamente estos dominios serán las cuencas de atracción hacia un punto fijo del automorfismo. El trabajo está basado en la investigación desarrollada por Jean Pierre Rosay y Walter Rudin en [RR88]. En el primer capítulo se desarrolla los preliminares que necesitamos para la demostración de los teoremas de los capítulos posteriores: básicamente, el estudio de aplicaciones holomorfas y teoría espectral de operadores lineales. En el segundo capítulo se prueba una versión débil del teorema principal de este trabajo. Este teorema nos brinda varios ejemplos interesantes de dominios de Fatou-Bieberbach en C2. Finalmente, en el capítulo 3 se desarrolla el teorema principal de la tesis. Se prueba que si un automorfismo tiene un punto fijo y en ese punto fijo su radio espectral es menor que uno, entonces la cuenca de atracción del punto fijo vía el autotomorfismo es un dominio de Fatou-Bieberbach.