2. Maestría
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Tesis de la Escuela de Posgrado
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Item Optimización de pago de dividendos bajo una tasa de interés estocástica considerando el tiempo de ruina(Pontificia Universidad Católica del Perú, 2024-10-31) Peres Malarin, Luis Miguel; Farfán Vargas, Jonathan SamuelEn el presente trabajo de tesis estudiaremos el problema de optimización de pago de dividendos para una compañía de seguros. El excedente de la empresa y la tasa de interés de descuento son modelados por procesos de difusión. Además, en la función de valor clásica se considera un término que depende de la vida útil de la compañía. Este término representa el valor presente que una compañía gana mientras se encuentra en actividad. El objetivo principal del problema es encontrar la función de valor y una estrategia ´optima para el pago de dividendos que maximice el valor esperado de los dividendos descontados acumulados hasta el tiempo de ruina de la compañía. Para este trabajo consideraremos dos escenarios: (I) Cuando la tasa de dividendos es acotada. En este primer escenario tenemos dos subescenarios que se originan por los parámetros iniciales asociados al modelo. En el primero, encontramos la forma explícita de la función de valor y la estrategia de pago de dividendos ´optima. En este caso, se debe pagar la máxima tasa durante la vida útil de la compañía. Además, demostramos un teorema de verificación asociado a nuestro problema. En el segundo caso, encontramos la solución de la ecuación HJB asociada al modelo, la cual a través de un teorema de verificación demostramos que es efectivamente la función de valor asociada a nuestro problema. La estrategia de pago de dividendos ´optima es de tipo barrera. Es decir, se debe pagar la máxima tasa cuando el excedente de la compañía supera una cierta barrera y no se debe pagar dividendos cuando el excedente está por debajo de esta barrera. En ambos subescenarios se muestran ejemplos numéricos para diferentes valores de los parámetros iniciales de nuestro modelo. (II) Cuando la tasa de dividendos no es acotada. En este caso, encontramos la solución de la ecuación HJB asociada a nuestro modelo y a través de un teorema de verificación demostramos que la solución obtenida es efectivamente la función de valor asociada a nuestro problema. Además, encontramos de forma explícita la función de valor y la estrategia ´optima de pago de dividendos. Esta estrategia consiste en pagar en cada instante el máximo de los excesos del excedente de la compañía sobre una cierta barrera hasta dicho instante, caso contrario no se paga dividendos. Finalmente, se muestran ejemplos numéricos para poder visualizar los resultados obtenidos.Item Simulación e impacto de estrategias de vacunación en el distrito de Lima utilizando herramientas de analítica y modelamiento matemático(Pontificia Universidad Católica del Perú, 2024-04-17) Samaniego Osorio, Alvaro Danilo; Rojas Polo, Jonatan EdwardLa crisis global causada por el COVID19 ha resaltado la importancia de un manejo estratégico de detección y control de epidemias para minimizar el número de personas contagiadas y reducir el número de personas con complicaciones graves y posterior muerte. La respuesta global ha surgido por tres vías: (1) contención (2) vacunación masiva y (3) reforzamiento de instituciones de salud. Por lo tanto, el objetivo de esta investigación es representar la dinámica de la epidemia del COVID19 como un modelo de programación lineal que permita evaluar distintas políticas basadas en algunas combinaciones de las tres vías antes mencionadas. En el primer capítulo, se detallará el marco teórico y las herramientas matemáticas usadas tales como la programación lineal y los sistemas de información geográfica, así como también la descripción de una epidemia y/o pandemia y sus indicadores claves. En el segundo capítulo, se describirán dos estudios de casos en los que se han aplicado técnicas de modelamiento o de ecuaciones diferenciales parciales para definir estrategias de vacunación en Estados Unidos y Australia. En el tercer capítulo, se hará un breve diagnóstico de la situación actual vista como la evolución temporal de las etapas del COVID19 en Perú incluyendo principales indicadores, así como también la respuesta del país ante esta pandemia con la adquisición de vacunas y la instalación de centros de vacunación. En el cuarto capítulo, se realiza la conceptualización del modelo matemático a partir de una adaptación del modelo compartimental SIR bajo diferentes supuestos que no afectan la linealización del problema. Se presentará el modelo, el código utilizado, los resultados del modelo y un análisis de sensibilidad respecto a los parámetros críticos. En el quinto capítulo, se describirán las principales conclusiones derivadas del modelo y de sus resultados, así como también su aplicabilidad a otras epidemias; asimismo, se incluirán futuros alcances que podrían utilizar este trabajo de investigación como una fuente primaria.Item Clusterización basada en una mixtura con distribuciones normales contaminadas multivariadas con datos incompletos: Una aplicación a la evaluación de habilidades socioemocionales(Pontificia Universidad Católica del Perú, 2023-08-31) Zegarra López, Ángel Christopher; Benites Sánchez, Luis EnriqueAunque la distribución normal es útil en una variedad de contextos, enfrenta ciertas limitaciones al modelar datos que contienen valores extremos. Estos valores pueden generar “colas” más pesadas en la distribución, en contraste con las colas más ligeras de la distribución normal. Por lo tanto, en tales circunstancias, la distribución normal contaminada se presenta como una alternativa efectiva. Este ajuste es especialmente significativo en aplicaciones como la agrupación basada en modelos. En este método, es habitual emplear distribuciones normales multivariadas como fundamento para la agrupación. No obstante, la estimación de parámetros puede verse afectada por la presencia de valores extremos. En este estudio, implementamos la distribución normal contaminada multivariada como base para la agrupación basada en modelos, tal como propone Tong y Tortora (2022). Explicamos las características del modelo y llevamos a cabo un estudio de simulación para contrastar su desempeño con la distribución normal multivariada y la distribución t multivariada. Finalmente, aplicamos un proceso de agrupación basado en una mezcla de distribuciones normales contaminadas multivariadas a un conjunto de datos reales. Estos datos se derivan de los resultados de la Evaluación de Habilidades Socioemocionales, una iniciativa implementada por el Ministerio de Educación de Perú en 2021.Item Inferencia bayesiana aproximada del modelo espacio-temporal usando NNGP(Pontificia Universidad Católica del Perú, 2023-08-23) Benites Alfaro, Omar Eduardo; Quiroz Cornejo, Zaida JesúsLos modelos espacio-temporales nos permiten estudiar la distribución espacial de una variable en el tiempo. Por ejemplo, se puede estudiar la distribución espacial del material particulado en un país a través de los años, dado que las concentraciones de material particulado en estaciones cercanas pueden ser similares y la concentración en una estación en un año puede depender de la concentración en la misma estación el año anterior anterior. En esta tesis se propone usar un modelo espacio-temporal a través del proceso gaussiano de vecinos más cercanos. Para implementar este modelo y aplicarlo en grandes bases de datos se propone usar inferencia bayesiana a través del método de integración aproximada de Laplace (INLA). La bondad de ajuste del modelo y su eficiencia se estudia a través de simulaciones. Finalmente se aplica el modelo implementado a una base de datos reales.Item Análisis del grado de completitud de una organización matemática basada de un recorrido de estudio e investigación sobre el COVID-19 en el nivel superior(Pontificia Universidad Católica del Perú, 2023-07-05) Quispe Palomino, Carlos; Bustamante Ramos, ElvisEn este trabajo de investigación, se pretende realizar un aporte que permita recuperar el sentido de las matemáticas encontrando una razón de ser de los saberes sobre funciones elementales. Esto se debe a que la razón oficial que aparece en el último nivel de la educación secundaria y el primer ciclo de universidad de estos saberes mayormente responde a cuestiones que limitan al estudiante a usar fórmulas o un conjunto de pasos para llegar a la respuesta, mostrando en forma aislada mucho de los saberes de funciones o relacionado a ellos. Por esa razón, en esta investigación, se plantea un problema que permita el proceso de modelización matemática sobre el tiempo de contagio por el virus (COVID-19). Para ello, se diseña e implementa una actividad como propuesta de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, basada en un dispositivo didáctico llamado recorrido de estudio e investigación. Esto permitió que los estudiantes del primer ciclo universitario desarrollen una investigación a partir de una cuestión inicial, que generó diversas cuestiones derivadas determinándose una enseñanza por investigación como el paradigma del cuestionamiento del mundo. Para ello, se estudia por medio de los indicadores de grado de completitud, las organizaciones matemáticas que emergieron en el proceso de modelización de la actividad aplicada. Los resultados fueron que solo dos de los siete indicadores de completitud no llegan a cumplirse por la rigidez en el uso de ostensivos y el escaso uso de tareas inversas.Item Existencia de equilibrio competitivo en economias con bienes indivisibles y el teorema de unimodularidad(Pontificia Universidad Católica del Perú, 2022-03-24) Leiva Huamaní, Pedro Luis; Jordan Liza, AbelardoEn esta tesis estudiamos un nuevo enfoque sobre las preferencias de un agente que adquiere cestas de consumo con bienes indivisibles y tenemos como objetivo principal encontrar condiciones bajo las cuales el equilibrio competitivo siempre existe para economías con bienes indivisibles en las que participan un conjunto finito de agentes. Por este motivo, consideramos una economía con n distintos bienes indivisibles que están disponibles en múltiples unidades y con un precio lineal, donde las preferencias de un agente están representadas por una función real definida sobre un subconjunto finito no vacío de Zn, llamada valoración. De esta manera, el primer objeto que estudiamos es el "Conjunto de precios de indiferencia" (LIP), el cual está conformado por los vectores de precios (en IRn) que hacen que el agente sea indiferente entre más de una cesta de consumo. Además, se demuestra que este conjunto está conformado por una colección finita de conjuntos convexos (n - 1)-dimensionales, los cuales forman un complejo poliedral racional (n - 1)-dimensional. Después de esto, enunciamos el teorema de equivalencia valoración-complejo, el cual afirma que cualquier complejo poliedral que satisface una cierta propiedad corresponde al LIP de una valoración y viceversa. De esta manera, podemos estudiar las demandas del agente usando directamente la geometría del LIP. Luego, definimos los "Tipos de demanda D", usando un conjunto de vectores que describen las formas en que las cestas demandadas por el agente pueden cambiar en respuesta a un pequeño cambio en los precios. Finalmente, probamos el "Teorema de unimodularidad", el cual nos proporciona condiciones para la existencia del equilibrio competitivo en este tipo de economías. Cabe mencionar que el principal aporte de este trabajo, es la presentación detallada de los resultados que han sido establecidos en las referencias [1], [2] y [7], tanto en el contexto matemático como económico.Item Modelos de regulación monopólica bajo información asimétrica(Pontificia Universidad Católica del Perú, 2022-03-02) Inga Martel, Andy Marcial; Calagua Mendoza, José BraulioEn un modelo tradicional, la política de regulación de un monopolio recomienda que el precio se sitúe al nivel del costo marginal y que el tamaño del subsidio permita a la firma cubrir sus costos fijos. Sin embargo, estos resultados se basan en un supuesto irreal, en el cual todos los agentes tienen información perfecta para tomar sus decisiones de manera óptima. Dado este panorama, el objetivo de este trabajo es presentar los principales modelos de regulación en un contexto de información asimétrica, en el cual el regulador tiene información imperfecta acerca de algunas características de la firma (costos, calidad del bien/servicio, entre otros) o del mercado (demanda). En particular, se presenta dos grupos de modelos: (i) los modelos unidimensionales, caracterizados porque la asimetría de información ocurre solo en un parámetro (costos); y (ii) los modelos bidimensionales, en donde la asimetría de información se da en dos parámetros conjuntamente (costos y demanda). Para estos modelos, la política regulatoria di ere del caso tradicional, ya que el precio regulado, en general, supera al costo marginal y el subsidio entregado a la firma no necesariamente cubre la totalidad de sus costos. Estos resultados se producen en un contexto en el cual el regulador busca reducir la ventaja informacional de la firma. Adicionalmente este trabajo encontró resultados distintos al ejemplo planteado en el documento original de Lewis and Sappington (1988b). Este hallazgo constituye la principal contribución realizada en este documento.Item Model-based fault diagnosis via structural analysis of a reverse osmosis plant(Pontificia Universidad Católica del Perú, 2021-05-11) Göpfert, Johannes Georg; Pérez Zúñiga, Carlos Gustavo; Reger, JohannWater desalination is one approach to force water scarcity. One of the processes used for desalination is reverse osmosis. Like other systems, a reverse osmosis plant is susceptible to faults. A fault can lead to a loss of efficiency, or if the fault is severe to a total breakdown. Appropriate measures can minimize the impact of faults, but this requires in time fault detection. The following thesis shows a proposal for an online fault diagnosis system of a reverse osmosis plant. For the model-based approach, a mathematical model of a reverse osmosis plant has been developed. The model contains a new approach for modeling the interaction between the high-pressure pump, the brine valve, and the membrane module. Furthermore, six faults considered for fault diagnosis have been modeled. Two of the faults are plant faults: The leakage of the feed stream and membrane fouling. The other four faults are sensor or actuator malfunctions. The fault diagnosis system is developed via structural analysis, a graph-based approach to determine a mathematical model’s overdetermined systems of equations. With the structural analysis, 73 fault-driven minimal structurally overdetermined (FMSO) sets have been determined. The results show that all six faults are detectable. However, two faults are not isolable. Five of the FMSO sets have been chosen to deduce the residuals used for online fault detection and isolation. The simulations demonstrate that the calculated residuals are appropriate to detect and isolate the faults. If one assumes that only the considered faults occur, it is possible to determine some faults’ magnitude.Item Endpoint-inflated beta-binomial regression for correlated count data(Pontificia Universidad Católica del Perú, 2021-03-29) Fazio Luna, Boris Manuel; Sal y Rosas Celi, Víctor GiancarloEl modelo de regresión binomial con in acción en los extremos permite modelar datos de conteo acotados en los que una alta proporción de las observaciones se encuentra en los extremos. Extendemos el modelo considerando una función de enlace de logit ordenado, la cual aprovecha la información de orden implícita en las probabilidades de in acción y exploramos el uso de efectos aleatorios y marginalización para manejar la presencia de observaciones repetidas. Empleamos un conjunto de datos previamente analizado en la literatura mediante un modelo de regresión binomial con in acción en los extremos que emplea el enlace softmax para mostrar el mejor ajuste logrado por nuestro modelo.Item Aspectos geométricos de la envoltura convexa del movimiento browniano planar(Pontificia Universidad Católica del Perú, 2021-01-19) Quesada Vargas, Juan Carlos; Farfán Vargas, Jonathan SamuelEn el presente trabajo de tesis estudiaremos algunos aspectos geométricos de la envoltura convexa de una trayectoria del movimiento browniano planar en un determinado intervalo de tiempo. De manera más precisa, estudiaremos el perímetro, el área y el diámetro de dicha envoltura convexa. En el primer capítulo, revisaremos el movimiento browniano planar y algunas de sus propiedades tales como el principio de reflexión, la ley de la terna de Lévy y la ley del arcoseno que nos servirá como base teórica para justificar las cotas establecidas por James McRedmond y Chang Xu para estimar el diámetro promedio de dicha envoltura convexa. En el segundo capítulo se estudiarán las principales propiedades de cuerpos convexos y la envoltura convexa de una curva donde se desarrollará las propiedades que nos permitan justificar de manera más clara la fórmula de Cauchy para el perímetro y el área de un cuerpo convexo. En el tercer capítulo se utilizará como teorema principal la fórmula de Cauchy para justificar lo que se encontró de manera explícita tanto para el perímetro promedio y el área promedio de la envoltura convexa del recorrido de un movimiento browniano planar hasta el instante t = 1. Por último, en el cuarto capítulo se utilizará la terna de Lévy como teorema principal para el desarrollo de la estimación del diámetro promedio de dicha envoltura convexa.
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