Estrategia óptima de inversión-consumo con tasa de interés estocástica y función de utilidad HARA

Abstract

En el presente trabajo estudiamos el problema de optimizaci on de inversión-consumo en tiempo continuo cuando la tasa de inter es es estocástica (bajo el modelo de Vasicek, de Hull-White y de Ho-Lee) y la función de utilidad pertenece a la familia de funciones HARA (Hyperbolic Absolute Risk Aversion), la cual engloba funciones de utilidad que se emplean frecuentemente en problemas de optimizaci on de portafolios de inversi on. El objetivo es encontrar una estrategia din amica de distribuci on de la riqueza de un individuo entre consumo e inversi on en instrumentos financieros riesgosos (cuyos precios est an gobernados por movimientos geom etricos brownianos) y uno libre de riesgo con retorno igual a la tasa de inter es, la cual debe maximizar su utilidad agregada durante un periodo de tiempo finito. Este problema de control optimo estoc astico se resuelve usando el principio de programaci on din amica, por lo que se busca una funci on que resuelva la ecuaci on de Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB). Para simplificar esta ecuación diferencial parcial no lineal en tres variables empleamos la transformada de Legendre, la cual reduce el problema a dos ecuaciones diferenciales parciales lineales en dos variables. Estas se resuelven aplicando el principio de Duhamel, con lo cual conseguimos otra manera de obtener la soluci on del problema a la planteada por Chang y Chang en [4]. Los aportes principales del trabajo son el teorema de verificación que demuestra que la funci on hallada que resuelve la ecuaci on HJB equivale a la función de valor del problema de inversión-consumo, la demostración de que las funciones en las que se alcanzan los supremos en la ecuaci on HJB forman la estrategia óptima, y el desarrollo del problema de inversión-consumo bajo los modelos de Hull-White y de Ho-Lee de tasa de interés.