Estratificación del espacio de foliaciones holomorfas de grado 4 en el plano proyectivo complejo

Abstract

La clasificación de las foliaciones holomorfas en P2C es un problema parcialmente resuelto. Cano et al describen las de grados 0, 1 en PnC y Cerveau et al las de grado 2 en P2C, con una sola singularidad. Mumford y Fogarty demuestran que restringiendo la acción lineal de un grupo reductivo G a los puntos semiestables de una variedad proyectiva X se obtiene un cociente bueno. El objetivo de este trabajo es estratificar el espacio de foliaciones holomorfas de grado 4 en el plano proyectivo complejo, denotado por F4. Para ello, estudiamos la acción lineal por cambio de coordenadas del grupo de automorfismos de P2C en F4 en el sentido de la Teoría de invariantes geométricos. Aplicando resultados y métodos desarrollados por Hesselink, Kirwan y Alcántara construimos una estratificación de las foliaciones inestables de F4 mediante subvariedades algebraicas no-singulares, irreducibles, localmente cerradas. Caracterizamos la foliación genérica de los estratos con singularidades aisladas según el número de Milnor y multiplicidad de un punto sigular común, primer jet no trivial, existencia de recta invariante, y calculamos la dimensión del estrato. Demostramos que el conjunto de foliaciones inestables de F4 tiene dos componentes irreducibles. Obtenemos foliaciones de F4 con un único punto singular.

The classification of holomorphic foliations in P2C is a partially solved problem. Cano et al describe those of degrees 0, 1 in PnC, and Cerveau et al those of degree 2 with only one singularity in P2C. Mumford and Fogarty prove that by restricting the linear action of a reductive group G on semistable points of a projective variety X we obtain a good quotient. The aim of this work is stratify the space of holomorphic foliations of degree 4 in the complex projective plane, denoted by F4. For that, we study the linear action of the automorphisms group of P2 C by change of coordinates on F4 in the sense of the Geometric invariant theory. Applying results and methods developed by Hesselink, Kirwan and Alcántara we construct a stratification of F4 by locally closed, irreducible, non-singular algebraic subvarieties. We obtain a characterization of the generic foliation of strata with isolated singularities according to the Milnor number and multiplicity of a common singular point, first non trivial jet, existence of invariant line, and we calculate the dimension of the stratum. We prove that the set of unstable foliations of F4 has two irreducible components. We obtain foliations of F4 with a unique singular point.