Teoría de códigos sobre curvas algebraicas y aplicación de las bases de Gröbner

Abstract

En la época que estamos viviendo, el manejo de la información toma una presencia muy importante en la toma de decisiones. La teoría de códigos surge en el mejoramiento de la transmisión de datos, desde las primeras computadoras hasta las súper computadoras que tenemos hoy en día; no pasó mucho tiempo para que se establecieran las bases teóricas que sustentaran el desarrollo vertiginoso que se ha dado hasta hoy. Empezando como simples subconjuntos, los códigos cobraron fuerza al ser vistos como subespacios vectoriales de dimensión finita. Lógicamente, al estar íntimamente ligadas el ´algebra con la geometría; no es de extrañarse el surgimiento, con la ayuda de la teoría de cuerpo de funciones algebraicas, de los códigos algebro-geométricos o mejor conocidos como códigos de Goppa. La teoría de códigos es una gran área de investigación, que con ayuda de la tecnología se complementan en busca de mejoras. En este trabajo de tesis, estudiaremos los códigos algebro-geométricos para la codificación y la aplicación de las bases de Gröbner para la decodificación de los mismos.

At the time that we are living, information management takes a very important presence in decision making. Code theory arises in the improvement of the transmission of data, from the first computers to the super computers we have today; it didn’t take long for me to know establish the theoretical bases that would sustain the vertiginous development that has given until today. Starting as simple subsets, the codes gained momentum when viewed as finitedimensional vector subspaces. Logically, being intimately linked algebra with geometry; no wonder the emergence, with the help of the field theory of algebraic functions, of the algebro-geometric codes or better known as Goppa codes. The theory of codes is a large area of research, which with the help of tecnology, they complement each other in search of improvements. In this thesis work, we’ll study the alegbro-geometric codes for the coding and the application of bases Gr¨obner for the decoding of them.