PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ ESCUELA DE POSGRADO Estudio del radón 222 y su progenie proveniente del suelo en la estación meteorológica Hipólito Unanue – PUCP Tesis para Optar el Grado de: MAGÍSTER EN FÍSICA Presentado por JORDI OSCAR TORRES MALDONADO ASESOR Dra. María Elena López Herrera JURADO Dra. María Elena López Herrera PhD. Daniel Palacios Fernández MSc. Patrizia Edel Pereyra Anaya Lima, mayo de 2018 A mis paaas 2 Agradecimiento Mi profundo agradecimiento a mi asesora María Elena, por su dedicación y contribución a lo largo del proceso de investigación. Mi especial agradecimiento a CienciActiva de Concytec que me apoyo con una beca y financió este trabajo de investigación. Agradecimientos especiales a todos los miembros del grupo de investigación de huellas nucleares de la PUCP. 3 Resumen El estudio de la presencia del gas radón y su progenie en sitios relacionados con actividades de perforación de suelos como en ingeniería civil, arqueología, geología, minería, etc. es de interés actual, considerando que los trabajos que se realizan asociados a estas actividades son principalmente de excavación y remoción del suelo. Estas actividades originan que la salida de este gas desde el suelo se acentúe y se sume a la contribución producida por vibraciones naturales de los suelos. Se considera que la población o especialistas involucrados en estas actividades, están más expuestos a este gas radiactivo, debido a que la exposición es mayor que la que se produce en cualquier ambiente cotidiano. Como tema de la presente investigación, se plantea hacer un estudio del gas radón y su progenie proveniente del suelo en la Estación Meteorológica Hipólito Unanue (EMHU), localizada cerca al Muro Inca, zona arqueológica protegida que atraviesa el campus de la PUCP en la ciudad de Lima. La zona es elegida por su cercanía y fácil acceso para realizar las mediciones contando con los permisos respectivos y con el compromiso de no dañar o alterar los sitios de estudio. Mediante la técnica de huellas nucleares, con una metodología propia, se detecta el gas radón y su progenie proveniente del suelo, a diferentes alturas en pozos construidos para tal fin. El objetivo principal, es la medición de la concentración de radón a diferentes alturas que nos permite estudiar el proceso de exhalación de este gas desde el suelo. También se busca determinar si los niveles de radón están dentro de los niveles aceptables para la zona de estudio. 4 ÍNDICE INTRODUCCIÓN .......................................................................................................... 8 Capítulo 1: PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA.......................................... 10 1.1. Descripción de la problemática del radón ambiental ................................. 10 1.2. Objetivos de la investigación ............................................................................. 10 1.2.1. Objetivos específicos ............................................................................... 11 Capítulo 2: MARCO TEÓRICO ................................................................................. 12 2.1. Fundamentos teóricos ......................................................................................... 12 2.1.1. Radioactividad ........................................................................................... 12 2.1.2. Ley de la desintegración radiactiva ..................................................... 12 2.1.3. Series radiactivas naturales .................................................................... 14 2.1.4. Constante de desintegración ................................................................. 18 2.1.5. Periodo de semidesintegración ............................................................ 18 2.1.6. Decaimiento alfa ....................................................................................... 19 2.1.7. Energía cinética alfa ................................................................................ 26 2.2. Teoría general de difusión de los gases en un medio ................................. 29 2.2.1. Difusión de los gases ............................................................................... 29 5 2.2.2. Primera ley de Fick .................................................................................. 29 2.2.3. Segunda ley de Fick ................................................................................ 30 2.3. Teoría de difusión aplicada al radón ............................................................... 31 2.3.1. Teoría de difusión del radón para exposiciones relativamente cortas ............................................................................................................ 31 2.3.2. Teoría de difusión del radón para exposiciones relativamente largas ............................................................................................................ 37 Capítulo 3: METODOLOGÍA .................................................................................... 40 3.1. Diseño metodológico ........................................................................................... 40 3.2. Muestra .................................................................................................................... 40 3.3. Detectores e instrumentos utilizados .............................................................. 41 3.3.1. Polímero LR-115 tipo 2 ............................................................................ 41 3.3.2. Sistema de grabado químico de los detectores ............................... 42 3.3.3. Lectura de los detectores en un microscopio óptico LEICA modelo DDM LM ..................................................................................... 44 3.4. Sistema de detectores colocados al interior de los pozos .......................... 45 3.5. Procesamiento de los datos ................................................................................ 47 Capítulo 4: RESULTADOS .......................................................................................... 50 6 4.1. Densidad de huellas y concentraciones de Rn 222 y su progenie ........... 50 4.2. Comparación de las concentraciones de radón y su progenie en cada pozo, en verano e invierno 2017 ......................................................................... 58 Capítulo 5: DISCUSIÓN, CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES .. 63 5.1. Discusión ................................................................................................................. 63 5.2. Conclusiones .......................................................................................................... 66 5.3. Recomendaciones ................................................................................................. 67 Capítulo 6: FUENTES DE INFORMACIÓN ....................................................... 68 5.1. Referencias .............................................................................................................. 68 5.2. Bibliografía .............................................................................................................. 69 5.3. Fuentes electrónicas ............................................................................................. 71 APÉNDICE ...................................................................................................................... 72 Ecuaciones de conexión ............................................................................................... 72 Función asintótica de Ayri ............................................................................................ 85 7 INTRODUCCIÓN El radón 222 es un gas noble de la serie radiactiva natural del uranio 238, proviene del decaimiento del radio 226. Por ser un gas, el radón producido en el interior de las rocas y suelos con contenido de radio, se difunde con facilidad a través de las fisuras en las rocas aprovechando la porosidad del suelo y de las capas freáticas hasta alcanzar la superficie terrestre (Gascoyne & Wuschke, 1997). Desde el punto de vista ambiental y de protección radiológica, el isótopo de radón 222 es el más importante a medir por poseer un periodo de semidesintegración relativamente largo de 3.82 días, en comparación a otros isótopos emisores alfas de su cadena, lo que le permite tener mayor acceso a diferentes ambientes, antes del decaimiento. Si el material radiactivo yace en lo profundo del suelo, puede ser difícil identificar su existencia. Sin embargo, cuando se perforan pozos relativamente profundos con el propósito de caracterizar el suelo o por otras razones, es concebible que el radón salga a través del pozo y posteriormente se difunda hacia la superficie exterior. La identificación del Rn-222 que exhala hacia el pozo puede servir como indicador de la presencia de U-238 y su progenie. Si se encuentra concentraciones significativas de Rn-222 en pozos de estudio, podría ser una información adicional sobre la geología de la zona. En el procedimiento de medición de radón y progenie, en este trabajo, se cavan pozos cilíndricos cerrados, donde se acumula y se difunde radón durante 31 días. Para detectar las alfas provenientes del radón y su progenie se utiliza un sistema de detectores de estado sólido LR 115 tipo 2, colocados verticalmente a partir de 20 cm del fondo del pozo donde ocurre el proceso de exhalación. Al final de la exposición, los detectores son tratados químicamente y leídos en un microscopio óptico obteniéndose así la densidad de huellas correspondientes a las alfas del radón y su 8 progenie. Las densidades obtenidas, luego son traducidas a concentraciones usando un factor de conversión obtenido en el laboratorio. Las concentraciones medidas en los pozos representan la actividad del gas radón y podrían comparase con la concentración de radón en la atmósfera donde se realizan las medidas. En la primera parte de este trabajo, se proporciona una solución analítica de la ecuación de difusión para el caso de la concentración de radón en un ambiente cerrado, que en nuestro caso es el pozo con tapa. En la segunda parte del trabajo, se describe y muestran los resultados para la concentración de radón y su progenie, en dos periodos que corresponden a las estaciones de verano e invierno del 2017 de la ciudad de Lima. Los datos obtenidos nos permiten determinar, cómo varia la densidad de huellas asociadas al radón y su progenie respecto a la altura del pozo cilíndrico, usado para estudiar la exhalación de radón desde el suelo. El estudio del fenómeno de la exhalación, transporte y migración del gas radón desde el suelo es de interés actual considerando que su comportamiento tiene múltiples aplicaciones en arqueología, minería, sismología, etc. Siendo así, la principal razón para la realización de este estudio, la medición de la concentración de radón y su progenie en la estación meteorológica Hipólito Unanue de la PUCP. 9 Capítulo 1: PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 1.1. Descripción de la problemática del radón ambiental El radón 222 es un gas noble radiactivo insípido, incoloro e inodoro que se origina y emite desde el suelo y de todo material que contenga uranio y/o radio. En promedio, el radón representa aproximadamente el 55% de la dosis anual de radiación, y el resto proviene de fuentes médicas (11%), internas (11%), terrestres (8%), cósmicas (8%) y otras (NCRP, 1987). La Agencia Internacional para la Investigación del Cáncer (IARC) clasificó al radón 222 como agente cancerígeno para los humanos. Lo declara como la principal causa de muerte entre los no fumadores y la segunda causa principal de cáncer de pulmón después del tabaquismo (National Research Council, 1999). La característica principal, que hace necesaria la medición de este radioisótopo gaseoso, independientemente del tema de salud, es que la tasa de su exhalación juega un rol importante en la caracterización de la presencia de la fuente natural de radón en el suelo y en su proceso de difusión hacia la superficie. Así mismo su estudio es importante en la caracterización de los tipos de suelo. Otra justificación de esta investigación es la falta de documentación técnica de estudios de exhalación de radón y progenie en el Perú. 1.2. Objetivos de la investigación El objetivo general es plantear una metodología para determinar la concentración de radón y progenie, proveniente del suelo en pozos localizados en la Estación Meteorológica Hipólito Unanue, para conocer el comportamiento del gas de acuerdo a las características del suelo de la zona. 10 1.2.1. Objetivos específicos a. Determinar la concentración de radón y progenie en suelo en 4 pozos localizados en la Estación Meteorológica Hipólito Unanue. b. Determinar la variación de la concentración de radón y progenie a diferentes alturas en el interior de los pozos en los periodos de estudios. c. Determinar la variación de la concentración de radón y progenie según las estaciones de verano e invierno en la Estación Meteorológica Hipólito Unanue-PUCP. 11 Capítulo 2: MARCO TEÓRICO 2.1. Fundamentos teóricos 2.1.1. Radioactividad La radioactividad se define como la desintegración espontánea de un núcleo. Los núcleos radiactivos suelen clasificarse en dos grupos: núcleos inestables que se encuentran en la naturaleza llamados radioactividad natural y núcleos producidos en laboratorio a través de reacciones nucleares denominadas radioactividad artificial. La radioactividad natural puede manifestarse a través de uno de los siguientes procesos: decaimiento 𝛼, decaimiento 𝛽, captura electrónica y decaimiento 𝛾. La radioactividad artificial puede incluir el decaimiento a través de protones, neutrones o fisión (Kamal, 2014). 2.1.2. Ley de la desintegración radiactiva La ley fundamental de la desintegración radiactiva se puede formular de la siguiente manera: Dada una población de nucleídos radiactivos, la probabilidad de que decaiga durante un intervalo 𝑑𝑡 es 𝜆𝑑𝑡. Donde la constante 𝜆 se llama la constante de decaimiento. Esta ley es característica para eventos aleatorios y se aplica a todos los tipos de decaimiento radiactivo alfa, beta, gamma, captura electrónica, fisión espontánea y también en el proceso atómico de emisión de fotones por los átomos excitados (Segre, 1965). 12 La aplicación más simple de esta ley implica una sola sustancia radiactiva. De acuerdo con nuestra ley fundamental, si se tiene 𝑁 núcleos radiactivos en el tiempo 𝑡, el número 𝑑𝑁 que decaen en el tiempo 𝑑𝑡 está dado por: 𝑑𝑁 = − 𝜆𝑁 (1) 𝑑𝑡 Integrando con la condición de que en un inicio se tiene 𝑁0 nucleones, se obtiene 𝑡 𝑁 𝑑𝑁 ∫ = −𝜆 ∫ 𝑑𝑡 𝑁 𝑁0 0 𝑁 ln = − 𝜆𝑡 𝑁0 Que puede tomar la forma exponencial 𝑁(𝑡) = 𝑁0𝑒𝑥𝑝(−𝜆𝑡) (2) La ecuación (2) es otra formulación de la ley fundamental de la desintegración radiactiva. Cuando se multiplica por 𝜆, se convierte en 𝜆𝑁(𝑡) = 𝜆𝑁0𝑒𝑥𝑝(−𝜆𝑡) (3) Donde 𝜆𝑁0 = 𝐴0 es la actividad inicial asociada a los 𝑁0 nucleones y 𝜆𝑁 = 𝐴 es la actividad en el tiempo 𝑡. En términos de la actividad 𝐴 = 𝐴0𝑒𝑥𝑝(−𝜆𝑡) (4) O, en forma logarítmica ln 𝐴 = ln 𝐴0 − 𝜆𝑡 (5) 13 Más adelante se verá que para el caso del gas radón, se puede expresar como una actividad específica volumétrica, 𝐵𝑞⁄𝑚3. 2.1.3. Series radiactivas naturales Las series naturales tienen su origen en nucleídos cuyas vidas son comparables con la vida de la tierra que es del orden de 4.47 × 109 años. Estas series de elementos radiactivos decaen en hijas que son a su vez, radiactivos a través de varias generaciones, hasta que llegan a un núcleo estable. En la 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎 1 se relacionan los nucleídos iniciales (padres) y finales de cada uno de las tres series radioactivas naturales existentes. 𝑻𝒂𝒃𝒍𝒂 𝟏. Series radiactivas naturales 𝐒𝐞𝐫𝐢𝐞 𝐈𝐬ó𝐭𝐨𝐩𝐨 𝐢𝐧𝐢𝐜𝐢𝐚𝐥 𝐓𝟏⁄𝟐 [𝐚ñ𝐨𝐬] 𝐏𝐫𝐨𝐝𝐮𝐜𝐭𝐨 𝐟𝐢𝐧𝐚𝐥 Torio 232 10 20890.Th 1.40 × 10 82.Pb Actinio 23592.U 7.04 × 10 8 20782.Pb Uranio 23892.U 1.47 × 10 9 20682.Pb Fuente: Nuclear Data Services de la IAEA. Cada elemento de la tabla 1 constituye una familia o serie radiactiva natural. Una de ellas es la familia del 238.U, que empieza con este isótopo radiactivo emisor de partículas 𝛼, después de 14 transformaciones llega a un producto final estable que en este caso se trata del isótopo de 206.Pb. La masa atómica cambia en cuatro unidades en cada decaimiento 𝛼 y en una unidad el número atómico en el decaimiento 𝛽, las masas encontradas en varios miembros de esta familia, difieren en múltiplos de cuatro y una fórmula general para las masas aproximadas es 4𝑛 + 2, donde 𝑛 es un número entero. Por lo tanto, esta serie del uranio también se conoce como serie 4𝑛 + 2, expresión que proporciona el número de 14 masa de cada nucleído de la serie con valores de 𝑛 de 51 a 59 (Burcham & Joves, 1995). La 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎 2 representa a los radioisótopos y transformaciones de la serie del 238.U así como sus periodos de semidesintegración y partículas que emiten. 𝑻𝒂𝒃𝒍𝒂 𝟐. Familia radiactiva del 𝟐𝟑𝟖.𝐔, o serie 𝟒𝒏 + 𝟐 𝐓𝟏⁄𝟐 𝐑𝐚𝐝𝐢𝐨𝐞𝐥𝐞𝐦𝐞𝐧𝐭𝐨 𝐲 𝐑𝐚𝐲𝐨𝐬 [𝐚ñ𝐨𝐬, 𝐝í𝐚𝐬, 𝐡𝐨𝐫𝐚𝐬, 𝐦𝐢𝐧𝐮𝐭𝐨𝐬, 𝐬𝐞𝐠𝐮𝐧𝐝𝐨𝐬] Uranium 238 4 500 000 000 y ↓ 𝛼 Thorium 234 24 d ↓ 𝛽 Protactinium 234 1.2 m ↓ 𝛽 Uranium 234 240 000 y ↓ 𝛼 Thorium 230 77 000 y ↓ 𝛼 Radium 226 1 600 y ↓ 𝛼 Radon 222 3.8 d ↓ 𝛼 Polonium 218 3.1 m ↓ 𝛼 𝑜𝑟 ↘ 𝛽 Lead 214 Astatine 218 27 m, 2 s ↓ 𝛽 ↙ 𝛼 Bismuth 214 20 m ↓ 𝛽 𝑜𝑟 ↘ 𝛼 Polonium 214 Thallium 210 0.00016 s, 1.3 m ↓ 𝛼 ↙ 𝛽 Lead 210 22 y ↓ 𝛽 Bismuth 210 5.0 d ↓ 𝛽 𝑜𝑟 ↘ 𝛼 Polonium 210 Thallium 206 140 d, 4.2 m ↓ 𝛼 ↙ 𝛽 Lead 206 Not radioactive 15 El torio con masa atómica de 232 es el primer isótopo de otra serie o familia que se encuentra en la naturaleza, con fórmula general 4n o serie del torio. El isótopo que se produce como producto final estable es el 208 .Pb. La familia radiactiva del torio se encuentra representada en la 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎 3, dentro de esta cadena se encuentra el isotopo de Rn 220 con periodo de semidesintegración de 56 s. 𝑻𝒂𝒃𝒍𝒂 𝟑. Familia radiactiva del 𝟐𝟑𝟐.𝐓𝐡, o serie 𝟒𝒏 𝐓𝟏⁄𝟐 𝐑𝐚𝐝𝐢𝐨𝐞𝐥𝐞𝐦𝐞𝐧𝐭𝐨 𝐲 𝐑𝐚𝐲𝐨𝐬 [𝐚ñ𝐨𝐬, 𝐝í𝐚𝐬, 𝐡𝐨𝐫𝐚𝐬, 𝐦𝐢𝐧𝐮𝐭𝐨𝐬, 𝐬𝐞𝐠𝐮𝐧𝐝𝐨𝐬] Thorium 232 14 000 000 000 y ↓ 𝛼 Radium 228 5.8 y ↓ 𝛽 Actinium 228 6.1 h ↓ 𝛽 Thorium 228 1.9 y ↓ 𝛼 Radium 224 3.7 d ↓ 𝛼 Radon 220 56 s ↓ 𝛼 Polonium 216 0.15 s ↓ 𝛼 𝑜𝑟 ↘ 𝛽 Lead 212 Astatine 216 11 h, 0.0003 s ↓ 𝛽 ↙ 𝛼 Bismuth 212 61 m ↓ 𝛽 𝑜𝑟 ↘ 𝛼 Polonium 212 Thallium 208 0.0000003 s, 3.1 m ↓ 𝛼 ↘ 𝛽 Lead 208 Not radiactive 16 La serie del 235jU es conocida también como serie o familia del actinio o serie 4𝑛 + 3, siendo el 235jU el isótopo padre el cual después de varios procesos de decaimientos tiene como producto final el isótopo estable 207 ℎPb. 𝑻𝒂𝒃𝒍𝒂 𝟒. Familia radiactiva del 𝟐𝟑𝟓.𝐔, o serie 𝟒𝒏 + 𝟑 𝐓𝟏⁄𝟐 𝐑𝐚𝐝𝐢𝐨𝐞𝐥𝐞𝐦𝐞𝐧𝐭𝐨 𝐲 𝐑𝐚𝐲𝐨𝐬 [𝐚ñ𝐨𝐬, 𝐝í𝐚𝐬, 𝐡𝐨𝐫𝐚𝐬, 𝐦𝐢𝐧𝐮𝐭𝐨𝐬, 𝐬𝐞𝐠𝐮𝐧𝐝𝐨𝐬] Uranium 235 710 000 000 y ↓ 𝛼 Thorium 231 26 h ↓ 𝛽 Protactinium 231 33 000 y ↓ 𝛼 Actinium 227 22 y ↓ 𝛽 𝑜𝑟 ↘ 𝛼 Thorium 227 Francium 223 19 d, 22m ↓ 𝛼 ↙ 𝛽 Radium 223 11 d ↓ 𝛼 Radon 219 4.0 s ↓ 𝛼 Polonium 215 0.0018 s ↓ 𝛼 𝑜𝑟 ↘ 𝛽 Lead 211 Astatine 215 36 m, 0.0001 s ↓ 𝛽 ↙ 𝛼 Bismuth 211 2.1 m ↓ 𝛽 𝑜𝑟 ↘ 𝛼 Polonium 211) Thallium 207 0.005 s, 4.8 m ↓ 𝛼 ↙ 𝛽 Lead 207 Not radioactive Fuentes: Malley, M. (2011). Radioactivity, a history of a mysterious. United States of America: Oxford University Press, Inc. 17 2.1.4. Constante de desintegración La constante de desintegración o constante de decaimiento 𝜆, se define como la probabilidad de que un núcleo radiactivo se desintegre en la unidad de tiempo. Si 𝑁 representa el número de núcleos radiactivos presentes en un tiempo dado y 𝑑𝑁 representa el número de desintegraciones durante un intervalo de tiempo 𝑑𝑡, entonces la probabilidad de desintegración de dichos núcleos es 𝑑𝑁 − (6) 𝑁 Donde el signo menos indica que 𝑑𝑁 siempre es negativo. Siendo la constante de desintegración 1 𝑑𝑁 𝜆 = − (7) 𝑁 𝑑𝑡 En el Sistema Internacional, su unidad es 𝑠−1. 2.1.5. Periodo de semidesintegración El periodo de semidesintegración, 𝑡1⁄2 se define como el intervalo de tiempo en el que el número original de núcleos se reduce a la mitad (Meyerhof, 1967), o el tiempo en el cual la actividad disminuye a la mitad de la actividad inicial (Acosta, Cowan, & Graham, 1983). Cuando 𝑡 = 𝑡1⁄2, entonces, el número de átomos presentes de una clase dada es 𝑁 = 1⁄2 𝑁0, y de la ecuación de las desintegraciones radioactivas 18 1 𝑁0 = 𝑁0 𝑒𝑥𝑝(−𝜆𝑡1⁄2) (8) 2 1 = 𝑒𝑥𝑝(−𝜆𝑡1⁄2) 2 Tomando logaritmo natural en ambos lados −ln 2 = −𝜆𝑡1⁄2 (9) Se obtiene el periodo de semidesintegración, dado por ln 2 𝑡1⁄2 = (10) 𝜆 Cantidad que, en el Sistema internacional de unidades se mide en (𝑠). Este valor es característico para cada isótopo radiactivo, y según el caso puede variar desde millonésimas de segundo a miles de millones de años. 2.1.6. Decaimiento alfa Aunque no se conoce la naturaleza exacta de las fuerzas que actúan en el decaimiento alfa, sí se sabe que hay fuerzas repulsivas debido a las cargas y fuerzas atractivas muy fuertes de un carácter específicamente nuclear. El efecto de estas fuerzas podría explicarse considerado una energía potencial negativa −𝑉0 a una distancia 𝑅 del centro del núcleo (𝑅 = radio del núcleo). Las fuerzas nucleares son de tan corto alcance que fuera del núcleo solo actúan las fuerzas de repulsión electrostática entre la partícula alfa que lleva consigo la carga +2𝑒 y el núcleo hija que queda después de la 19 desintegración. Por otra parte, la energía potencial 𝑉0 de una partícula alfa fuera del núcleo varía inversamente con su distancia 𝑟 desde el centro del núcleo, donde 𝑟 > 𝑅, como se muestra en 𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 1. 𝑉(𝑟) 𝐻 𝐸 0 𝑅 𝑟 𝑟 𝑖 −𝑉0 𝑭𝒊𝒈𝒖𝒓𝒂 𝟏. Energía Potencial de una partícula alfa en función de su distancia al centro del núcleo. Por simplicidad, en la figura 1, el potencial de Coulomb y el potencial nuclear constante −𝑉0 se unen en 𝑟 = 𝑅. El valor de la energía potencial en 𝑟 = 𝑅 se designa por la letra 𝐻, denominada también altura de la barrera de potencial para la partícula alfa. El orden de magnitud de la altura de la barrera de potencial para la mayoría de los elementos pesados es de aproximadamente 30 MeV. Esto representa la energía mínima que una partícula alfa debe tener, de acuerdo con las ideas clásicas, para poder escapar del núcleo. Por otra parte, las partículas alfa emitidas por los núcleos radiactivos tienen energías del orden de 5 o 6 MeV, y en casos raros, aproximadamente 11 MeV. Por tanto, podemos imaginar que la partícula alfa recibe suficiente energía en su interacción con otros núcleos para 20 elevarla a un nivel de energía 𝐸 igual a la energía cinética que tiene cuando está a una gran distancia al núcleo (Semat & Albright, 1972). Las propiedades de onda de una partícula en una barrera de potencial hicieron posible la penetración de una partícula, a pesar de que la energía podría ser demasiado baja para la transmisión de acuerdo con la mecánica clásica. Para un solo encuentro entre una partícula y una barrera de forma arbitraria, se tiene: 𝑉 I II III 𝐸 0 𝑥 𝑥 𝑥 1 2 −𝑉0 𝑭𝒊𝒈𝒖𝒓𝒂 𝟐. Barrera de potencial La onda transmitida en la región III, tiene un solo componente del momento, por lo que dentro de la aproximación WKB, podemos escribir 𝐸 1 𝑥 𝜋 𝜓𝐼𝐼𝐼(𝑥) = exp 𝑖 [ ∫ 𝑝𝑑𝑥 − ] , 𝑟 > 𝑟 √𝑝 ℏ 𝑥 4 2 2 𝐸 1 𝑥 𝜋 1 𝑥 𝜋 𝜓𝐼𝐼𝐼(𝑥) = [cos ( ∫ 𝑝𝑑𝑥 − ) + 𝑖 sen ( ∫ 𝑝𝑑𝑥 − )] (11) √𝑝 ℏ 𝑥 4 ℏ 𝑥 42 2 21 De acuerdo con (Hecht, 2000), a la izquierda del punto de inflexión 𝑥 = 𝑥2, la solución exponencial creciente conecta en una solución oscilatoria según 1 1 𝑥 𝜋 1 1 𝑥 cos ( ∫ 𝑝𝑑𝑥 − ) ↔ 𝑒𝑥𝑝 ( ∫ |𝑝|𝑑𝑥) (12) √𝑝(𝑥) ℏ 𝑥 42 2√|𝑝(𝑥)| ℏ 𝑥2 Mientras que una solución exponencial decreciente conecta a una solución oscilatoria según, ver apéndice 1 1 𝑥 𝜋 1 1 𝑥 sen ( ∫ 𝑝𝑑𝑥 − ) ↔ − 𝑒𝑥𝑝 (− ∫ |𝑝|𝑑𝑥) (13) √𝑝(𝑥) ℏ 𝑥 4 ℏ2 √|𝑝(𝑥)| 𝑥2 Aplicando estas dos primeras ecuaciones de conexión y reescribiendo nuestra función 𝜓𝐼𝐼𝐼(𝑥), tenemos 𝐸 1 𝑥 𝑖𝐸 1 𝑥 𝜓𝐼𝐼𝐼(𝑥) = 𝑒𝑥𝑝 ( ∫ |𝑝|𝑑𝑥) − 𝑒𝑥𝑝 (− ∫ |𝑝|𝑑𝑥) 2√|𝑝(𝑥)| ℏ 𝑥2 √|𝑝(𝑥)| ℏ 𝑥2 Factorizando y utilizando propiedad de la integral definida 𝐸 1 1 𝑥2 1 𝑥2 𝜓𝐼𝐼(𝑥) = [ 𝑒𝑥𝑝 (− ∫ |𝑝|𝑑𝑥) − 𝑖𝑒𝑥𝑝 ( ∫ |𝑝|𝑑𝑥)] (14) √|𝑝(𝑥)| 2 ℏ 𝑥 ℏ 𝑥 𝑥2 𝑥 𝑥2 𝑥2 𝑥2 𝑥 ∫ |𝑝|𝑑𝑥 = ∫ |𝑝|𝑑𝑥 + ∫ |𝑝|𝑑𝑥 ⇒ ∫ |𝑝|𝑑𝑥 = ∫ |𝑝|𝑑𝑥 − ∫ |𝑝|𝑑𝑥 𝑥1 𝑥1 𝑥 𝑥 𝑥1 𝑥1 𝐸 1 1 𝑥2 1 𝑥 𝜓𝐼𝐼(𝑥) = [ 𝑒𝑥𝑝 (− ∫ |𝑝|𝑑𝑥 + ∫ |𝑝|𝑑𝑥) √|𝑝(𝑥)| 2 ℏ 𝑥 ℏ1 𝑥1 1 𝑥2 1 𝑥 −𝑖𝑒𝑥𝑝 ( ∫ |𝑝|𝑑𝑥 − ∫ |𝑝|𝑑𝑥)] (15) ℏ 𝑥 ℏ1 𝑥1 22 1 𝑥2 𝐿 = ∫ |𝑝|𝑑 𝑥 ℏ 𝑥1 Haciendo el cambio de variable 𝐿 y reemplazando en nuestra función de onda 𝜓𝐼𝐼(𝑥), podemos escribir 𝐸 1 1 𝑥 𝜓𝐼𝐼(𝑥) = [ 𝑒𝑥𝑝(−𝐿) ⋅ 𝑒𝑥𝑝 ( ∫ |𝑝|𝑑𝑥) √|𝑝(𝑥)| 2 ℏ 𝑥1 1 𝑥 −𝑖𝑒𝑥𝑝(𝐿) ⋅ 𝑒𝑥𝑝 (− ∫ |𝑝|𝑑𝑥)] (16) ℏ 𝑥1 Por otra parte, al igual que el caso anterior. A la derecha del punto de inflexión, 𝑥 = 𝑥1, la solución exponencial decreciente conecta así a una solución oscilatoria según 1 1 𝑥 1 1 𝑥1 𝜋 𝑒𝑥𝑝 ( ∫ |𝑝|𝑑𝑥) ↔ sen ( ∫ 𝑝𝑑𝑥 − ) (17) √|𝑝(𝑥)| ℏ 𝑥 ℏ 41 √𝑝(𝑥) 𝑥 Mientras que la solución exponencial creciente conecta a una oscilatoria de acuerdo a 1 1 𝑥 2 1 𝑥1 𝜋 𝑒𝑥𝑝 (− ∫ |𝑝|𝑑𝑥) ↔ cos ( ∫ 𝑝𝑑𝑥 − ) (18) √|𝑝(𝑥)| ℏ 𝑥1 √𝑝(𝑥) ℏ 𝑥 4 Reemplazando (17) y(18) en (16), tenemos −𝐸 1 𝑥1 𝜋 𝜓𝐼𝐼(𝑥) = 𝑒𝑥𝑝(−𝐿) ⋅ sen ( ∫ 𝑝𝑑𝑥 − ) 2√𝑝(𝑥) ℏ 𝑥 4 2𝑖𝐸 1 𝑥1 𝜋 − 𝑒𝑥𝑝(𝐿) ⋅ cos ( ∫ 𝑝𝑑𝑥 − ) √𝑝(𝑥) ℏ 𝑥 4 23 1 𝑥1 𝜋 𝑍 = ∫ 𝑝𝑑𝑥 − ℏ 𝑥 4 Reemplazando el cambio de variable, 𝑍, en nuestra función de onda 𝜓𝐼𝐼(𝑥), escribimos −𝐸 2𝑖𝐸 𝜓𝐼𝐼(𝑥) = 𝑒𝑥𝑝(−𝐿) sen(𝑍) − 𝑒𝑥𝑝(𝐿) ⋅ cos(𝑍) 2√𝑝(𝑥) √𝑝(𝑥) −𝐸 𝑒𝑥𝑝(𝑖𝑍) − 𝑒𝑥𝑝(−𝑖𝑍) 𝜓𝐼(𝑥) = 𝑒𝑥𝑝(−𝐿) { } 2√𝑝(𝑥) 2𝑖 2𝑖𝐸 𝑒𝑥𝑝(𝑖𝑍) + 𝑒𝑥𝑝(−𝑖𝑍) − 𝑒𝑥𝑝(𝐿) { } √𝑝(𝑥) 2 𝑖𝐸 1 𝜓𝐼(𝑥) = [ − 𝑒𝑥𝑝(𝐿)] 𝑒𝑥𝑝(𝑖𝑍) √𝑝(𝑥) 4𝑒𝑥𝑝(𝐿) 𝑖𝐸 1 − [ + 𝑒𝑥𝑝(𝐿)] 𝑒𝑥𝑝(−𝑖𝑍) (19) √𝑝(𝑥) 4𝑒𝑥𝑝(𝐿) Desarrollando la integral 𝑍, podemos expresar esta última ecuación en 𝜓𝑖𝑛𝑐(𝑥) 𝑝(𝑥) 1 𝑥1 𝜋 𝜋 𝑘 = = 𝑐𝑡𝑒 ⇒ 𝑍 = ∫ 𝑝𝑑𝑥 − = −𝑘(𝑥 − 𝑥1) − ℏ ℏ 𝑥 4 4 𝑖𝐸 1 𝜓𝑖𝑛𝑐(𝑥) = − ( + 𝑒𝑥𝑝(𝐿)) 𝑒𝑥𝑝(−𝑖𝑍) (20) √𝑝(𝑥) 4𝑒𝑥𝑝(𝐿) Por tanto, la probabilidad transmisión de la partícula alfa, es aproximadamente 24 2 𝑖𝐸 𝜓 2𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 √𝑝(𝑥) 𝑇 = | | = | | 𝜓 |𝑖𝑛𝑐 𝑖𝐸 1 | − ( + 𝑒𝑥𝑝(𝐿)) √𝑝(𝑥) 4𝑒𝑥𝑝(𝐿) 1 𝑇 = ≈ 𝑒𝑥𝑝(−2𝐿) 1 1 𝑒𝑥𝑝(2𝐿) + 2 + 16𝑒𝑥𝑝(2𝐿) 2 𝑥2 𝑇 = 𝑒𝑥𝑝 (− ∫ √2𝑚[𝑉 − 𝐸]𝑑𝑥) (21) ℏ 𝑥1 En el interior del pozo de potencial, la partícula alfa oscila periódicamente y golpea la pared potencial. Si se asume que se mueve con velocidad 𝑣0, entonces la frecuencia con que golpea la pared es 𝑣0⁄2𝑅. Por tanto, la multiplicación de la frecuencia con la probabilidad de escape será igual a la probabilidad de escape por unidad de tiempo de la partícula alfa, se expresa en la forma siguiente 𝑣0 2 𝑟𝑖 𝜆 = 𝑒𝑥𝑝 (− ∫ √2𝑚[𝑉(𝑟) − 𝐸] 𝑑𝑟) (22) 2𝑅 ℏ 𝑅 Donde 𝑉(𝑟) es la energía potencial como función de 𝑟 y 𝑚 la masa de la partícula del alfa. Esta última ecuación es muy útil; pues su uso permite calcular radios nucleares mediante la sustitución de los valores medios de 𝜆 y 𝐸. 25 2.1.7. Energía cinética alfa En física nuclear, la emisión espontánea de una partícula 𝛼 se puede representar mediante el siguiente proceso 𝐴 𝐴−4 4 𝑍𝑃 → 𝑍−2𝐷 + 2𝐻𝑒 (23) Si se asume que el núcleo padre, 𝑃, se encuentra en reposo. Entonces la energía inicial del sistema es solo la energía en reposo de 𝑃 𝑚𝑝𝑐 2 El estado final se compone de 𝐷 y 𝐻𝑒, cada uno de los cuales estará en movimiento. Por lo tanto, la energía total final es: 𝑚𝑑𝑐 2 + 𝐾 2𝑑 + 𝑚𝛼𝑐 + 𝐾𝛼 Donde 𝐾𝐷 y 𝐾𝛼 representan las energías cinéticas de la partícula hija y de la partícula 𝛼, respectivamente. Por lo tanto, en términos de conservación de la masa energía (Krane, 1987), tenemos 𝑚 2𝑝𝑐 = 𝑚𝑑𝑐 2 + 𝐾 2𝑑 + 𝑚𝛼𝑐 + 𝐾𝛼 (24) (𝑚 2𝑝 − 𝑚𝑑 − 𝑚𝛼)𝑐 = 𝐾𝑑 + 𝐾𝛼 La cantidad en el lado izquierdo de esta última ecuación es la energía neta liberada en la desintegración, llamado el valor 𝑄𝛼 𝑄𝛼 = (𝑚𝑝 − 𝑚𝑑 − 𝑚 2 𝛼)𝑐 (25) 26 El valor 𝑄𝛼 es también igual a la energía cinética total dado a los fragmentos de desintegración: 𝑄𝛼 = 𝐾𝑑 + 𝐾𝛼 (26) Para partículas no relativistas, las energías cinéticas se pueden escribir como: 1 𝐾𝑑 = 𝑚𝑑𝑣 2 𝑑 2 1 𝐾 2𝛼 = 𝑚𝛼𝑣𝛼 (27) 2 Donde 𝑣𝑑 y 𝑣𝛼 representan las magnitudes de las velocidades de la hija y de la partícula 𝛼. Dado que el núcleo padre se desintegra desde el reposo, el núcleo hija y la partícula deben moverse necesariamente en direcciones opuestas para conservar el momento lineal, satisfaciendo 𝑚𝑑𝑣𝑑 = 𝑚𝛼𝑣𝛼 𝑚𝛼 𝑣𝑑 = 𝑣𝛼 (28) 𝑚𝑑 Cuando la masa del núcleo hija es mucho mayor que la de la partícula 𝛼, entonces, 𝑣𝑑 ≪ 𝑣𝛼 . Eliminemos 𝑣𝑑 y escribimos expresiones para 𝐾𝑑 y 𝐾𝛼 en términos del valor 𝑄𝛼 (Das & Ferbel, 2005) 1 1 𝐾𝑑 + 𝐾𝛼 = 𝑚𝑑𝑣 2 2 2 𝑑 + 𝑚 𝑣 2 𝛼 𝛼 27 1 𝑚 2𝛼 1 𝐾 + 𝐾 2𝑑 𝛼 = 𝑚 ( 𝑣 ) + 𝑚 𝑣2 𝑑 𝑚 𝛼 2 𝛼 𝛼 𝑑 1 𝑚 2 𝛼= 𝑚𝛼𝑣𝛼 ( + 1) 2 𝑚𝑑 𝑚𝛼 𝐾𝑑 + 𝐾𝛼 = 𝐾𝛼 ( + 1) (29) 𝑚𝑑 Utilizando la ecuación (26), esto puede ser reescrito como: 𝑚𝑑 𝐾𝛼 = 𝑄𝛼 𝑚𝛼 + 𝑚𝑑 𝑄𝛼 𝐾𝛼 = 𝑚 (30) 1 + 𝛼𝑚𝑑 La energía cinética de la partícula 𝛼 emitida no puede ser negativa, es decir, 𝐾𝛼 ≥ 0. En consecuencia, para que se produzca un decaimiento alfa, se debe liberar energía. Para el caso de las energías de las partículas alfa asociadas al radón 222, este decae a polonio 218. De acuerdo a la ecuación (30), tenemos 𝐾𝛼 = 5.5 𝑀𝑒𝑉 28 2.2. Teoría general de difusión de los gases en un medio 2.2.1. Difusión de los gases La difusión es la dispersión de un gas al interior de otro gas, o de una zona de alta concentración a otra de baja concentración de algún componente del gas y se debe principalmente a movimientos moleculares aleatorios. La velocidad de difusión muestra la rapidez con la que el material puede difundirse y es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de su masa molar (Ley de Graham). En los gases, los procesos de difusión son rápidos (10𝑐𝑚⁄𝑚𝑖𝑛) mientras que son mucho más lentos en líquidos (0.05𝑐𝑚⁄𝑚𝑖𝑛) y en sólidos (0,00001𝑐𝑚⁄𝑚𝑖𝑛) (Cussler, 1997). El primer modelo matemático de difusión fue establecido por Adolf Fick que desarrolló una ley en analogía al trabajo de Fourier (Fourier, 1822) para la difusión en una dimensión como se aprecia en su primera ley. 2.2.2. Primera ley de Fick Esta primera ley puede ser enunciada de la siguiente manera: bajo la hipótesis de un estado estacionario el flujo de partículas en un proceso de difusión es proporcional al gradiente de concentración, de la forma 𝜕𝐶(𝑥, 𝑡) 𝐽(𝑥, 𝑡) = −𝐷 (31) 𝜕𝑥 La constante de proporcionalidad 𝐷 se denomina coeficiente de difusión y se expresa en metros cuadrados por segundo. El signo negativo de esta 29 expresión indica que la dirección de difusión es contraria al gradiente de la concentración. Para dos o más dimensiones espaciales, podemos hacer uso del operador ∇, la cual generaliza la primera derivada, obteniéndose 𝐉(𝑥, 𝑡) = −𝐷𝛁𝐶(𝑥, 𝑡) (32) Donde 𝐉 denota al vector de difusión. 2.2.3. Segunda ley de Fick La ecuación central de este análisis es la ecuación de difusión, también llamada segunda ley de Fick que relaciona la velocidad del cambio de la concentración en un punto con la variación espacial de la concentración en ese punto: 𝜕𝐶(𝑥, 𝑡) ∂2𝐶(𝑥, 𝑡) = 𝐷 (33) 𝜕𝑡 ∂𝑥2 Es decir, predice cómo la difusión hace que la concentración cambie con el tiempo. Para el caso de difusión en más de una dimensión, la Segunda Ley de Fick se convierte en: 𝜕𝐶(𝑟 , 𝑡) ∂2𝐶(𝑥, 𝑡) ∂2𝐶(𝑦, 𝑡) ∂2𝐶(𝑧, 𝑡) = 𝐷 ( + + ) (34) 𝜕𝑡 ∂x2 ∂y2 ∂z2 Introduciendo el operador laplaciano, tenemos 𝜕𝐶(𝑟, 𝑡) = 𝐷∇2𝐶(𝑟, 𝑡) (35) 𝜕𝑡 30 La ecuación anterior es análoga a la ecuación del calor, donde en lugar de concentración 𝐶, se expresa en función de la temperatura 𝑇. La solución de esta ecuación diferencial parcial será la línea base para nuestro análisis. 2.3. Teoría de difusión aplicada al radón 2.3.1. Teoría de difusión del radón para exposiciones relativamente cortas Se consideran exposiciones relativamente cortas a los tiempos menores al periodo de semidesintegración del radón 222, 𝑡1⁄2 = 3.83 días. Un objetivo de este trabajo es determinar cómo varía la concentración de radón con respecto a la altura en pozos cilíndricos diseñados para estudiar la exhalación de radón desde el suelo, ver figura 2. Los pozos cilíndricos son tubos de PVC enterrados en el suelo a diferentes alturas, abiertos en la base y con tapa en la parte superior, permaneciendo cerrado durante los periodos de medición. Esto determina la geometría utilizada en este análisis. Esto nos permite que la forma general, ecuación (36), de la ecuación de difusión para este estudio pueda ser considerada como un caso unidimensional: 𝜕𝐶(𝑟, 𝑡) = 𝐷∇2𝐶(𝑟, 𝑡) − 𝜆𝐶(𝑟, 𝑡) (36) 𝜕𝑡 La difusión a lo largo de los ejes x e y (sección transversal del tubo) puede ser ignorada y nos permite asumir que la concentración no cambia significativamente en estas direcciones a lo largo de la altura del pozo. El 31 ingreso del gas radón por exhalación del suelo entonces solo ocurre en la dirección del eje del pozo, eje z. Por tanto, se considera que la difusión ocurre principalmente a lo largo del eje z, y además como se sabe que el gas radón decae en el tiempo entonces la ecuación se transforma en: 𝜕𝐶(𝑧, 𝑡) ∂2𝐶(𝑧, 𝑡) = 𝐷 − 𝜆𝐶(𝑧, 𝑡) (37) 𝜕𝑡 ∂z2 Donde 𝐶 [actividad/longitud] denota la concentración de radón en el aire; 𝑡 es el tiempo; 𝐷 [𝑚2⁄𝑠] es el coeficiente de difusión del radón; 𝜆 [𝑠−1] es la constante de desintegración del radón. 𝑧 𝑥 𝑙 𝑦 𝑭𝒊𝒈𝒖𝒓𝒂 𝟑. Geometría adoptada para las condiciones iniciales y de contorno para la ecuación de difusión. Para desarrollar la ecuación (37) se considera en la interfaz aire del pozo - tierra una concentración de radón 𝐶0 en el tiempo 𝑡 𝐶(𝑧0, 𝑡) = 𝐶0 (38) 32 La segunda condición, está relacionada con lo que sucede en el otro extremo del recipiente en z = 𝑙 donde se supone que el radón no puede escapar (pozo con tapa). Por lo que el flujo de salida del gas radón es igual a cero: 𝜕𝐶(𝑧, 𝑡) | = 0 (39) 𝜕𝑧 𝑧=𝑙 Para resolver la ecuación de difusión con la condición inicial y de contorno para el caso de exposición a corto plazo del radón, se considera: 𝜕𝐶(𝑧, 𝑡) ∂2𝐶(𝑧, 𝑡) = 𝐷 (40) 𝜕𝑡 ∂z2 Utilizando el método separación de variables 𝐶(𝑧, 𝑡) = 𝑍(𝑧)𝑇(𝑡) (41) 𝜕𝐶(𝑧, 𝑡) 𝜕(𝑍(𝑧)𝑇(𝑡)) 𝑍(𝑧)𝜕𝑇(𝑡) = = 𝜕𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝑡 𝜕2𝐶(𝑧, 𝑡) 𝜕2(𝑍(𝑧)𝑇(𝑡)) 𝜕2𝑍(𝑧)𝑇(𝑡) = = 𝜕𝑧2 𝜕𝑧2 𝜕𝑧2 Sustituyendo y reordenando términos tenemos 𝑍(𝑧)𝜕𝑇(𝑡) 𝜕2𝑍(𝑧)𝑇(𝑡) = 𝐷 𝜕𝑡 𝜕𝑧2 1 𝜕𝑇(𝑡) 1 𝜕2𝑍(𝑧) = (42) 𝐷𝑇(𝑡) 𝜕𝑡 𝑍(𝑧) 𝜕𝑧2 33 Suponiendo que ambos lados de la ecuación son iguales a cierta constante −𝑎2 1 𝜕𝑇(𝑡) = −𝑎2 𝐷𝑇(𝑡) 𝜕𝑡 𝑇(𝑡) = 𝐶′𝑒−𝑎 2𝐷𝑡 (43) 1 𝜕2𝑍(𝑧) = −𝑎2 𝑍(𝑧) 𝜕𝑧2 𝑍(𝑧) = 𝐴 sen 𝑎𝑧 + 𝐵 cos 𝑎𝑧 (44) Por tanto, reemplazando (43) y (44) en (41) obtenemos 2 𝐶(𝑧, 𝑡) = (𝐴 sen 𝑎𝑧 + 𝐵 cos 𝑎𝑧)𝐶′𝑒−𝑎 𝐷𝑡 + 𝐶1𝑧 + 𝐶2 (45) Los términos 𝐶1𝑧 y 𝐶2 pueden incluirse ya que estas desaparecen después de la segunda derivada en 𝑧. También se transforman a cero cuando la derivada está en 𝑡, esto es 2 ′ −𝑎2𝐷𝑡 𝜕2𝐶(𝑧, 𝑡) 𝜕 ((𝐴 sen 𝑎𝑧 + 𝐵 cos 𝑎𝑧)𝐶 𝑒 ) = (46) 𝜕𝑧2 𝜕𝑧2 2 𝜕𝐶(𝑧, 𝑡) 𝜕 ((𝐴 sen 𝑎𝑧 + 𝐵 cos 𝑎𝑧)𝐶 ′𝑒−𝑎 𝐷𝑡) = (47) 𝜕𝑡 𝜕𝑡 Aplicando nuestra primera condición inicial en la interfaz 𝑧0 = 0 2 𝐶(𝑧0, 𝑡) = 𝐶0 = 𝐵𝐶 ′𝑒−𝑎 𝐷𝑡 + 𝐶2 (48) Eliminando la dependencia del tiempo (𝐵 = 0), podemos escribir 34 𝐶2 = 𝐶0 (49) En este caso la solución (45) se convierte en 2 𝐶(𝑧, 𝑡) = 𝐶0 + 𝐴𝐶 ′𝑒−𝑎 𝐷𝑡 sen 𝑎𝑧 + 𝐶1𝑧 (49) Aplicando nuestra segunda condición frontera en 𝑧 = 𝑙 2 𝜕𝐶(𝑧, 𝑡) 𝜕(𝐶 + 𝐴𝐶′𝑒−𝑎 𝐷𝑡0 sen 𝑎𝑧 + 𝐶1𝑧) | = | = 0 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝑧=𝑙 𝑧=𝑙 𝑎𝐴𝐶′𝑒−𝑎 2𝐷𝑡 cos 𝑎𝑙 + 𝐶1 = 0 (50) Esta expresión será verdadera siempre y cuando 𝐶1 = 0 y cos 𝑎𝑙 = 0. Por tanto 𝜋 𝜋 𝑎𝑙 = 𝑛𝜋 + = (2𝑛 + 1) , 𝑛 = 0,1,2, … 2 2 Entonces la solución es (2𝑛+1)2 − 𝜋2𝐷𝑡 (2𝑛 + 1)𝜋𝑧 𝐶(𝑧, 𝑡) = 𝐶 + 𝐴𝐶′0 𝑒 4𝑙 2 sen (50) 2𝑙 En general podemos escribir la solución como la suma de todas las soluciones parciales, esto es ∞ (2𝑛+1)2 − 𝜋2𝐷𝑡 (2𝑛 + 1)𝜋𝑧 𝐶(𝑧, 𝑡) = 𝐶 + ∑ 𝐶′0 𝑛𝑒 4𝑙 2 sen (51) 2𝑙 𝑛=0 La ausencia de átomos de radón en el pozo en el momento inicial 𝑡 = 0, da 35 ∞ (2𝑛 + 1)𝜋𝑧 0 = 𝐶0 + ∑ 𝐶 ′ 𝑛 sen 2𝑙 𝑛=0 Donde la constante 𝐶′𝑛 son desarrollos de Fourier de la función −𝐶0 ∞ (2𝑛 + 1)𝜋𝑧 −𝐶 = ∑ 𝐶′0 𝑛 sen 2𝑙 𝑛=0 Donde 𝑙 2 (2𝑛 + 1)𝜋𝑧 𝐶′𝑛 = ∫ −𝐶0 sen 𝑑𝑧 (52) 𝑙 2𝑙 0 2𝐶0 2𝑙 (2𝑛 + 1)𝜋𝑙 2𝑙 𝐶′𝑛 = − ( cos + cos 0) 𝑙 (2𝑛 + 1)𝜋 2𝑙 (2𝑛 + 1)𝜋 4𝐶 ′ 0𝐶 𝑛 = − (53) (2𝑛 + 1)𝜋 Finalmente, reemplazando (53) en (51) se obtiene ∞ 4 1 (2𝑛+1)2− 𝜋2𝐷𝑡 (2𝑛 + 1)𝜋𝑧 𝐶(𝑧, 𝑡) = 𝐶0 (1 − ∑ 𝑒 4𝑙 2 sen ) (54) 𝜋 (2𝑛 + 1) 2𝑙 𝑛=0 Este resultado ha sido obtenido por otros autores, la diferencia en este estudio es que se aplican las condiciones de frontera propias de la geometría de los pozos en estudio. 36 2.3.2. Teoría de difusión del radón para exposiciones relativamente largas Se consideran exposiciones relativamente grandes a los tiempos mayores al periodo de semidesintegración del radón 222, 𝑡1⁄2 = 3.83 días. Las condiciones iniciales y de frontera son las mismas que para el caso de exposición a corto plazo. En este caso se tiene en cuenta la ecuación constante de desintegración, ecuación (37) 𝜕𝐶(𝑧, 𝑡) ∂2𝐶(𝑧, 𝑡) = 𝐷 − 𝜆𝐶(𝑧, 𝑡) 𝜕𝑡 ∂z2 Planteando una solución del tipo 𝐶(𝑧, 𝑡) = 𝑢(𝑧, 𝑡)𝑒−𝜆𝑡 (55) Derivando respecto al 𝑡 y 𝑧, tenemos 𝜕𝐶(𝑧, 𝑡) 𝜕𝑢(𝑧, 𝑡) = 𝑢(𝑧, 𝑡)[−𝜆𝑒−𝜆𝑡] + 𝑒−𝜆𝑡 (56) 𝜕𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝐶(𝑧, 𝑡) 𝜕𝑢(𝑧, 𝑡) ∂2𝐶(𝑧, 𝑡) 𝜕2𝑢(𝑧, 𝑡) = 𝑒−𝜆𝑡 ⇒ = 𝑒−𝜆𝑡 (57) 𝜕𝑧 𝜕𝑧 ∂z2 𝜕𝑧2 Reemplazando (56) y (57) en (37), nuestra ecuación tenemos 𝜕𝑢(𝑧, 𝑡) 𝜕2𝑢(𝑧, 𝑡) 𝑢(𝑧, 𝑡)[−𝜆𝑒−𝜆𝑡] + 𝑒−𝜆𝑡 = 𝐷𝑒−𝜆𝑡 − 𝜆𝑢(𝑧, 𝑡)𝑒−𝜆𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝑧2 𝜕𝑢(𝑧, 𝑡) 𝜕2𝑢(𝑧, 𝑡) = 𝐷 (58) 𝜕𝑡 𝜕𝑧2 37 El resultado de la concentración del gas radón es ∞ (2𝑛+1)24 1 − 𝜋2𝐷𝑡 (2𝑛 + 1)𝜋𝑧 𝑢(𝑧, 𝑡) = 𝐶0 (1 − ∑ 𝑒 4𝑙 2 sen ) (59) 𝜋 (2𝑛 + 1) 2𝑙 𝑛=0 Reemplazando (55) en (59) y dando forma los términos constantes de la exponencial ∞ 4 1 (2𝑛+1)2− 𝜋2𝐷𝑡 (2𝑛 + 1)𝜋𝑧 𝐶(𝑧, 𝑡)𝑒𝜆𝑡 = 𝐶0 (1 − ∑ 𝑒 4𝑙 2 sen ) 𝜋 (2𝑛 + 1) 2𝑙 𝑛=0 ∞ 4 1 (2𝑛+1) 2 −𝜆𝑡 −[ 2 𝜋 2𝐷+𝜆]𝑡 (2𝑛 + 1)𝜋𝑧 𝐶(𝑧, 𝑡) = 𝐶 4𝑙0 (𝑒 − ∑ 𝑒 sen ) (60) 𝜋 (2𝑛 + 1) 2𝑙 𝑛=0 Lo que da una distribución espacial y temporal de la concentración de radón para un tiempo de exposición mucho mayor al periodo de semidesintegración del Rn 222. Donde 𝐶(𝑧, 𝑡): es la concentración de radón a una determinada altura, 𝐶0: es la concentración de radón constante en el tiempo, a la máxima profundidad del pozo, 𝜆: es la constante de decaimiento del radón, 𝑡: es el tiempo, 𝐷: es la constante de difusión, 𝑙: la altura del pozo y 𝑛: es un número entero de la serie. En el trabajo de (Nikezić & Urošević, 1998), se describe el modelo de adsorción de radón usando carbón activado durante periodos de un día hasta completar cinco días. Durante esos periodos, el radón se difundió a través de los poros del carbón activado, es decir fue adsorbido en la superficie de los gránulos de carbón. Los resultados de la simulación del proceso se presentan en la 𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 4. 38 𝑭𝒊𝒈𝒖𝒓𝒂 𝟒. Distribución de la concentración de radón vs por altura relativa del recipiente del carbón activado. La gráfica de la 𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 4 muestra los resultados de la simulación, considerando que el carbón activado se encuentra en un recipiente expuesto a una concentración exterior de 200 Bq/m3 para diferentes tiempos de exposición. Por tanto, las curvas están dadas para tiempos fijos de 1, 2, 3, 4 y 5 días. En cambio, en este trabajo de investigación, los resultados se darán para tiempos fijos. Y no se mide directamente la concentración del gas radón correspondiente a 𝐶(𝑧, 𝑡) de la ecuación (60), sino se mide la densidad de partículas alfa emitidas por el radón 222 y su progenie usando la técnica de huellas nucleares y aplicando la metodología que se describe en el siguiente capítulo. Conociendo la densidad de partículas alfa detectadas con el arreglo vertical de detectores que se describe en la metodología aplicada y usando un factor de calibración, se puede calcular en forma indirecta, la concentración del radón y su progenie. 39 Capítulo 3: METODOLOGÍA 3.1. Diseño metodológico Es una investigación aplicada, porque se utiliza leyes, principios y teorías para construir un modelo que relaciona las variables de estudio y nos permite procesar los datos experimentales mediante una técnica de simulación. El método empleado en la investigación es el deductivo, dado que en el desarrollo del modelo de difusión se han utilizado teorías y modelos dejados por otros autores que tienen alguna relación con el tema. Y en una parte de la investigación, se aplica el método inductivo, debido a que se utilizan datos de tiempo y de densidad de huellas que correlacionados dan lugar a un modelo semiempírico que constituye un aporte del presente estudio, permitiendo así obtener nueva información; en este caso, las variaciones de la concentración de radón con las alturas del pozo. Lo expuesto en el párrafo anterior tiene un matiz experimental debido a que en la modelación se utilizan datos obtenidos con la técnica de huellas nucleares obteniendo finalmente los resultados buscados. 3.2. Muestra Nuestra muestra comprende cuatro pozos ubicados dentro del recinto de la estación meteorológica Hipólito Unanue, en los cuales se ha estudiado el proceso de exhalación del radón y progenie. 40 3.3. Detectores e instrumentos utilizados Polímero LR-115 tipo 2 El detector usado, LR-115 tipo 2, consta de una película delgada de nitrato de celulosa color rojo intenso depositada sobre una base de poliéster de 100 𝜇𝑚 de espesor. Solo un lado del detector corresponde a la película sensible. El grosor de la película sensible de este tipo es de 12 𝜇𝑚. Estas películas son usadas principalmente en la detección de pequeñas cantidades de partículas ionizantes, principalmente partículas alfa o neutrones. Cuando la película se expone y es procesada en las condiciones sugeridas por el fabricante, se puede observar cada partícula registrada, mostrándose como un punto brillante de luz que puede observarse fácilmente con un microscopio óptico, incluso si este se encuentra en medio de una gran área de película. Además, tales huellas se distinguen fácilmente de los defectos superficiales en la superficie sensible como los causados por el polvo o arañazos producidos durante el manipuleo. La saturación del detector está determinada por la capacidad de distinguir huellas individuales entre sí, es decir sin superponerse. Se estima una densidad de huellas máxima de 600 ℎ𝑢𝑒𝑙𝑙𝑎𝑠/𝑚𝑚2 con diámetros de 5 a 15 𝜇𝑚 para el LR-115 tipo 2 para no llegar a una densidad de saturación. 41 Sistema de grabado químico de los detectores Para el grabado químico de los detectores, se usa un sistema termostático marca RELEX, el cual consta de vasos acondicionados para colocar los detectores al interior de la sustancia grabadora, en un baño María, permitiendo así el tratamiento químico necesario para el grabado de huellas. El procedimiento protocolar de laboratorio usado es el siguiente: ▪ El sistema de baño es un sistema abierto, se normaliza la temperatura del ambiente donde se encuentra el sistema a 25 ℃, teniendo puertas y ventanas cerradas, evitando así la existencia de factores externos que perturben la temperatura durante el proceso de grabado. ▪ Se vierte 200 𝑚𝑙 de agua bidestilada en un vaso de vidrio PYREX® de 500 𝑚𝑙 dentro del cual se posa un vaso PYREX® pequeño de 150 𝑚𝑙 con 110 𝑚𝑙 de la solución de 𝑁𝑎𝑂𝐻 a 2.5𝑁. ▪ Luego de haber colocado ambos vasos en el sistema, se prende el sistema a una potencia del 40 %, se coloca el termómetro dentro del vaso de vidrio con agua, con la finalidad de programar el sistema a la temperatura de 60 ℃. Esto nos lleva a esperar aproximadamente 1 hora para que la temperatura se estabilice a 60 ± 0,5 ℃. 42 𝑭𝒊𝒈𝒖𝒓𝒂 𝟓. Sistema termostático estabilizado a 𝟔𝟎℃ ▪ Luego de haber preparado y codificado los detectores, estos se colocan en la solución del sistema de baño María. Después de 90 𝑚𝑖𝑛 de grabado, los detectores son retirados y se apaga el sistema de calentamiento. ▪ Los detectores retirados son colocados en envases de plástico Corning de 600 𝑚𝑙 con agua de caño termalizada a 40 ℃ para poder realizar el proceso de neutralización de la solución alcalina sobre los detectores y eliminar productos que puedan quedar adheridos en estos, durante el proceso de grabado. Este proceso dura aproximadamente 20 𝑚𝑖𝑛. 𝑭𝒊𝒈𝒖𝒓𝒂 𝟔. Vista interior del sistema de baño María 43 ▪ Luego, los detectores se enjuagan repetidamente con agua destilada en otros envases plásticos Corning de 600 𝑚𝑙, eliminando de esta manera residuos e impurezas que hayan quedado desde el primer enjuague. Este proceso dura aproximadamente 30 𝑚𝑖𝑛. ▪ Posteriormente se dejan secar los detectores por un periodo de 24 horas. Lectura de los detectores en un microscopio óptico LEICA modelo DDM LM El microscopio óptico LEICA modelo DM LM es un microscopio moderno de iluminación halógena de 100𝑊 con alcances de 5X, 10X y 20X diseñado para tareas de investigación en el ámbito de las ciencias de los materiales que facilita al investigador contabilizar y adoptar criterios de aceptación de las huellas nucleares visibles desde un monitor de una PC usando un software adecuado. 𝑭𝒊𝒈𝒖𝒓𝒂 𝟕. Microscopio óptico LEICA modelo DM LM 44 Para el enfoque del microscopio en un alcance de 10X, en el cual se basa esta investigación, las dimensiones del campo de visión a través de la cámara es de 1.19 × 0.891 𝑚𝑚2. Mediante una plantilla determinada a través parámetros de realce del software como brillo, contraste, niveles de exposición, saturación y otros filtros; se homogeniza las imágenes de los detectores en la pantalla. Con este procedimiento descrito se contabilizó las huellas en cada detector. 3.4. Sistema de detectores colocados al interior de los pozos Las medidas realizadas en el procedimiento experimental fueron hechas dentro de las instalaciones de la estación meteorológica Hipólito Unanue de la Pontificia Universidad Católica del Perú, localizada en el distrito de San Miguel - Lima Perú. El suelo de San Miguel presenta afloramientos rocosos, estratos de grava que conforman los conos de deyección de los ríos Rímac y Chillón y los estratos de grava coluvial-eluvial de los pies de las laderas. Este suelo tiene un comportamiento rígido con periodos de vibración natural. El perfil estratigráfico de terreno corresponde a un estrato superior de un suelo limoso, arcilla de baja a alta plasticidad semirrígida o relleno con cascotes de gravas y otros, donde por debajo de estos estratos se encuentra el conglomerado del río Rímac. En cuanto al clima, San Miguel es cálido en verano y templado con mucha humedad y muy escasas precipitaciones pluviales en el invierno, que definen la carencia absoluta de lluvias, un alto grado de humedad que llega hasta un 98 %. En verano la temperatura llega hasta los 28 grados y en invierno desciende hasta los 13 grados. Fuente CISMID y municipalidad de San Miguel. 45 En este trabajo, se utilizan cuatro pozos cilíndricos cavados en el suelo con alturas similares de 2.25, 2.20, 2.36 y 2.35m, diseñados especialmente para el estudio de la exhalación del radón y progenie desde el suelo en la estación EMHU- PUCP. Los pozos se identifican en adelante como pozos 1, 2, 3 y 4. Los pozos 1 y 2 se encuentran instalados en una zona seca de la estación (sin ningún riego periódico), los pozos 3 y 4 se encuentran instalados en una zona húmeda de la estación (con riegos periódicos con HR del orden del 98% de acuerdo a las mediciones). K Al interior de estos pozos de tierra, se colocaron tubos de PVC con la base abierta de longitudes 2.65, 2.60, 2.76 y 2.75m respectivamente, cada tubo tiene una tapa en el extremo exterior. En cada pozo, se instalaron los detectores en un sistema de arreglo vertical, cada arreglo consta de 12 a 13 detectores aproximadamente, a fin de medir la exhalación de radón en puntos espaciados equidistantes de 0.15m entre cada detector y desde 0.2m del suelo, se mide la distribución vertical de una cantidad proporcional a la concentración de radón y progenie, como se observa en la 𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 8. 𝑁13 𝑙 = 2.75𝑚 2𝑚 𝑧 0.15𝑚 𝑁1 𝑥 0.2𝑚 𝑦 k 𝑭𝒊𝒈𝒖𝒓𝒂 𝟖. Detalle del sistema de arreglo vertical de detectores 46 …… … El sistema de arreglo vertical de detectores permaneció al interior de cada pozo, durante 31 días, en los meses de febrero a marzo (13/02 al 17/03) y de agosto a setiembre (26/08 al 25/09) del 2017. 3.5. Procesamiento de los datos Los datos obtenidos de los detectores procesados según el protocolo correspondiente, son las densidades de huellas. Se utiliza para su procesamiento, técnicas computacionales y estadísticas, las cuales permiten construir el modelo experimental basado en la data procesada. Se obtiene gráficos y se aplica estadística de correlación exponencial. El análisis de la información se realiza a través de la lectura de estos gráficos y de las ecuaciones de regresión exponencial obtenidas con sus respectivos parámetros. El cálculo de las densidades de huellas de las partículas alfa provenientes del radón y su progenie se calcula mediante la expresión: ∑ 𝑁 𝜌 = (61) 𝑛. 𝐴 Donde ∑ 𝑁 es la suma total de los números de huellas en los campos ópticos de visión, 𝑛 la cantidad de campos ópticos analizados, 𝐴 el área del campo óptico en 𝑚𝑚2. La ecuación que permite transformar la densidad de huellas en concentración de radón en 𝐵𝑞⁄𝑚3 es: 𝜌 𝐶 = (62) 𝑘. 𝑡 47 Donde 𝜌 es la densidad de huellas, 𝑘 es el factor de calibración y 𝑡 el tiempo de exposición del detector en horas. El factor de calibración utilizado en el presente estudio es (0.00412 ± ℎ𝑢𝑒𝑙𝑙𝑎𝑠⁄𝑚𝑚2 0,000595) 3 el cual ha sido determinado para condiciones similares y 𝑘𝐵𝑞⁄𝑚 validado para esos tipos de pozos por el grupo de investigación GITHUNU- PUCP. Las incertidumbres asociadas, a las densidades de huellas y concentraciones de radón y progenie, se determinaron mediante el cálculo de la incertidumbre estándar combinada, donde para el caso de la densidad de huellas es: 2 2 √ 𝜕𝜌 2 𝜕𝜌 𝜕𝜌 𝑢𝜌 = ( ∙ 𝑢𝑃) + ( ∙ 𝑢𝑃 ) + ( ∙ 𝑢𝐴) (63) 𝜕𝑃 𝜕𝑃 𝑓𝑓 𝜕𝐴 𝜎 𝜎𝑓 𝑢𝑃 = ; 𝑢𝑃 = 𝑁 𝑓√ √𝑁𝑓 Donde: 𝜎: es la desviación estándar del promedio de huellas. 𝜎𝑓: es la desviación estándar del promedio de huellas de fondo. 𝑁: es la cantidad de campos analizados del detector expuesto. 𝑁𝑓: es la cantidad de campos analizados del detector testigo. 𝑢𝑃: es la incertidumbre estándar del promedio de huellas. 𝜕𝜌 : es la derivada parcial de la densidad de trazas con respecto al promedio de 𝜕𝑃 huellas. 𝑢𝑃 : es la incertidumbre estándar del promedio de huellas de fondo. 𝑓 𝜕𝜌 : es la derivada parcial de la densidad de trazas con respecto al promedio de 𝜕𝑃𝑓 huellas de fondo. 48 𝑢𝐴: es la incertidumbre estándar del área de campo de visión 𝜕𝜌 : derivada parcial de la densidad de trazas con respecto al del área de campo de 𝜕𝐴 visión. Y para el cálculo de la incertidumbre de la concentración de radón y progenie, se usa la expresión: 𝜕𝐶 2 𝜕𝐶 2 𝜕𝐶 2 𝑢𝐶 = √( ∙ 𝑢𝜌) + ( ∙ 𝑢 ) + ( ∙ 𝑢 ) (64) 𝜕𝜌 𝜕𝑘 𝑘 𝜕𝑡 𝑡 Donde 𝑢𝜌: es la incertidumbre estándar de la densidad de huellas. 𝜕𝐶 : es la derivada parcial de la concentración con respecto a la densidad de huellas. 𝜕𝜌 𝑢𝑘: es la incertidumbre estándar del factor de calibración. 𝜕𝐶 : es la derivada parcial de la concentración con respecto al factor de calibración. 𝜕𝑘 𝑢𝑡: es la incertidumbre estándar del tiempo. 𝜕𝐶 : es la derivada parcial de la concentración con respecto al tiempo. 𝜕𝑘 49 Capítulo 4: RESULTADOS 4.1. Densidad de huellas y concentraciones de Rn 222 y su progenie Usando las expresiones (61) y (62) se determina las densidades de huellas de partículas alfa y concentraciones del radón y su progenie. Los datos se presentan en las siguientes tablas. 4.1.1. Densidad de huellas y concentración de Rn 222 y su progenie correspondiente al periodo de verano 2017 (31 días desde el 13/02 al 17/03). 𝑻𝒂𝒃𝒍𝒂 𝟓. Densidad de huellas y concentración de Rn 222 y progenie en el pozo 1 – EMHU - Periodo verano 2017. Altura Densidad Concentración [m±0.05] [Huellas/mm2] [kBq/m3] 0,20 40,65 ± 1,49 13,26 ± 1,98 0,35 37,63 ± 1,07 12,28 ± 1,81 0,50 33,76 ± 2,80 11,02 ± 1,83 0,65 31,60 ± 1,56 10,31 ± 1,57 0,80 30,27 ± 0,49 9,88 ± 1,43 0,95 25,94 ± 0,53 8,46 ± 1,23 1,10 22,45 ± 0,22 7,32 ± 1,06 1,25 19,43 ± 0,20 6,34 ± 0,92 1,40 16,79 ± 0,70 5,48 ± 0,82 1,55 15,66 ± 0,21 5,11 ± 0,74 1,70 14,34 ± 0,34 4,68 ± 0,68 1,85 12,73 ± 0,13 4,15 ± 0,60 2,00 11,79 ± 0,47 3,85 ± 0,58 50 18 15 12 C = 16,105e-0,727z R² = 0,9909 9 6 3 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 z (m) 𝑮𝒓𝒂𝒇𝒊𝒄𝒂 𝟏. Concentración de Rn 222 y su progenie vs la altura del pozo 1 – EMHU - Periodo verano 2017. 𝑻𝒂𝒃𝒍𝒂 𝟔. Densidad de huellas y concentración de Rn 222 y progenie en el pozo 2 – EMHU - Periodo verano 2017. Altura Densidad Concentración [m±0.05] [Huellas/mm2] [kBq/m3] 0,20 32,82 ± 1,81 10,71 ± 1,65 0,35 25,37 ± 1,92 8,28 ± 1,35 0,50 22,64 ±1,73 7,38 ± 1,21 0,65 21,13 ± 0,46 6,89 ± 1,01 0,80 19,05 ± 0,77 6,22 ± 0,93 0,95 16,22 ± 0,19 5,29 ± 0,77 1,10 14,15 ± 0,48 4,62 ± 0,68 1,25 12,45 ± 0,26 4,06 ± 0,59 1,40 11,22 ± 0,31 3,66 ± 0,54 1,55 10,56 ± 0,32 3,45 ± 0,51 1,70 9,81 ± 0,21 3,20 ± 0,47 1,85 9,24 ± 0,16 3,02 ± 0,44 51 C 3Rn-222 (kBq/m ) 12 10 8 C = 11,144e-0,755z R² = 0,9812 6 4 2 0 0 0,5 1 1,5 2 z (m) 𝑮𝒓𝒂𝒇𝒊𝒄𝒂 𝟐. Concentración de Rn 222 y su progenie vs la altura del pozo 2 – EMHU - Periodo verano 2017. 𝑻𝒂𝒃𝒍𝒂 𝟕. Densidad de huellas y concentración de Rn 222 y progenie en el pozo 3 – EMHU - Periodo verano 2017. Altura Densidad Concentración [m±0.05] [Huellas/mm2] [kBq/m3] 0,20 47,16 ± 1,71 15,38 ± 2,29 0,35 42,82 ± 1,66 13,97 ± 2,09 0,50 41,12 ± 0,80 13,42 ± 1,95 0,65 39,52 ± 0,20 12,89 ± 1,86 0,80 36,41 ± 0,35 11,88 ± 1,72 0,95 34,14 ± 1,12 11,14 ± 1,65 1,10 29,24 ± 1,74 9,54 ± 1,49 1,25 27,82 ± 0,75 9,08 ± 1,33 1,40 24,52 ± 0,70 8,00 ± 1,18 1,55 23,58 ± 0,28 7,69 ± 1,11 1,70 21,69 ± 0,24 7,08 ± 1,02 1,85 22,07 ± 0,58 7,20 ± 1,06 2,00 21,69 ± 0,85 7,08 ± 1,06 52 C 3Rn-222 (kBq/m ) 20 15 C = 16,862e-0,479z R² = 0,9721 10 5 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 z (m) 𝑮𝒓𝒂𝒇𝒊𝒄𝒂 𝟑. Concentración de Rn 222 y su progenie vs la altura del pozo 3 – EMHU - Periodo verano 2017. 𝑻𝒂𝒃𝒍𝒂 𝟖. Densidad de huellas y concentración de Rn 222 y progenie en el pozo 4 – EMHU - Periodo verano 2017. Altura Densidad Concentración [m±0.05] [Huellas/mm2] [kBq/m3] 0,20 53,19 ± 6,65 17,35 ± 3,31 0,35 50,93 ± 1,18 16,61 ± 2,43 0,50 43,48 ± 1,86 14,18 ± 2,14 0,65 38,20 ± 1,88 12,46 ± 1,90 0,80 30,93 ± 3,38 10,09 ± 1,83 0,95 25,94 ± 0,71 8,46 ± 1,24 1,10 20,75 ± 1,25 6,77 ± 1,06 1,25 19,99 ± 0,23 6,52 ± 0,94 1,40 14,71 ± 0,29 4,80 ± 0,70 1,55 14,52 ± 0,21 4,74 ± 0,69 1,70 11,79 ± 0,25 3,85 ± 0,56 1,85 10,56 ± 0,18 3,45 ± 0,50 2,00 8,96 ± 0,15 2,92 ± 0,42 53 CRn-222 (kBq/m 3) 20 15 C = 22,965e-1,041z R² = 0,9922 10 5 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 z (m) 𝑮𝒓𝒂𝒇𝒊𝒄𝒂 𝟒. Concentración de Rn 222 y su progenie vs la altura del pozo 4 – EMHU - Periodo verano 2017 4.1.2. Densidades y concentraciones de huellas correspondientes al periodo de invierno 2017 (31 días desde el 26/08 al 25/09). 𝑻𝒂𝒃𝒍𝒂 𝟗. Densidad de huellas y concentración de Rn 222 y progenie en el pozo 1 – EMHU - Periodo invierno 2017. Altura Densidad Concentración [m±0.05] [Huellas/mm2] [kBq/ m3] 0,20 131,85 ± 3,18 43,01 ± 6,30 0,35 102,14 ± 3,46 33,32 ± 4,94 0,50 87,15 ± 19,18 28,43 ± 7,48 0,65 77,81 ± 16,27 25,38 ± 6,45 0,80 64,42 ± 12,74 21,01 ± 5,14 0,95 56,40 ± 34,29 18,40 ±11,50 1,10 50,36 ±1,81 16,43 ± 2,44 1,25 45,36 ±3,15 14,80 ± 2,37 1,40 44,23 ± 1,39 14,43 ± 2,13 1,55 44,04 ± 7,05 14,37 ± 3,10 1,70 37,25 ± 2,92 12,15 ± 2,00 1,85 28,01 ± 3,85 9,14 ± 1,82 2,00 24,99 ± 6,80 8,15 ± 2,51 54 CRn-222 (kBq/m 3) 50 40 C = 44,159e-0,825z 30 R² = 0,9693 20 10 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 z (m) 𝑮𝒓𝒂𝒇𝒊𝒄𝒂 𝟓. Concentración de Rn 222 y su progenie vs la altura del pozo 1 – EMHU - Periodo invierno 2017. 𝑻𝒂𝒃𝒍𝒂 𝟏𝟎. Densidad de huellas y concentración de Rn 222 y progenie en el pozo 2 – EMHU - Periodo invierno 2017. Altura Densidad Concentración [m±0.05] [Huellas/mm2] [kBq/m3] 0,20 120,82 ±13,14 39,41 ± 7,12 0,35 117,70 ± 1,72 38,40 ± 5,57 0,50 98,94 ± 33,14 32,28 ± 11,77 0,65 85,92 ± 12,65 28,03 ± 5,78 0,80 83,56 ± 8,77 27,26 ± 4,86 0,95 75,07 ± 13,64 24,49 ± 5,68 1,10 75,26 ± 3,26 24,55 ± 3,70 1,25 55,36 ± 3,97 18,06 ± 2,91 1,40 49,99 ± 2,87 16,31 ± 2,53 1,55 39,42 ± 4,20 12,86 ± 2,31 1,70 32,92 ± 1,88 10,74 ± 1,67 1,85 29,33 ± 1,75 9,57 ± 1,49 55 C 3Rn-222 (Bq/m ) 50 40 C = 52,089e-0,872z 30 R² = 0,9649 20 10 0 0 0,5 1 1,5 2 z (m) 𝑮𝒓𝒂𝒇𝒊𝒄𝒂 𝟔. Concentración de Rn 222 y su progenie vs la altura del pozo 2 – EMHU - Periodo invierno 2017. 𝑻𝒂𝒃𝒍𝒂 𝟏𝟏. Densidad de huellas y concentración de Rn 222 y progenie en el pozo 3 – EMHU - Periodo invierno 2017. Altura Densidad Concentración [m±0.05] [Huellas/mm2] [kBq/m3] 0,20 88,37 ± 11,26 28,83 ± 5,55 0,35 85,17 ± 10,79 27,78 ± 5,34 0,50 77,43 ± 4,38 25,26 ± 3,92 0,65 68,94 ± 2,28 22,49 ± 3,33 0,80 64,32 ± 6,19 20,98 ± 3,64 0,95 53,66 ± 7,86 17,51 ± 3,60 1,10 47,06 ±10,71 15,35 ± 4,14 1,25 39,05 ± 2,75 12,74 ± 2,05 1,40 34,52 ± 1,58 11,26 ± 1,71 1,55 29,80 ± 1,31 9,72 ± 1,47 1,70 27,26 ± 0,90 8,89 ± 1,32 1,85 26,88 ± 0,28 8,77 ± 1,27 2,00 24,05 ± 0,88 7,85 ± 1,17 56 CRn-222 (kBq/m 3) 40 30 C = 36,479e-0,8z R² = 0,9854 20 10 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 z (m) 𝑮𝒓𝒂𝒇𝒊𝒄𝒂 𝟕. Concentración de Rn 222 y su progenie vs la altura del pozo 3 – EMHU - Periodo invierno 2017. 𝑻𝒂𝒃𝒍𝒂 𝟏𝟐. Densidad de huellas y concentración de Rn 222 y progenie en el pozo 4 – EMHU - Periodo invierno 2017. Altura Densidad Concentración [m±0.05] [Huellas/mm2] [kBq/m3] 0,20 97,90 ± 3,87 31,94 ± 4,78 0,35 91,77 ± 15,50 29,94 ± 6,65 0,50 87,62 ± 4,12 28,58 ± 4,34 0,65 76,68 ± 6,93 25,01 ± 4,26 0,80 65,83 ± 4,95 21,48 ± 3,50 0,95 59,98 ± 6,57 19,57 ± 3,54 1,10 49,33 ± 2,75 16,09 ± 2,49 1,25 44,80 ± 1,17 14,61 ± 2,14 1,40 39,80 ± 0,88 12,98 ± 1,90 1,55 36,50 ± 1,17 11,91 ± 1,76 1,70 33,48 ± 0,65 10,92 ± 1,59 1,85 33,20 ± 0,23 10,83 ± 1,57 2,00 29,33 ± 0,64 9,57 ± 1,40 57 CRn-222 (kBq/m3) 40 30 C = 38,098e-0,721z R² = 0,9844 20 10 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 z (m) 𝑮𝒓𝒂𝒇𝒊𝒄𝒂 𝟖. Concentración de Rn 222 y su progenie vs la altura del pozo 4 – EMHU - Periodo invierno 2017 4.2. Comparación de las concentraciones de radón y su progenie en cada pozo, en verano e invierno 2017 Se comparan las variaciones de las concentraciones de radón y su progenie en cada pozo en los periodos estudiados: 𝐶𝑖𝑛𝑣𝑖𝑒𝑟𝑛𝑜 − 𝐶𝑣𝑒𝑟𝑎𝑛𝑜 % = | | × 100 𝐶𝑖𝑛𝑣𝑖𝑒𝑟𝑛𝑜 Esta comparación se realiza para determinar los efectos de la humedad en el proceso de la exhalación de radón desde el suelo. Tomando en cuenta que los pozos 1 y 2 están en una zona relativamente seca (zona sin césped y sin riego) y los pozos 3 y 4 están en una zona siempre húmeda (zona con césped y riego periódico). 58 CRn-222 (kBq/m 3) 𝑻𝒂𝒃𝒍𝒂 𝟏𝟑. Variación en porcentaje de las concentraciones de Rn 222 y progenie en el pozo 1, durante los periodos verano e invierno 2017. Variación Altura 𝑪𝒗𝒆𝒓𝒂𝒏𝒐 𝑪𝒊𝒏𝒗𝒊𝒆𝒓𝒏𝒐 de C [m±0.05] [kBq/m3] [kBq/m3] [%] 0,20 13,26 43,01 69 0,35 12,28 33,32 63 0,50 11,02 28,43 61 0,65 10,31 25,38 59 0,80 9,88 21,01 53 0,95 8,46 18,40 54 1,10 7,32 16,43 55 1,25 6,34 14,80 57 1,40 5,48 14,43 62 1,55 5,11 14,37 64 1,70 4,68 12,15 62 1,85 4,15 9,14 55 2,00 3,85 8,15 53 100 80 60 40 20 R² = 0,9734 0 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 z (m) 𝑮𝒓𝒂𝒇𝒊𝒄𝒂 𝟗. Variación en porcentajes de las concentraciones de Rn 222 y su progenie en el pozo 1 durante los periodos de verano e invierno del año 2017. 59 % 𝑻𝒂𝒃𝒍𝒂 𝟏𝟒. Variación en porcentaje de las concentraciones de Rn 222 y progenie en el pozo 2, durante los periodos verano e invierno 2017. Variación Altura 𝑪 𝒗𝒆𝒓𝒂𝒏𝒐 𝑪𝒊𝒏𝒗𝒊𝒆𝒓𝒏𝒐 de C [m±0.05] [kBq/m3] [kBq/m3] [%] 0,20 10,71 39,41 73 0,35 8,28 38,40 78 0,50 7,38 32,28 77 0,65 6,89 28,03 75 0,80 6,22 27,26 77 0,95 5,29 24,49 78 1,10 4,62 24,55 81 1,25 4,06 18,06 78 1,40 3,66 16,31 78 1,55 3,45 12,86 73 1,70 3,20 10,74 70 1,85 3,02 9,57 68 100 80 60 40 R² = 0,96120 0 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 z (m) 𝑮𝒓𝒂𝒇𝒊𝒄𝒂 𝟏𝟎. Variación en porcentajes de las concentraciones de Rn 222 y su progenie en el pozo 2 durante los periodos de verano e invierno del año 2017. 60 % 𝑻𝒂𝒃𝒍𝒂 𝟏𝟓. Variación en porcentaje de las concentraciones de Rn 222 y progenie en el pozo 3, durante los periodos verano e invierno 2017. Variación Altura 𝑪 𝒗𝒆𝒓𝒂𝒏𝒐 𝑪𝒊𝒏𝒗𝒊𝒆𝒓𝒏𝒐 de C [m±0.05] [kBq/m3] [kBq/m3] [%] 0,20 15,38 28,83 47 0,35 13,97 27,78 50 0,50 13,42 25,26 47 0,65 12,89 22,49 43 0,80 11,88 20,98 43 0,95 11,14 17,51 36 1,10 9,54 15,35 38 1,25 9,08 12,74 29 1,40 8,00 11,26 29 1,55 7,69 9,72 21 1,70 7,08 8,89 20 1,85 7,20 8,77 18 2,00 7,08 7,85 10 100 R² = 0,9839 80 60 40 20 0 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 z (m) 𝑮𝒓𝒂𝒇𝒊𝒄𝒂 𝟏𝟏. Variación en porcentajes de las concentraciones de Rn 222 y su progenie en el pozo 3 durante los periodos de verano e invierno del año 2017. 61 % 𝑻𝒂𝒃𝒍𝒂 𝟏𝟔. Variación en porcentaje de las concentraciones de Rn 222 y progenie en el pozo 4, durante los periodos verano e invierno 2017. Variación Altura 𝑪𝒗𝒆𝒓𝒂𝒏𝒐 𝑪 𝒊𝒏𝒗𝒊𝒆𝒓𝒏𝒐 de C [m±0.05] [kBq/m3] [kBq/m3] [%] 0,20 17,35 31,94 46 0,35 16,61 29,94 45 0,50 14,18 28,58 50 0,65 12,46 25,01 50 0,80 10,09 21,48 53 0,95 8,46 19,57 57 1,10 6,77 16,09 58 1,25 6,52 14,61 55 1,40 4,80 12,98 63 1,55 4,74 11,91 60 1,70 3,85 10,92 65 1,85 3,45 10,83 68 2,00 2,92 9,57 69 100 80 60 40 20 R² = 0,9591 0 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 z 𝑮𝒓𝒂𝒇𝒊𝒄𝒂 𝟏𝟐. Variación en porcentajes de las concentraciones de Rn 222 y su progenie en el pozo 4 durante los periodos de verano e invierno del año 2017. 62 % Capítulo 5: DISCUSIÓN, CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 5.1. Discusión A todas las gráficas de concentraciones de radón y progenie en función de la altura del pozo, obtenidas en los cuatro casos, se aplicó un modelo de ajuste empírico, ecuación exponencial. Los ajustes de los datos son bastante buenos, su coeficiente de regresión exponencial es en promedio 𝑅2 = 0.98, esto indica una incertidumbre de solo 1%. Lo cual prueba que el modelo de ajuste elegido es correcto y responde muy bien a la descripción del comportamiento del radón y su progenie en función de la altura de los pozos donde han sido medidos. Por otro lado, si se comparan estas curvas exponenciales, con la solución del modelo teórico, ecuación 60, se encuentra que no coinciden con este resultado puesto que en ese caso se trata de una dependencia temporal y espacial, y lo que se ha encontrado experimentalmente, es una variación espacial con la altura, debido a que se trabajó para un tiempo fijo. Cuando se grafica el valor de la concentración en función de la altura para un tiempo fijo de 31 días en cada pozo, resulta que la variación de la concentración del radón y su progenie varía exponencialmente con la altura. Donde las rectas tangentes en cualquier punto de la curva obtenida representan los gradientes de la concentración en esos puntos. 63 20 C = 22,965e−1,041𝑧 2 R = 0,9922 15 10 5 Gradiente flujo 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 𝐳(𝐦) 𝑮𝒓𝒂𝒇𝒊𝒄𝒂 𝟏𝟑. Variación de las concentraciones de Rn 222 y su progenie Se observa también que estas rectas tangentes tienen pendiente negativa, por lo que el vector gradiente apunta hacia la izquierda, hacia el punto de mayor concentración. Por tanto, el vector flujo difusivo, J, moviéndose hacia la zona de menor concentración es proporcional al diferencial de concentración en ese punto y tiene sentido contrario al gradiente, esto es: 𝐽 = −𝐷∇𝐶 Como se explica teóricamente en el capítulo 2, esto corresponde a la primera ley de Fick. Las curvas experimentales obtenidas para las concentraciones de radón y su progenie en función de la altura en cada pozo, son también exponenciales como las curvas correspondientes a la simulación de la adsorción de radón usando carbón activado en función de las alturas del recipiente (𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 4) (Nikezić & Urošević, 1998). 64 CRn-222 (kBq/m3) Las concentraciones de radón y progenie medidas en verano e invierno son mayores a 10 𝑘𝐵𝑞⁄𝑚3, llegando a valores límites del orden de 43 𝑘𝐵𝑞⁄𝑚3 en la zona seca y de 32 𝑘𝐵𝑞⁄𝑚3 en los pozos húmedos. La comparación de las variaciones en porcentaje de la concentración de Rn 222 y su progenie en función de la altura de los pozos 1 y 2 (zona seca - EMHU) en los periodos verano e invierno del año 2017 siguen los comportamientos esperados donde las concentraciones de radón y su progenie son mayores en invierno (Duggal, Rani, & Mehra, 2014). Por otro lado, la comparación de las variaciones en porcentaje de la concentración de Rn 222 y su progenie en función de la altura de los pozos 3 y 4 (zona húmeda - EMHU) en los periodos de verano e invierno del año 2017 no siguen los mismos comportamientos del caso anterior donde las concentraciones de radón y su progenie son mayores en invierno. En este caso, los porcentajes en función de la altura de los pozos siguen un comportamiento distinto en cada pozo. Las diferencias en los comportamientos de la exhalación de radón y su progenie en los pozos 1 y 2 (secos 68% HR) y los pozos 3 y 4 (húmedos 98% HR) probablemente se debe a la diferencia en el porcentaje de la humedad; las otras variables climáticas de presión y temperatura fueron las mismas en todos los pozos en cada periodo. 65 5.2. Conclusiones ▪ Se ha cumplido con el objetivo principal, planteando una metodología adecuada para determinar la concentración de radón y progenie, proveniente del suelo. ▪ La técnica de huellas nucleares y el arreglo vertical de detectores LR 115 tipo 2, han permitido medir las densidades de huellas y, por consiguiente, las concentraciones de radón y su progenie, en función de las alturas en los pozos estudiados. ▪ La curva experimental obtenida con los datos del radón y progenie siguen un comportamiento exponencial, comportamiento que se repite en todos los pozos y en las diferentes estaciones. ▪ Las fluctuaciones en las mediciones del radón y su progenie, en invierno y verano, es posible que se deban al hecho de que los pozos no son herméticos y abiertos a la exhalación del radón y su progenie desde el suelo. ▪ La humedad del suelo que produce saturación de humedad en el aire encerrado en el pozo, es un parámetro influyente en el comportamiento de la exhalación y difusión del radón. 66 5.3. Recomendaciones ▪ La misma metodología de estudio puede ser aplicada para obtener curvas de concentraciones en función del tiempo que pueden ser comparadas con las obtenidas en simulaciones. ▪ Sería recomendable hacer estudios comparativos en zonas secas y húmedas características de la ciudad de Lima. 67 Capítulo 6: FUENTES DE INFORMACIÓN 5.1. Referencias Acosta, V., Cowan, C., & Graham, B. (1983). Curso de física moderna. México D. F.: HARLA, S.A. de C.V. Burcham, W. E., & Jobes, M. (1995). Nuclear and particle physics. London, United Kingdom: Pearson Education. Cussler, E. L. (1997). CusslDiffusion, mass transfer in fluids systems (2 ed.). Cambridge: Cambridge University Press. Das, A., & Ferbel, T. (2005). Introduction to nuclear and particle physics (2 ed.). Singapore: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. Duggal, V., Rani, A., & Mehra, R. (2014). A study of seasonal variations of radon levels in different types of dwellings in Sri Ganganagar district, Rajasthan. Journal of Radiation Research and Applied Sciences, 7(2), 201-206. Gascoyne, M., & Wuschke, D. (1997). Gas migration through water-saturated, fractured rock: results of a gas injection test. Journal of Hydrology, 196(1-4), 76-98. Hecht, K. T. (2000). Quantum mechanics. United States of America: Springer. IAEA. (2015, 09 15). Nuclear Data Services. Retrieved from www- nds.iaea.org/relnsd/vcharthtml/VChartHTML.html Kamal, A. (2014). Nuclear physics. Berlin: Springer-Verlag Berlin Heidelberg. 68 Malley, M. (2011). Radioactivity, a history of a mysterious. United States of America: Oxford University Press, Inc. Meyerhof, W. E. (1967). Elements of nuclear physics. United States of America: McGraw-Hill. National Research Council. (1999). Health Effects of Exposure to Radon: BEIR VI. Washington: National Academy Press. NCRP. (1987). NCRP Report No. 93: Ionizing Radiation Exposure of the Population of the United States. Bethesda: National Council of Radiological Protection and Measurements. 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Singapore: World Scientific Pub Co Inc. 5.3. Fuentes electrónicas IAEA. (2017, 09 15). Nuclear Data Services. Retrieved from https://www-nds.iaea.org/relnsd/vcharthtml/VChartHTML.html ´ 71 APÉNDICE Ecuaciones de conexión 𝑉(𝑥) 𝐼 𝐼𝐼 𝐸 𝑥 𝑥1 𝑭𝒊𝒈𝒖𝒓𝒂 𝟏. Potencial en la vecindad a 𝒙𝟏 La solución en la región 𝐼 (región clásicamente accesible) tiene la forma 𝐴 𝑖 𝑥1 𝐵 𝑖 𝑥1 𝜓𝐼 = 𝑒𝑥𝑝 ( ∫ 𝑝𝑑𝑥) + 𝑒𝑥𝑝 (− ∫ 𝑝𝑑𝑥) , 𝑥 < 𝑥1 (65) √𝑝(𝑥) ℏ 𝑥 √𝑝(𝑥) ℏ 𝑥 En la región 𝐼𝐼, la onda transmitida tiene solo un componente de momento, de modo que dentro de la aproximación WKB, podemos escribir 𝐷 1 𝑥 𝜓𝐼𝐼 = 𝑒𝑥𝑝 (− ∫ |𝑝(𝑥)|𝑑𝑥) , 𝑥 > 𝑥1 (66) √|𝑝(𝑥)| ℏ 𝑥1 Escribiendo la ecuación de Schrödinger en la forma 𝑑2𝜓 + 𝑘2𝜓 = 0 (67) 𝑑𝑥2 72 2𝑚 𝑘2 = [𝐸 − 𝑉(𝑥)] (68) ℏ2 Si consideremos la ecuación (67) en una región pequeña a la vecindad de 𝑥1, podemos expandir la energía potencial en esa región en una serie de potencias 𝜕𝑉(𝑥1) 𝑉(𝑥) = 𝑉(𝑥1) + (𝑥 − 𝑥 ) + ⋯ (69) 𝜕𝑥 1 De la 𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 9, podemos escribir 𝜕𝑉(𝑥1) 𝑉(𝑥1) = 𝐸 , 𝐹𝑥 = (70) 1 𝜕𝑥 Por tanto, reemplazando (70) en (69) tenemos 𝑉(𝑥) = 𝑉1(𝑥) ≈ 𝐸 + 𝐹𝑥 (𝑥 − 𝑥1) (71) 1 Reescribiendo nuestra ecuación para vecindades próximas a 𝑥1 𝑑2𝜓(𝑥 − 𝑥1) 2𝑚 + [𝐸 − 𝐸 − 𝐹𝑥 (𝑥 − 𝑥𝑑𝑥2 ℏ2 1 1 )]𝜓(𝑥 − 𝑥1) = 0 𝑑2 2𝑚 [ − 𝐹𝑥 (𝑥 − 𝑥1)] 𝜓(𝑥 − 𝑥1) = 0 (72) 𝑑𝑥2 ℏ2 1 𝜑(𝑧) = 𝜓(𝑥 − 𝑥1) (73) 𝑑2 2𝑚 [ − 𝐹𝑥 (𝑥 − 𝑥1)] 𝜑(𝑧) = 0 (74) 𝑑𝑥2 ℏ2 1 Haciendo 1 2𝑚𝐹𝑥 3 𝛼 = ( 1) (75) ℏ2 73 Podemos representar la ecuación (74) como 𝑑2 [ − 𝛼3(𝑥 − 𝑥1)] 𝜑(𝑧) = 0 (76) 𝑑𝑥2 Donde 𝛼 puede ser absorbido por la variable independiente mediante la definición 𝑧 = 𝛼(𝑥 − 𝑥1) (77) Utilizando la regla de la cadena, podemos escribir la segunda derivada respecto a 𝑥 como 𝑑 𝑑𝑧 𝑑 𝑑 = = 𝛼 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑑2 𝑑 𝑑 𝑑𝑧 𝑑 𝑑 𝑑2 = (𝛼 ) = (𝛼 ) = 𝛼2 (78) 𝑑𝑥2 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑧2 Reemplazando (78) en (76) llegamos a la ecuación deferencial de Airy 𝑑2 [𝛼2 − 𝛼3(𝑥 − 𝑥1)] 𝜑(𝑧) = 0 𝑑𝑧2 𝑑2 [ − 𝛼(𝑥 − 𝑥1)] 𝜑(𝑧) = 0 𝑑𝑧2 𝑑2 [ − 𝑧] 𝜑(𝑧) = 0 (79) 𝑑𝑧2 𝑑2 𝐴𝑖(𝑧) [ − 𝑧] { } = 0 𝑑𝑧2 𝐵𝑖(𝑧) 74 Donde la solución puede ser escrita como una combinación lineal de las funciones de Airy 𝜑(𝑧) = 𝑎𝐴𝑖(𝑧) + 𝑏𝐵𝑖(𝑧) (80) Estas funciones tienen expansiones asintóticas en los límites de 𝑧 ≫ 0 (𝑥 ≫ 𝑥1), ver función asintótica Ayri 1 2 𝐴𝑖(𝑧) = 𝑧 −1⁄4𝑒𝑥𝑝 (− 𝑧3⁄2) (81) 2√𝜋 3 1 2 𝐵𝑖(𝑧) = 𝑧 −1⁄4𝑒𝑥𝑝 ( 𝑧3⁄2) (82) √𝜋 3 Y para 𝑧 ≪ 0 (𝑥 ≪ 𝑥1) 1 2 𝜋 𝐴𝑖(𝑧) = (−𝑧) −1⁄4 sin [ (−𝑧)3⁄2 + ] (83) √𝜋 3 4 1 2 𝜋 𝐵𝑖(𝑧) = (−𝑧) −1⁄4 cos [ (−𝑧)3⁄2 + ] (84) √𝜋 3 4 En la región clásicamente accesible 𝐼 (𝑥 ≪ 𝑥1), la solución puede ser escrita en términos de número de onda como 𝐴 𝑥1 𝐵 𝑥1 𝜓𝐼 = 𝑒𝑥𝑝 (𝑖 ∫ 𝑘(𝑥)𝑑𝑥) + 𝑒𝑥𝑝 (−𝑖 ∫ 𝑘(𝑥)𝑑𝑥) , 𝑥 < 𝑥1 (85) √𝑘(𝑥) 𝑥 √𝑘(𝑥) 𝑥 𝑝(𝑥) 𝑘(𝑥) = (86) ℏ En la vecindad de 𝑥1 de (71), obtenemos 𝑝2 = 2𝑚(𝐸 − 𝑉1) ≃ −2𝑚𝐹𝑥 (𝑥 − 𝑥1) (87) 1 75 Y de las ecuaciones (75) y (77) 𝑧 (𝑥 − 𝑥 2⁄31) = ℏ (88) 1⁄3 (2𝑚𝐹𝑥 )1 Por tanto, reemplazando (88) en (87) 𝑧 2 2⁄3𝑝 = −2𝑚𝐹 ℏ2⁄3𝑥 = −(2𝑚𝐹𝑥 ℏ) 𝑧 (89) 1 1⁄3 2 (2𝑚𝐹𝑥 )1 2⁄3 −2𝑚𝐹𝑥 𝑑𝑥 = −(2𝑚𝐹𝑥 ℏ) 𝑑𝑧 1 1 −1⁄3 𝑑𝑥 = (2𝑚𝐹 2⁄3𝑥 ) ℏ 𝑑𝑧 (90) 1 Por otra parte, a la izquierda de 𝑥1 𝑝2 = ℏ2𝑘2 (91) Igualando las ecuaciones (89) y (91) ℏ2 2⁄3 𝑘2 = −(2𝑚𝐹𝑥 ℏ) 𝑧 1 1⁄3 ℏ𝑘 = (2𝑚𝐹𝑥 ℏ) 𝑖𝑧 1⁄2 1 1⁄3 𝑘 = (2𝑚𝐹𝑥 ) ℏ −2⁄3𝑖𝑧1⁄2 (92) 1 Podemos escribir la integral como 𝑥1 z 1⁄3 −1⁄3 ∫ 𝑘𝑑𝑥 = ∫ [(2𝑚𝐹 ) ℏ−2⁄3𝑥 𝑖𝑧 1⁄2] [(2𝑚𝐹𝑥 ) ℏ 2⁄3𝑑𝑧] 2 1 𝑥 0 76 𝑥1 z 2 2 ∫ 𝑘𝑑𝑥 = ∫ 𝑖𝑧1⁄2𝑑𝑧 = 𝑖𝑧3⁄2 = (−𝑧)3⁄2 (93) 𝑥 0 3 3 De la ecuación (92) podemos reescribir 𝑘 como 1 2𝑚𝐹𝑥 3 𝑘 = ( 1) 𝑖𝑧1⁄2 = 𝑖𝛼𝑧1⁄2 = 𝑖𝛼[𝛼(𝑥 − 𝑥 )]1⁄2 = 𝑖𝛼3⁄2(𝑥 − 𝑥 )1⁄2 ℏ2 1 1 𝑘 = 𝑖𝛼3⁄2(𝑥 − 𝑥 1⁄21) (94) Por tanto, reemplazando las ecuaciones (94) y (93) en la ecuación (85) nuestra función de onda puede escribirse como 𝐴 2𝑖 𝐵 2𝑖 𝜓𝐼(𝑥) = 𝑒𝑥𝑝 [ (−𝑧) 3⁄2] + 𝑒𝑥𝑝 [− (−𝑧)3⁄2] √𝑖𝛼3⁄2(𝑥 − 𝑥 1⁄2 31) √𝑖𝛼3 ⁄2(𝑥 − 𝑥 )1⁄2 31 𝐴 2𝑖 𝜓𝐼(𝑥) = 𝑒𝑥𝑝 ( [−𝛼(𝑥 − 𝑥 )] 3⁄2) [ 1−𝛼3(𝑥 − 𝑥 1⁄41)] 3 𝐵 2𝑖 + 𝑒𝑥𝑝 (− [−𝛼(𝑥 − 𝑥1)] 3⁄2) [−𝛼3(𝑥 − 𝑥 1⁄41)] 3 1 2𝑖 𝜓𝐼(𝑥) = {𝐴𝑒𝑥𝑝 ( [−𝛼(𝑥 − 𝑥 )] 3⁄2) [−𝛼3(𝑥 − 𝑥 )]1⁄4 3 11 2𝑖 +𝐵𝑒𝑥𝑝 (− [−𝛼(𝑥 − 𝑥 )]3⁄2)} (95) 3 1 Por otra parte, reemplazando (83) y (84) en la ecuación (80) la solución asintótica es expresada como 𝑎 2 𝜋 𝜑(𝑧) = [−𝛼(𝑥 − 𝑥 )]−1⁄4 sin [ [−𝛼(𝑥 − 𝑥 )]3⁄21 1 + ] √𝜋 3 4 77 𝑏 2 𝜋 + [−𝛼(𝑥 − 𝑥 )]−1⁄41 cos [ [−𝛼(𝑥 − 𝑥 3⁄2 1)] + ] (96) √𝜋 3 4 Para 𝑏 = 0 𝑎 2 𝜋 𝜑(𝑧) ≅ sin [ [−𝛼(𝑥 − 𝑥 3⁄21)] + ] (97) √𝜋[−𝛼(𝑥 − 𝑥 1⁄41)] 3 4 Utilizando la fórmula de Euler y dando forma tenemos 2 𝜋 1 2𝑖 𝑖𝜋 sin [ [−𝛼(𝑥 − 𝑥 )]3⁄21 + ] = [𝑒𝑥𝑝 ( [−𝛼(𝑥 − 𝑥 )] 3⁄2 + ) 3 4 2𝑖 3 1 4 2𝑖 𝑖𝜋 −𝑒𝑥𝑝 (− [−𝛼(𝑥 − 𝑥 3⁄21)] − )] 3 4 2 𝜋 1 2𝑖 𝑖𝜋 sin [ [−𝛼(𝑥 − 𝑥1)] 3⁄2 + ] = [𝑒𝑥𝑝 ( [−𝛼(𝑥 − 𝑥1)] 3⁄2) 𝑒𝑥𝑝 ( ) 3 4 2𝑖 3 4 2𝑖 𝑖𝜋 −𝑒𝑥𝑝 (− [−𝛼(𝑥 − 𝑥1)] 3⁄2) 𝑒𝑥𝑝 (− )] 3 4 𝑎 1 2𝑖 𝑖𝜋 𝜑(𝑧) ≅ [𝑒𝑥𝑝 ( [−𝛼(𝑥 − 𝑥 )]3⁄21 ) 𝑒𝑥𝑝 ( ) √𝜋[−𝛼(𝑥 − 𝑥 1⁄41)] 2𝑖 3 4 2𝑖 𝑖𝜋 −𝑒𝑥𝑝 (− [−𝛼(𝑥 − 𝑥1)] 3⁄2) 𝑒𝑥𝑝 (− )] (98) 3 4 Estableciendo comparaciones entre la ecuación (95) y (98), podemos escribir 𝐴 𝑎 1 𝑖𝜋 = 𝑒𝑥𝑝 ( ) 𝛼3⁄4[−(𝑥 − 𝑥 )]1⁄4 √𝜋𝛼1⁄41 [−(𝑥 − 𝑥1)]1 ⁄4 2𝑖 4 78 𝐴 𝑎 𝑖𝜋 = 𝑒𝑥𝑝 ( ) 𝛼3⁄4 2𝑖√𝜋𝛼1⁄4 4 𝐴 𝑎 𝑖𝜋 = 𝑒𝑥𝑝 ( ) (99) √𝛼 2𝑖√𝜋 4 𝐵 𝑎 𝑖𝜋 = − 𝑒𝑥𝑝 (− ) 𝛼3⁄4 2𝑖√𝜋𝛼1⁄4 4 𝐵 𝑎 𝑖𝜋 = − 𝑒𝑥𝑝 (− ) (100) √𝛼 2𝑖√𝜋 4 En la región clásicamente prohibida 𝐼𝐼 (𝑥 ≫ 𝑥1), la solución puede escribir en la forma 𝐷 𝑥 𝜓𝐼𝐼 = 𝑒𝑥𝑝 (− ∫ |𝑘(𝑥)|𝑑𝑥) (101) √|𝑘(𝑥)| 𝑥1 A la derecha de 𝑥1 𝑝2 = −ℏ2𝑘2 (102) Igualando las ecuaciones (89) y (102) podemos escribir 2⁄3 ℏ2𝑘2 = (2𝑚𝐹𝑥 ℏ) 𝑧 1 1⁄3 ℏ𝑘 = (2𝑚𝐹 ℏ) 𝑧1⁄2𝑥 1 1⁄3 𝑘 = (2𝑚𝐹 ) ℏ−2⁄3𝑧1⁄2𝑥 1 1⁄3 |𝑘| = (2𝑚𝐹 ) ℏ−2⁄3𝑧1⁄2𝑥 (103) 1 79 Por tanto, es desarrollo de la integral de la ecuación (101) es 𝑥 z 1⁄3 −1⁄3 ∫ |𝑘|𝑑𝑥 = ∫ [(2𝑚𝐹 ) ℏ−2⁄3𝑥 𝑧 1⁄2] [(2𝑚𝐹𝑥 ) ℏ 2⁄3𝑑𝑧] 1 1 𝑥1 0 𝑥 z 2 2 ∫ |𝑘|𝑑𝑥 = ∫ 𝑧1⁄2𝑑𝑧 = 𝑧3⁄2 = (𝑧)3⁄2 (104) 𝑥 3 31 0 Reemplazando la ecuación (77) en (103), podemos expresar |𝑘| como 1 2𝑚𝐹𝑥 3 |𝑘| = ( 1) 𝑧1⁄2 = 𝛼𝑧1⁄2 = 𝛼[𝛼(𝑥 − 𝑥 )]1⁄2 = 𝛼3⁄2(𝑥 − 𝑥 )1⁄2 ℏ2 1 1 |𝑘| = 𝛼3⁄2(𝑥 − 𝑥 )1⁄21 (105) Por tanto, podemos expresar nuestra función de onda como 𝐷 2 𝜓𝐼𝐼 = 𝑒𝑥𝑝 [− (𝑧) 3⁄2] √𝛼3⁄2(𝑥 − 𝑥 )1⁄2 31 𝐷 2 𝜓𝐼𝐼 = 𝑒𝑥𝑝 (− [𝛼(𝑥 − 𝑥 )] 3⁄2 1 ) (106) 𝛼3⁄4(𝑥 − 𝑥 )1⁄41 3 En los puntos de inflexión 𝑎 2 𝑏 2 𝜑(𝑧) = 𝑧−1⁄4𝑒𝑥𝑝 (− 𝑧3⁄2) + 𝑧−1⁄4𝑒𝑥𝑝 ( 𝑧3⁄2) (107) 2√𝜋 3 √𝜋 3 Reemplazando la ecuación (77) en (107) 𝑎 2 𝜑(𝑧) = 𝑒𝑥𝑝 (− [𝛼(𝑥 − 𝑥 )]3⁄21 ) 2√𝜋[𝛼(𝑥 − 𝑥1)]1 ⁄4 3 80 𝑏 2 + 𝑒𝑥𝑝 ( [𝛼(𝑥 − 𝑥 )]3⁄21 ) (108) √𝜋[𝛼(𝑥 − 𝑥1)]1 ⁄4 3 Para 𝑏 = 0 𝑎 2 𝜑(𝑧) ≅ 𝑒𝑥𝑝 (− [𝛼(𝑥 − 𝑥1)] 3⁄2) (109) 2√𝜋[𝛼(𝑥 − 𝑥1)]1 ⁄4 3 Al igual que en el caso anterior, en el punto de inflexión, las Ecuaciones (107) y (109) deben ser iguales. Esto se garantizará si 𝐷 𝑎 = 𝛼3⁄4(𝑥 − 𝑥 )1⁄41 2√𝜋𝛼1⁄4[(𝑥 − 𝑥 1⁄41)] 𝐷 𝑎 = 𝛼3⁄4 2√𝜋𝛼1⁄4 2√𝜋𝛼1⁄4 4𝜋 𝑎 = 𝐷 = √ 𝐷 (110) 𝛼3⁄4 𝛼 Por tanto, de (99), (100) y (110) tenemos 1 𝛼 𝑖𝜋 1 𝛼 𝑖𝜋 4𝜋 𝐴 = √ 𝑒𝑥𝑝 ( ) 𝑎 = [ √ 𝑒𝑥𝑝 ( )] [√ 𝐷] 2𝑖 𝜋 4 2𝑖 𝜋 4 𝛼 1 𝑖𝜋 𝑖𝜋 𝐴 = 𝑒𝑥𝑝 ( ) 𝐷 = −𝑖𝑒𝑥𝑝 ( ) 𝐷 (111) 𝑖 4 4 1 𝛼 𝑖𝜋 1 𝛼 𝑖𝜋 4𝜋 𝐵 = − √ 𝑒𝑥𝑝 (− ) 𝑎 = [− √ 𝑒𝑥𝑝 (− )] [√ 𝐷] 2𝑖 𝜋 4 2𝑖 𝜋 4 𝛼 1 𝑖𝜋 𝑖𝜋 𝐵 = − 𝑒𝑥𝑝 (− ) 𝐷 = 𝑖𝑒𝑥𝑝 (− ) 𝐷 (112) 𝑖 4 4 81 Reemplazando las ecuaciones (111) y (112) en la ecuación (65) −𝑖 𝑖 𝑥1 𝑖𝜋 𝑖 𝑖 𝑥1 𝑖𝜋 𝜓𝐼 = 𝑒𝑥𝑝 ( ∫ 𝑝𝑑𝑥) 𝑒𝑥𝑝 ( ) 𝐷 + 𝑒𝑥𝑝 (− ∫ 𝑝𝑑𝑥) 𝑒𝑥𝑝 (− ) 𝐷 √𝑝(𝑥) ℏ 𝑥 4 √𝑝(𝑥) ℏ 𝑥 4 −𝑖𝐷 1 𝑥1 𝜋 𝑖𝐷 1 𝑥1 𝜋 𝜓𝐼 = 𝑒𝑥𝑝 [𝑖 ( ∫ 𝑝𝑑𝑥 + )] + 𝑒𝑥𝑝 [−𝑖 ( ∫ 𝑝𝑑𝑥 + )] √𝑝(𝑥) ℏ 𝑥 4 √𝑝(𝑥) ℏ 𝑥 4 𝐷 1 𝑥1 𝜋 1 𝑥1 𝜋 𝜓𝐼 = {−𝑖𝑒𝑥𝑝 [𝑖 ( ∫ 𝑝𝑑𝑥 + )] + 𝑖𝑒𝑥𝑝 [−𝑖 ( ∫ 𝑝𝑑𝑥 + )]} √𝑝(𝑥) ℏ 𝑥 4 ℏ 𝑥 4 1 𝑥1 𝜋 1 𝑥1 𝜋 2𝐷 𝑒𝑥𝑝 [𝑖 ( ∫ 𝑝𝑑𝑥 + 4)] − 𝑒𝑥𝑝 [−𝑖 ( ∫ 𝑝𝑑𝑥 + 4)]𝜓 ℏ 𝑥 ℏ 𝑥 𝐼 = { } √𝑝(𝑥) 2𝑖 2𝐷 1 𝑥1 𝜋 𝜓𝐼 = sin ( ∫ 𝑝𝑑𝑥 + ) (113) √𝑝(𝑥) ℏ 𝑥 4 Utilizando propiedades trigonométricas 1 𝑥1 𝜋 1 𝑥1 𝜋 1 𝑥1 𝜋 sin ( ∫ 𝑝𝑑𝑥 + ) = sin ( ∫ 𝑝𝑑𝑥) cos + cos ( ∫ 𝑝𝑑𝑥) sin ℏ 𝑥 4 ℏ 𝑥 4 ℏ 𝑥 4 √2 1 𝑥1 √2 1 𝑥1 1 𝑥1 𝜋 = cos ( ∫ 𝑝𝑑𝑥) + sin ( ∫ 𝑝𝑑𝑥) = cos ( ∫ 𝑝𝑑𝑥 − ) 2 ℏ 𝑥 2 ℏ 𝑥 ℏ 𝑥 4 En la ecuación (113) para 𝑥 < 𝑥1 2𝐷 1 𝑥1 𝜋 𝜓𝐼 = cos ( ∫ 𝑝𝑑𝑥 − ) (114) √𝑝(𝑥) ℏ 𝑥 4 Mostrando la ecuación (66), para 𝑥 > 𝑥1 82 𝐷 1 𝑥 𝜓𝐼𝐼 = 𝑒𝑥𝑝 (− ∫ |𝑝(𝑥)|𝑑𝑥) √|𝑝(𝑥)| ℏ 𝑥1 Por tanto, a la derecha del punto de inflexión, 𝑥 = 𝑥1, la solución exponencial decreciente se conecta a la solución oscilatoria según 2 1 𝑥1 𝜋 1 1 𝑥 cos [ ∫ 𝑝𝑑𝑥 − ] ↔ 𝑒𝑥𝑝 [− ∫ |𝑝|𝑑𝑥] (115) √𝑝(𝑥) ℏ 𝑥 4 √|𝑝(𝑥)| ℏ 𝑥1 Mientras que la solución exponencial creciente conecta a una oscilatoria de acuerdo a 1 1 𝑥1 𝜋 1 1 𝑥 sen [ ∫ 𝑝𝑑𝑥 − ] ↔ − 𝑒𝑥𝑝 [ ∫ |𝑝|𝑑𝑥] (116) √𝑝(𝑥) ℏ 𝑥 4 √|𝑝(𝑥)| ℏ 𝑥1 Haciendo un análisis similar para 𝑥2, tenemos 𝑉(𝑥) 𝐼𝐼 𝐼𝐼𝐼 𝐸 𝑥 𝑥2 𝑭𝒊𝒈𝒖𝒓𝒂 𝟏𝟎. Potencial en la vecindad a 𝒙𝟐 A la izquierda del punto de inflexión (Fig. 10), 𝑥 = 𝑥2, la solución exponencial creciente conecta en una solución oscilatoria según 83 1 1 𝑥 2 1 𝑥 𝜋 𝑒𝑥𝑝 [ ∫ |𝑝|𝑑𝑥] ↔ cos [ ∫ 𝑝𝑑𝑥 − ] (117) √|𝑝(𝑥)| ℏ 𝑥2 √𝑝(𝑥) ℏ 𝑥 42 Mientras que una solución exponencial decreciente conecta a una solución oscilatoria según 1 1 𝑥 1 1 𝑥 𝜋 − 𝑒𝑥𝑝 [− ∫ |𝑝|𝑑𝑥] ↔ sen [ ∫ 𝑝𝑑𝑥 − ] (118) √|𝑝(𝑥)| ℏ 𝑥2 √𝑝(𝑥) ℏ 𝑥 42 Las ecuaciones (115) y (117) significan que los exponenciales crecientes o decrecientes han de empalmarse con funciones sinusoidales de fase y amplitud dadas al otro lado de la barrera de potencial. 84 Función asintótica de Ayri 𝑦′′(𝑥) − 𝑥𝑦(𝑥) = 0 𝑁 𝑦(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑧)𝑒𝑥𝑧 𝑑𝑧 𝛤 𝛤 𝛤 𝑦′(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑧)𝑧𝑒𝑥𝑧 𝑑𝑧 , 𝑦′′(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑧)𝑧2𝑒𝑥𝑧 𝑑𝑧 𝛤 𝛤 𝑛 𝑛 𝑦′′(𝑥) − 𝑥𝑦(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑧)𝑧2𝑒𝑥𝑧 𝑑𝑧 − ∫ 𝑥𝑓(𝑧)𝑒𝑥𝑧 𝑑𝑧 = 𝑜 𝛤 𝛤 𝑢 = 𝑥𝑓(𝑧) , 𝑑𝑣 = 𝑒𝑥𝑧𝑑𝑧 𝑁 1 𝑑𝑢 = 𝑓´(𝑧) , 𝑣 = ∫ 𝑒𝑥𝑧 𝑑𝑧 = 𝑒𝑥𝑧| 𝛤 𝑥 𝛤 𝑁 𝑁 𝑦′′(𝑥) − 𝑥𝑦(𝑥) = ∫ 𝑧2𝑓(𝑧)𝑒𝑥𝑧𝑑𝑧 − 𝑓(𝑧)𝑒𝑥𝑧|𝛤 + ∫ 𝑓 ′(𝑧)𝑒𝑥𝑧 𝑑𝑧 𝛤 𝛤 𝑓(𝑧)𝑒𝑥𝑧|𝛤 = 0 𝑛 ∫[𝑧2𝑓(𝑧) + 𝑓′(𝑧)]𝑒𝑥𝑧𝑑𝑧 = 𝑜 𝛤 3 𝑧2𝑓(𝑧) + 𝑓′(𝑧) = 0 ⇒ 𝑓(𝑧) = 𝑐𝑒−𝑧 /3 3 ⇒ 𝑓(𝑧)𝑒𝑥𝑧| = 𝑐𝑒−𝑧 /3𝛤 𝑒 𝑥𝑧|𝛤 = 0 𝑓(𝑧) = 0 𝑠𝑖 𝑅𝑒(𝑧3) > 0 𝑧 = 𝑟 𝑒𝑖𝜃 𝑧3 = 𝑟3 𝑒𝑖3𝜃 = 𝑟3[cos(3𝜃) + 𝑖 sen(3𝜃)] 𝑅𝑒(𝑧3) = 𝑟3 cos(3𝜃) 𝑅𝑒(𝑧3) > 0 → 𝑟3 cos(3𝜃) > 0 cos 3𝜃 cos 3𝜃 > 0 𝜋⁄3 𝜋 𝜃 −𝜋⁄6 𝜋⁄6 𝜋⁄2 5𝜋⁄6 7𝜋⁄6 3𝜋⁄2 cos 3𝜃 < 0 𝜃 ∈ ⟨−𝜋⁄6 , 𝜋⁄6⟩⋃⟨𝜋⁄2 , 5𝜋⁄6⟩⋃⟨7𝜋⁄6 , 3𝜋⁄2⟩ 𝑒2𝜋⁄3 𝑐2 𝑐1 ∞ 𝑒0 −1 1 𝑐3 ∞ 𝑒4𝜋⁄3 86 1 𝑁 𝑧3 𝑓𝑛(𝑧) = ∫ 𝑒 − +𝑥𝑧 3 𝑑𝑧 ; 𝑛 = 1,2,3 2𝜋𝑖 𝑐𝑛 1 𝑁 𝑧3 𝑓1(𝑧) = 𝐴 − +𝑥𝑧 𝑖(𝑧) = ∫ 𝑒 3 𝑑𝑧 2𝜋𝑖 𝑐1 𝑥 = 𝜈2 , 𝜈 > 0 , 𝑧 = 𝜈𝜉 1 𝑁 (𝜈𝜉)3 𝜈 𝑁− +𝜈3 3 3𝐴 (𝑧) = ∫ 𝑒 𝜉3 𝜈𝑑𝜉 = ∫ 𝑒𝜈 (𝜉−𝜉 /3)𝑖 𝑑𝜉 2𝜋𝑖 𝑐1 2𝜋𝑖 𝑐1 1 𝜈 3 𝐴 (𝑧) = ∫ 𝑒𝜈 (𝑧−𝑧 3/3) 𝑖 𝑑𝑧 2𝜋𝑖 𝑐1 ℎ(𝑧) = 𝑧 − 𝑧3/3 ℎ′(𝑧) = 1 − 𝑧2 = 0 → 𝑧 = 𝑧0 = ±1 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑧0 = −1 (−1)3 2 2 ℎ(−1) = − 1 − = − → 𝛽 = 𝐼𝑚 ℎ(𝑧) = 𝐼𝑚ℎ(−1) = 𝐼𝑚 (− ) = 0 = 𝛽 3 3 3 0 𝐶𝑜𝑛 𝑧 = 𝑢 + 𝑖𝑣 ℎ(𝑧) = 𝑢 + 𝑖𝑣 − (𝑢 + 𝑖𝑣)3/3 1 ℎ(𝑧) = 𝑢 + 𝑖𝑣 − [𝑢3 + 3𝑢2(𝑖𝑣) + 3𝑢(𝑖𝑣)2 + (𝑖𝑣)3] 3 1 1 ℎ(𝑧) = 𝑢[3𝑣2 − 𝑢2 + 3] + 𝑖[ 𝑣(𝑣2 − 3𝑢2 + 3)] 3 3 87 1 𝐼𝑚[ℎ(𝑧)] = 𝛽(𝑢, 𝑣) = 𝑣(𝑣2 − 3𝑢2 + 3) = 0 3 𝑣 = 0 ˅ (𝑣2 − 3𝑢2 + 3) = 0 1 𝑅𝑒[ℎ(𝑧)] = 𝛼(𝑢, 𝑣) = 𝑢[3𝑣2 − 𝑢2 + 3] 3 𝑢3 𝐶𝑎𝑠𝑜: 𝑣 = 0 → 𝛼(𝑢, 0) = 𝑢 − 3 2 2 𝛼 = 𝛼(−1,0) = − = 𝛼0 ; 𝛼 = 𝛼(1,0) = > 𝛼0 3 3 𝑣 = 0 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑠𝑡𝑒𝑒𝑝𝑒𝑠𝑡 𝑎𝑠𝑐𝑒𝑛𝑛𝑡 𝑝𝑎𝑛𝑡ℎ 𝐶𝑎𝑠𝑜: 𝑣2 − 3𝑢2 + 3 = 0 ⇒ 𝑣 = √3(𝑢2 − 1) , 𝑢 < 0 1 1 𝑣2 2 𝑣2 1 𝑣2 8𝑣2 𝛼(𝑢, 𝑣) = − (1 + ) (3𝑣2 − 1 − + 3) = − (1 + + ⋯ ) ( + 2) 3 3 3 3 6 3 𝐶𝑒𝑟𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑧 = −1 , 𝑢 = −1 𝑦 𝑣 → 0 1 1 8 8 4 2 1 2 2 𝛼 = (− − 𝑣2 + ⋯ ) ( 𝑣2 + 2) = − 𝑣2 − 𝑣4 − − 𝑣2 = − − 𝑣2 + ⋯ < − = 𝛼 3 18 3 9 27 3 9 3 3 𝑣 = √3(𝑢2 − 1) 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑠𝑡𝑒𝑒𝑝𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡 88 𝑣 𝑣2 − 3𝑢2 + 3 = 0 𝑐1 𝑢 ℎ(𝑧) − ℎ(−1) = 𝜏2 , ℎ(𝑧) = 𝑧 − 𝑧3/3 ℎ(𝑧) = ℎ(−1) − 𝜏2 1 ′ ′(( ) ( ) ( ) −1 ) 2 3 ℎ −1 + ℎ −1 (𝑧 − −1 ) + ℎ′ (𝑧 − (−1)) + 0(𝑧 − (−1)) = ℎ(−1) − 𝜏2 2 (𝑧 + 1)2 = − 𝜏2 + ⋯ ⇒ 𝑧 + 1 = = ±𝑖 𝜏 + ⋯ 𝑧 = −1 + 𝑖 𝜏 + 𝑜(𝑠2) 𝜈 ∞ 𝜈 ∞ 𝐴 (𝜈2) = ∫ 𝑒𝜈 3(𝑧−𝑧3/3) 3𝑑𝑧 = ∫ 𝑒𝜈 𝑅𝑒(𝑧−𝑧 3/3) 𝑖 𝑑𝑧 2𝜋𝑖 −∞ 2𝜋𝑖 −∞ 𝑧 = −1 + 𝑖 𝜏 𝑧3 = (−1 + 𝑖 𝜏)3 = (−1)3 + 3(−1)2(𝑖𝜏) + 3(−1)(𝑖𝜏)2 + (𝑖𝑠)3 = −1 + 3𝑖𝑠 + 3𝑠2 − 𝑖𝑠3 89 𝑧3 1 𝑠2 2 𝑠2 𝑧 − = − 1 + 𝑖 𝜏 + − 𝑖 𝜏 + 𝜏2 + 𝑖 = − − 𝑠2 + 𝑖 3 3 3 3 3 𝜈 ∞ 2 𝐴 (𝜈2) = ∫ 𝑒−𝜈 3( + 𝜏2) 𝑖 3 𝑖 𝑑𝜏 2𝜋𝑖 −∞ 𝜈 2 ∞ ∞ 𝐴 (𝜈2) = 𝑒− 𝜈 3 3 2 2 1 𝜋 𝑖 3 ∫ 𝑒 −𝜈 𝜏 𝑑𝜏 , ∫ 𝑒−𝑎𝑥 𝑑𝑥 = √ 2𝜋 −∞ 0 2 𝑎 𝜈 2 2 𝐴 (𝜈2) = 𝑒− 𝜈 3 1 𝜋 𝜈 3 −1/2 − 𝜈 𝑖 3 √ = 𝑣 𝑒 3 𝜋 2 𝜈3 2√𝜋 1 2 3/2 𝐴 −1/4 − 𝑥𝑖(𝑥) = 𝑥 𝑒 3 , 𝑥 → ∞ 2√𝜋 90