PONTIFICA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ 
FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA 
MACRO-MODELACIÓN NUMÉRICA CON SÓLIDOS DE ENSAYOS 
CUASI-ESTÁTICOS DE PRISMAS Y MURETES DE ALBAÑILERÍA DE 
ARCILLA 
Tesis para optar el título de Ingeniero Civil, que presenta el bachiller: 
Smith Kevin Huamani Rojas 
Asesora: Dra. Susana M. Trindade Moreira 
Lima, 2018 

Resumen 
El estudio de los materiales de construcción, difundidos en gran medida como lo es la 
albañilería de arcilla, cobra vital importancia, ya que este permite ampliar el conocimiento 
de su comportamiento ante solicitaciones que puedan generar su inestabilidad. Sin 
embargo, la mampostería es un material que presenta complejidad cuando se trata de 
predecir su comportamiento mecánico y sus propiedades. Por ello, en el afán de buscar 
nuevas maneras que permitan caracterizar el comportamiento de este material y, con ello, 
predecir con mayor precisión su respuesta ante diferentes situaciones de cargas, se 
presenta la aplicación del método de modelación numérica.  
La presente tesis tiene como objetivo principal ampliar el conocimiento de la modelación 
numérica como herramienta de estudio de la mampostería de arcilla. Por ello, se planteó 
realizar modelos numéricos que simularan los ensayos cuasi-estáticos de este material. 
Primeramente, en el proceso de esta investigación se desarrollaron ensayos de compresión 
uni-axial, para las pilas, y de compresión diagonal, para los muretes, en el Laboratorio de 
Estructuras PUCP. Luego de los ensayos, se realizó el procesamiento de los resultados 
experimentales para obtener los parámetros mecánicos de la albañilería que serían 
empleados en la modelación. Cabe resaltar que para el desarrollo del modelo se 
requirieron parámetros que se extrajeron de la base teórica. Los modelos numéricos se 
desarrollaron con el método de elementos finitos en el programa especializado DIANA. 
Asimismo, para el desarrollo del trabajo se consideró a la albañilería como un material 
homogéneo y los elementos utilizados fueron sólidos, hexaedros. 
Por otro lado, se empleó el criterio de fractura “Total Strain Crak model” para el 
agrietamiento del material y se procedió a realizar la calibración del modelo. Finalmente, 
se pudieron realizar las simulaciones de los ensayos de compresión uni-axial y 
compresión diagonal en el programa computacional para obtener los resultados. A partir 
de los resultados obtenidos se podrá realizar análisis de estructuras de albañilería de 
manera más práctica. Asimismo, utilizando las potentes herramientas computacionales 
que existen hoy en día se podrá generar fuentes información sobre el comportamiento de 
este material que contribuyan a desarrollar nuevas estrategias de estudio, y que a largo 
plazo permitan depender en menor medida de los costosos ensayos de laboratorio.  




 
ÍNDICE 
ÍNDICE .............................................................................................V 
LISTA DE FIGURAS.................................................................. VII 
LISTA DE TABLAS .................................................................... XII 
1. CAPITULO 1 INTRODUCCIÓN .............................................. 1 
1.1 DESCRIPCIÓN GENERAL DEL TEMA .............................................................................. 2 
1.2 OBJETIVOS .................................................................................................................. 3 
1.3 HIPÓTESIS ................................................................................................................... 4 
1.4 METODOLOGÍA ........................................................................................................... 4 
1.5 ALCANCES Y LIMITACIONES ........................................................................................ 6 
1.6 ORGANIZACIÓN DE LA TESIS ....................................................................................... 7 
2. CAPITULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA ........................ 8 
2.1 ALBAÑILERÍA DE LADRILLO DE ARCILLA..................................................................... 9 
2.2 COMPORTAMIENTO MECÁNICO DE LA ALBAÑILERÍA DE LADRILLO DE ARCILLA ........ 10 
2.2.1 Comportamiento lineal...................................................................................... 10 
2.2.2 Comportamiento no-lineal ................................................................................ 12 
2.3 MÉTODOS DE MODELACIÓN NUMÉRICA DE ALBAÑILERÍA .......................................... 16 
2.3.1 Método con elementos discretos ....................................................................... 16 
2.3.2 Método de elementos finitos ............................................................................. 16 
2.4 TIPOS DE MODELACIÓN DE LA ALBAÑILERÍA ............................................................. 17 
2.5 CRITERIOS DE FRACTURA (“SMEARED CRACK MODEL”) .......................................... 20 
2.5.1 Modelo “Multi-directional fixed crack model combined with Von Misses 
criterion for compression” ................................................................................ 20 
2.5.2 Modelo “Total Strain Crack” ............................................................................ 22 
2.6 CRITERIO DE PLASTICIDAD ..................................................................................... 24 
2.6.1 Modelo “Rankine-Hill” ..................................................................................... 24 
2.7 MÉTODO DE SOLUCIÓN PARA EL FEM ....................................................................... 27 
2.8 ELEMENTOS SÓLIDOS PARA MODELACIÓN NUMÉRICA ............................................... 29 
2.9 MODELOS NUMÉRICOS DE ALBAÑILERÍA EN 3D ........................................................ 31 
2.10 ENSAYOS EXPERIMENTALES PARA CARACTERIZACIÓN DE LAS PROPIEDADES 
MECÁNICAS DE LA ALBAÑILERÍA ...................................................................................... 36 
2.10.1 Ensayo de compresión uni-axial ................................................................. 36 
2.10.2 Ensayo de compresión diagonal .................................................................. 38 
3. CAPITULO 3 ENSAYOS EXPERIMENTALES DE PILAS Y 
MURETES DE ALBAÑILERÍA .............................................. 40 
3.1 PILAS DE ALBAÑILERÍA ............................................................................................. 41 
3.1.2 Descripción de especímenes ............................................................................. 41 
3.1.3 Ensayo de compresión uni-axial ....................................................................... 41 
3.1.4 Resultados del ensayo de compresión uni-axial ............................................... 43 
3.1.5 Cálculo de la resistencia a la compresión ......................................................... 45 
v 
 
 
3.1.6 Cálculo del módulo de elasticidad .................................................................... 46 
3.2 MURETES DE ALBAÑILERÍA ....................................................................................... 49 
3.2.2 Descripción de especímenes ............................................................................. 49 
3.2.3 Ensayo de compresión diagonal........................................................................ 50 
3.2.4 Resultados del ensayo de compresión diagonal ................................................ 51 
3.2.5 Cálculo de la resistencia al corte ....................................................................... 52 
3.2.6 Cálculo del módulo de corte ............................................................................. 53 
3.2.7 Cálculo de la resistencia a la tracción ............................................................... 55 
4. CAPITULO 4 MODELACIÓN NÚMERICA ........................ 57 
4.1 MODELACIÓN DE PILAS DE ALBAÑILERÍA .................................................................. 58 
4.1.1 Geometría y condiciones de borde .................................................................... 58 
4.1.2 Modelos constitutivos y propiedades iniciales mecánicas iniciales .................. 59 
4.1.3 Desarrollo del modelo numérico ....................................................................... 61 
4.1.4 Análisis y discusión de resultados ..................................................................... 74 
4.2 MODELACIÓN DE MURETES DE ALBAÑILERÍA ............................................................ 76 
4.2.1 Geometría y condiciones de borde .................................................................... 76 
4.2.2 Modelos constitutivos ........................................................................................ 78 
4.2.3 Desarrollo del modelo numérico ....................................................................... 79 
4.2.4 Análisis y discusión de resultados ..................................................................... 91 
5 CAPITULO 5 CONCLUSIONES DE LA INVESTIGACIÓN
 ...................................................................................................... 94 
5.1 CONCLUSIONES .......................................................................................................... 95 
REFERENCIAS ............................................................................ 98 
 
 
 
 
 
  
vi 
 
 
LISTA DE FIGURAS 
 
Figura 2.1: Partes de la albañilería: La unidad de albañilería(rojo), el mortero (verde) y la 
interfase unidad-mortero (azul). ...................................................................................... 10 
Figura 2.2: Leyes constitutivas para el comportamiento de la mampostería para esfuerzos 
de (a) compresión, (b) tracción y (c) corte (Lourenço, 1996). ........................................ 14 
Figura 2.3: Diagrama de procedimiento del análisis lineal y no lineal con elementos 
finitos. ............................................................................................................................. 17 
Figura 2.4: Gráficas de estrategias de modelamiento para la albañilería: (a) Micro-
modelación detallada; (b) micro-modelación simplificada; y (c) macro-modelación. ... 18 
Figura 2.5: Gráficas del comportamiento del modelo: (a) Superficie de falla de la 
albañilería; (b) Esfuerzo de tensión para el ablandamiento y rigidización; y (c) Esfuerzo 
efectivo versus deformación unitaria plástica efectiva (Lofti & Shing, 1991). .............. 21 
Figura 2.6: Leyes constitutivas del comportamiento (a) a compresión y (b) a tracción para 
el modelo Total Strain Crack (DIANA, 2015). ............................................................... 24 
Figura 2.7: Ley constitutiva de comportamiento plástico bajo cargas de compresión 
(Lourenço, 1997). ............................................................................................................ 26 
Figura 2.8: Gráficas de sólidos tipo hexaedros: (a) HX24L; (b) CHX60; y (c) CHX96 
(DIANA, 2015) ............................................................................................................... 30 
Figura 2.9: Presenta los modelos de primas con elementos sólidos(Ramírez et al., 2015).
 ......................................................................................................................................... 32 
Figura 2.10: Muestra las gráficas de comparación de la envolvente experimental, los 
modelos en 2D y los modelos en 3D (Ramírez et al., 2015). .......................................... 33 
Figura 2.11: Resultados de Mahini, 2015: (a) Modelo numérico y modelo real en el estado 
de propagación de grietas antes del colapso; (b) Resultados a compresión de las unidades; 
y (c) Resultados a compresión de los prismas de adobe. ................................................ 35 
Figura 3.1: En esta figura se presenta el dibujo isométrico de la pila de albañilería 
analizada con sus medidas nominales en mm; asimismo, como dibujos frontales de los 
lados laterales de la pila (Fuente propia)......................................................................... 41 
Figura 3.2: Ensayo de compresión: (a) Equipo de aplicación de caga y de registro de 
respuesta del ensayo. (b) En la figura se observa la pila colocada en el equipo de carga y 
con sus respectivos dispositivos de lectura implementados (LVDT’s), Fuente propia. . 42 
vii 
 
 
Figura 3.3: Rotura de las pilas: (a) En la figura se presenta las grietas para la parte frontal 
de la probeta luego de la aplicación de la carga máxima (b) y las grietas para la vista 
lateral de la pila (Fuente propia). .................................................................................... 43 
Figura 3.4: (a) Gráfica de Fuerza axial versus deformación local y en (b) la curva de 
esfuerzo de compresión vs deformaciones unitarias globales construidas a partir de los 
resultados de los ensayos realizados a cada pila de albañilería. ..................................... 44 
Figura 3.5: (a) Gráfica de Esfuerzo axial versus deformación unitaria construida a partir 
de los resultados de los ensayos realizados a cada pila de albañilería y en (b) la envolvente 
experimental. ................................................................................................................... 44 
Figura 3.6: Se presentan las curvas Esfuerzo-deformación unitaria acotados para el 30% 
y 60% de la carga máxima (a) Pila 1, (b) Pila 2, (c) Pila 3 y (d) Pila 4. ......................... 47 
Figura 3.7: En esta figura se presenta el dibujo de un murete de albañilería analizada con 
sus medidas nominales en mm; asimismo, la sección lateral del murete. ...................... 49 
Figura 3.8: Ensayo de compresión: (a) y (b) En la figura se observa el murete colocado 
en el equipo de carga y con sus respectivos dispositivos de lectura implementados 
(LVDT’s)......................................................................................................................... 50 
Figura 3.9: Rotura de los muretes ................................................................................... 51 
Figura 3.10: (a) Gráfica de Esfuerzo de corte diagonal versus deformación angular   
construida a partir de los resultados de los ensayos realizados a cada murete de albañilería 
y (b) y la envolvente experimental. ................................................................................. 52 
Figura 3.11: Se presentan las curvas Esfuerzo de corte-Deformación de corte unitario 
acotados para el 20% y 50% de la carga máxima (a) Murete 1, (b) Murete 2, (c) Murete 
3 y (d) Murete 4............................................................................................................... 54 
Figura 4.1: (a) Modelo de elementos finitos con sólidos de la pila de albañilería. (b) Vista 
frontal, (igualmente para la vista superior) del modelo numérico y las respectivas 
restricciones en los nodos. (c) Modelo de pila (FEM) con las condiciones de borde y el 
estado de esfuerzo con respecto al eje de coordenadas del software. (d) Verificación de la 
calidad de la malla mediante el Aspect ratio igual a 0.93. .............................................. 59 
Figura 4.2: Modelos de comportamiento mecánico empleados en la modelación 
numérica: (a) Relación de esfuerzo de compresión y la deformación unitaria, (b) relación 
viii 
 
 
de esfuerzo de tracción y la deformación unitaria y (c) modelo constitutivo de corte 
empleado bajo el enfoque TSCM-fixed (DIANA, 2015)................................................ 60 
Figura 4.3: (a) Gráficas de esfuerzo versus deformación unitaria inicial tanto 
experimentales como numérica; asimismo, se muestra el valor mínimo y máximo de la 
resistencia a la compresión obtenidas experimentalmente como rectas horizontales; es 
decir, valores constantes para todas las deformaciones. (b) Curva lineal experimental y 
numérica. ......................................................................................................................... 62 
Figura 4.4: Gráfica de Esfuerzo axial versus deformación unitaria construida a partir del 
modelo numérico para un comportamiento “lineal” del material: (a) Comparación del 
modelo numérico lineal y la curva experimental para prisma #1, (b) prisma #2, (c) 
#prisma #3 y (d) prisma #4. ............................................................................................ 63 
Figura 4.5: Gráfica de Esfuerzo axial versus deformación unitaria construida a partir del 
modelo ideal (elastoplástico) para un comportamiento “ideal” del material para cada 
prisma: (a) Nro. 1, (b) Nro. 2, (c) Nro. 3 y (d) Nro. 4. .................................................... 64 
Figura 4.6: Gráfica de esfuerzo axial versus deformación unitaria construida a partir de 
diferentes valores de energía de fractura de (a) compresión y (b) tracción. ................... 65 
Figura 4.7: (a) Gráfica de esfuerzo axial versus deformación unitaria construida a partir 
de diferentes métodos de solución tales como el de rigidez constante, rigidez de variación 
lineal y Quasi Newton (b) Se muestra la comparación entre los dos enfoques del Newton 
Raphson, los cuales son el regular y el modificado. ....................................................... 67 
Figura 4.8: Gráfica de esfuerzo axial versus deformación unitaria. (a) Calibración del 
factor de retención de corte (con valor de Gc igual a 1.5 N/mm), (b) Comparación entre 
el TSCM-fixed y rotating, asimismo, se muestra la ubicación de los elementos utilizados 
para muestrear los resultados finales; (c) TSCM-rotating, (d) TSCM-fixed. ................. 68 
Figura 4.9: Resultados obtenidos a partir de la simulación de los ensayos de pilas bajo el 
enfoque TSCM rotating para tres estados con valor de esfuerzo axial SZZ igual a 3.3 
MPa, 10 MPa y 8 MPa. (a) Distribución del desplazamiento vertical, (b) de esfuerzos 
verticales SZZ, (c) de las deformaciones unitarias principales, y (d) de los esfuerzos 
principales. ...................................................................................................................... 70 
ix 
 
 
Figura 4.10: (a) Valores obtenidos mediante la simulación de anchos de grietas y estado 
de agrietamiento en el punto pico de la curva Esfuerzo – deformación y (b) para el estado 
final de la simulación, considerando el enfoque TSCM-rotating. .................................. 72 
Figura 4.11: Resultados obtenidos a partir de la simulación de los ensayos de pilas bajo 
el enfoque TSCM fixed para tres estados con valor de esfuerzo axial SZZ igual a 3.3 MPa, 
10 MPa y 8 MPa. (a) Distribución del desplazamiento vertical, (b) de esfuerzos verticales 
SZZ, (c) de las deformaciones unitarias principales y (d) los esfuerzos principales. ..... 73 
Figura 4.12: (a) Valores obtenidos mediante la simulación de anchos de grietas y estado 
de agrietamiento en el punto pico de la curva Esfuerzo – deformación y (b) para el estado 
final de la simulación, considerando el enfoque TSCM-fixed ........................................ 74 
Figura 4.13: (a) Modelo de elementos finitos con sólidos del murete de albañilería vista 
frontal. (b) Modelo de murete vista isométrica. (c) Vista superior de las condiciones de 
frontera considerados para el murete, las cuales con iguales para la parte inferior. (d) Se 
presenta la calidad de la malla mediante el Aspect ratio, el cual igual a 0.93. ............... 77 
Figura 4.14: Modelos de comportamiento mecánico empleados en la modelación 
numérica: (a) Relación de esfuerzo de compresión y la deformación unitaria, (b) relación 
de esfuerzo de tracción y la deformación unitaria y (c) modelo constitutivo de corte 
empleado bajo el enfoque TSCM-fixed (DIANA, 2015)................................................ 79 
Figura 4.15: Gráfica de Esfuerzo axial versus deformación unitaria construida a partir del 
modelo de una variación de módulo de elasticidad (a) un valor de E igual a 6355 MPa y 
(b) con un valor de E igual a 6700 MPa. ........................................................................ 80 
Figura 4.16: (a) Graficas de esfuerzo de corte diagonal aplicada versus la deformación 
angular para los enfoques TSCM-rotating y fixed y una representación del a envolvente 
de las curvas experimentales. (b) Imagen de la ubicación de los elementos que fueron 
utilizados para muestrear los resultados. ......................................................................... 82 
Figura 4.17: Curva de esfuerzo de corte versus deformación angular superpuesto sobre la 
envolvente experimental, resultados finales: (a) TSCM-rotating y (b) TSCM-fixed. .... 83 
Figura 4.18: Distribución de (a) desplazamientos durante la simulación, (b) Esfuerzos 
principales y (c) de deformaciones principales, TSCM-rotating. ................................... 85 
x 
 
 
Figura 4.19: (a) Valores obtenidos mediante la simulación de anchos de grietas y estado 
de agrietamiento en el punto pico de la curva Esfuerzo corte – deformación angular y (b) 
para el estado final de la simulación, considerando el enfoque TSCM-fixed ................. 87 
Figura 4.20: Distribución de (a) desplazamientos verticales durante la simulación, (b) 
esfuerzos principales, y (c) deformaciones principales para el último paso de 
convergencia, TSCM-fixed. ............................................................................................ 89 
Figura 4.21: (a) Valores obtenidos mediante la simulación de anchos de grietas y estado 
de agrietamiento en el punto pico de la curva Esfuerzo corte – deformación angular y (b) 
para el estado final de la simulación, considerando el enfoque TSCM-fixed ................. 90 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
xi 
 
 
LISTA DE TABLAS 
Tabla 2.1: Propiedades elásticas para la albañilería de ladrillo que se presenta en la 
literatura .......................................................................................................................... 12 
Tabla 2.2: Parámetros inelásticos para la albañilería de ladrillo que se presenta en la 
literatura .......................................................................................................................... 15 
Tabla 2.3: Ecuaciones que caracterizan al criterio de plasticidad ................................... 27 
Tabla 2.4: Factores de corrección por esbeltez según ASTM ......................................... 37 
Tabla 2.5: Factores de corrección por esbeltez según Norma E0.70 .............................. 37 
Tabla 2.6: Valores de alfa propuestos por (ASTM E 519-02, 2002) .............................. 39 
Tabla 3.1: Dimensiones registradas para cada probeta y su respectiva esbeltez ............ 45 
Tabla 3.2: Resultados de la resistencia al a compresión de la albañilería....................... 46 
Tabla 3.3: Valores de esfuerzo máximo al 30% y 60%; módulo de Elasticidad por cada 
LVDT, pila, y el total; asimismo, se presenta la desviación estándar del módulo para cada 
pila y del total .................................................................................................................. 48 
Tabla 3.4: Resultados obtenidos considerando solo los resultados de tres pilas y el módulo 
de elasticidad de la albañilería en estudio ....................................................................... 48 
Tabla 3.5: Verificación del valor de “E” experimental con el teórico de la Norma ....... 48 
Tabla 3.6: Dimensiones registradas para cada murete y su respectiva longitud diagonal
 ......................................................................................................................................... 53 
Tabla 3.7: Resultados de la resistencia al corte de la albañilería .................................... 53 
Tabla 3.8: Valores de esfuerzo máximo al 20% y 50%; módulo de corte por cada murete 
y el total; asimismo, se presenta la desviación estándar del módulo de corte ................ 55 
Tabla 3.9: Valores de esfuerzo máximo al 20% y 50%; módulo de corte por cada murete 
y el total; asimismo, se presenta la desviación estándar del módulo de cort .................. 55 
Tabla 3.10: Valores de resistencia a la tracción calculados para la albañilería .............. 56 
Tabla 4.1: Parámetros elásticos e inelásticos iniciales para los modelos ........................ 61 
Tabla 4.2: Parámetros elásticos e obtenidos con el modelo ............................................ 63 
Tabla 4.3: Parámetros elásticos e inelásticos implementados en los modelos numéricos
 ......................................................................................................................................... 69 
Tabla 4.4: Valores numéricos obtenidos y comparación con los experimentales........... 74 
xii 
 
 
Tabla 4.5: Parámetros mecánicos iniciales para el modelo de murete. ........................... 79 
Tabla 4.6: Parámetros inelásticos implementados en el modelo par la calibración ........ 81 
Tabla 4.7: Parámetros elásticos e inelásticos implementados en el modelo numérico de 
murete. ............................................................................................................................. 82 
Tabla 4.8: Valores mecánicos obtenidos mediante simulación ...................................... 91 
Tabla 5.1: Valores de parámetros mecánicos propuestos para la albañilería de arcilla. . 95 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
xiii 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.  CAPITULO 1 
INTRODUCCIÓN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
1.1 Descripción general del tema 
A lo largo del tiempo y en la actualidad, la mayoría de estructuras de viviendas 
unifamiliares y multifamiliares han sido y continúan siendo construidas con sistemas 
estructurales de albañilería; por ejemplo, las construcciones con este tipo de material son 
el 51.7% (INEI, 2014) del total de viviendas particulares del área urbana en el Perú. Por 
esta razón, el estudio de las propiedades de la albañilería es de suma importancia, ya que 
se debe garantizar el montaje de estructuras seguras para la vida de las personas. La 
albañilería es un material compuesto y el más común de esta es hecho de unidades de 
ladrillo de arcilla y mortero; las unidades son apiladas unas sobre otras y unidas por el 
mortero. Sin embargo, cabe resaltar que la albañilería posee propiedades diferentes en 
cada dirección (material anisótropo), ya que es compuesta, como se mencionó 
anteriormente, y que por motivos de simplificación en el análisis estructural es 
considerado, en la mayoría de casos, como un elemento homogéneo. 
  
Ahora bien, el contacto entre dos materiales con diferentes propiedades mecánicas y que 
el mortero actúe como plano de debilidad generan que la albañilería sea más vulnerable 
a llegar al estado de falla, pero sin haber agotado toda la capacidad de resistencia como 
lo harían el ladrillo y el mortero independientemente; un claro ejemplo se presenta cuando 
la albañilería es sometida a esfuerzos de tensión. Asimismo, otros factores como la 
calidad de los materiales, las dimensiones irregulares, supervisión técnica y el proceso 
constructivo variable provocan que la albañilería sea un material con gran variabilidad en 
su análisis. Por ello, se han realizado investigaciones sobre la albañilería enfocadas en la 
determinación cuantitativa de sus propiedades mecánicas bajo diferentes tipos de cargas 
mediante ensayos experimentales. Además, con el objetivo de obtener resultados sobre el 
comportamiento de la albañilería bajo estados de cargas, de gravedad o laterales, sin la 
necesidad de realizar ensayos, se ha trabajado en estrategias computacionales de este tipo 
de estructuras.  
 
Con el pasar del tiempo, esas estrategias se han desarrollado con programas 
computacionales (“softwares”) como el DIANA, ABAQUS, ANSYS, etc. Estos 
programas permiten crear modelos de diferentes materiales para un análisis con 
2 
 
 
elementos finitos (FEM “Finite Element Method”). A partir de la aplicación de las 
herramientas computacionales se han realizado investigaciones sobre representar el 
comportamiento de la albañilería sometida a diferentes patrones de cargas mediante 
modelos numéricos. Los modelos de este tipo consisten en representar el comportamiento 
completo para cargas aplicadas en ensayos cuasi-estáticos de la albañilería; estos, 
comprenden mostrar el rango elástico de deformación del material para luego representar 
la etapa plástica y el valor de la carga última. Además, al realizar una modelación, esta 
no se limita a representar el comportamiento de ensayos de laboratorio, sino que, en base 
a los resultados de modelos calibrados de ensayos, se puede analizar estructuras más 
realistas presentadas en la realidad urbana. Por ejemplo, se han realizado diversas 
investigaciones que consistían en generar un modelo numérico que representara el 
comportamiento de muros de albañilería confinada bajo el efecto de cargas laterales 
cíclicas; dichos modelos calibrados mostraron resultados eficientes, ya que la 
representación gráfica de una curva fuerza lateral versus el desplazamiento era semejante 
a la obtenida experimentalmente.  
 
En esta presente Tesis, el enfoque será generar un modelo numérico con elementos 
sólidos que represente el comportamiento completo para cargas aplicadas en ensayos 
cuasi-estáticos de la albañilería, el cual comprende mostrar el rango elástico de 
deformación del material para luego representar la etapa plástica y el valor de la carga 
última. Para el análisis la albañilería será considerada como una unidad, ladrillo de arcilla 
y mortero como un material, y con esta consideración se verificará que los resultados de 
la modelación muestren valores numéricos cercanos a los obtenidos experimentalmente. 
1.2 Objetivos  
1.1.1 Objetivo general 
Ampliar el conocimiento de la modelación numérica como herramienta de estudio de la 
albañilería hecha de ladrillo de arcilla. 
1.1.2 Objetivo específicos  
Determinar y analizar las propiedades mecánicas de la albañilería de ladrillo mediante 
ensayos experimentales normalizados. Además, estudiar la macro-modelación numérica 
3 
 
 
con sólidos y modelar numéricamente los ensayos de pilas y muretes de albañilería. 
Luego, presentar los resultados de la modelación y probar el modelo con estructuras de 
albañilería que poseen diferentes parámetros al modelo físico con el que fue calibrado. 
Finalmente, confirmar que la modelación numérica es una herramienta para analizar 
estructuralmente la albañilería.   
1.3 Hipótesis  
La modelación numérica representará el comportamiento completo de la albañilería para 
cargas aplicadas en ensayos cuasi-estáticos. Asimismo, con la modelación será posible 
verificar los resultados experimentales y, además, se podrá calibrar un modelo, numérico, 
que represente modelos reales de albañilería de ladrillo con diferentes características, 
variando los parámetros del material.  
1.4 Metodología  
Para la presente Tesis se aplicará la siguiente metodología que consiste en cuatro etapas 
fundamentales: obtención de información teórica, obtención de los datos experimentales 
para la modelación, calibración del modelo numérico de la albañilería y verificación del 
modelo y pruebas con otras condiciones de carga.  
 
La primera parte se enfocará en la recolección de información sobre los diferentes tipos 
de enfoques para el desarrollo de modelos numéricos y parámetros característicos de la 
albañilería. Este proceso de búsqueda de fuentes de información consistirá en la lectura 
de artículos, investigaciones, papers y tesis sobre los diferentes tipos de enfoques que se 
han definido para desarrollar modelos numéricos de materiales como la albañilería; 
además, bibliografía basada en modelos ya realizados con diferentes materiales, los 
cuales pueden ser de adobe o mampostería de ladrillo de arcilla. Asimismo, en este 
proceso de revisión bibliográfica se contempla obtener información sobre las diferentes 
propiedades mecánicas que caracterizan a la albañilería de ladrillo de arcilla que se 
obtuvieron en otras investigaciones. Finalmente, luego de la revisión se procederá a la 
selección de la información de mayor relevancia para el desarrollo de esta investigación. 
 
4 
 
 
La segunda parte de obtención de los datos experimentales para la modelación consiste 
que a partir de ensayos experimentales de compresión uni-axial de las pilas y compresión 
diagonal de los muretes de albañilería se obtengan los valores numéricos de las 
propiedades mecánicas de este material. Sin embargo, por condiciones de los ensayos no 
se registraron resultados post-pico de la curva carga aplicada-desplazamiento, esto quiere 
decir que los parámetros de la etapa plástica no se obtendrán experimentalmente. Los 
parámetros que se obtienen experimentalmente son el módulo de elasticidad (E), 
deformación máxima (∆), resistencia a la compresión axial (fc), la resistencia al corte del 
ensayo a compresión diagonal (Vm), la resistencia de tracción (ft). Por otro lado, los 
valores necesarios para la modelación y no adquiridos experimentalmente son el módulo 
de Poisson (v), la energía de fractura a compresión  (Gc), la energía de fractura a tensión 
(Gf) y la densidad, estos parámetros se obtienen a partir de la parte de recolección de 
información, anteriormente realizada (Lourenço, 1996).  
 
La tercera parte se procede a realizar la respectiva calibración de los modelos en base a 
los parámetros obtenidos tanto experimentalmente y de otras investigaciones; los patrones 
de falla presentados en los ensayos; y las curvas de esfuerzo versus deformación unitaria. 
Este proceso consiste representar la albañilería, unidades y mortero, como un modelo 
continuo de elementos finitos, en el cual se asume que el material en estudio es un material 
homogéneo e isotrópico, dicho modelo se realizará en la plataforma “DIANA”. 
Asimismo, en la etapa de calibración se representa el agrietamiento del material mediante 
los métodos que se presentan en el “software” anteriormente mencionado; el enfoque a 
utilizar para la modelación será el modelo constitutivo “Total Strain Cracking” (Ramírez 
et al., 2015), el cual consiste en presentar el comportamiento de la albañilería a 
compresión con una tendencia parabólica; y para el comportamiento a tensión con 
tendencia de decaimiento exponencial; cabe resaltar que lo descrito anteriormente es una 
tipología y que fue escogida para el desarrollo de este trabajo.  Para este caso de análisis, 
se procede a realizar una construcción en tres dimensiones del modelo físico de la pila y 
los muretes de albañilería, ya que este modelo estará reasentado por elementos sólidos.  
Para la última parte se procede a la comparación de las curvas fuerza versus deformación 
de los ensayos experimentales con las curvas de la modelación numérica para verificar si 
5 
 
 
el modelo ha sido calibrado adecuadamente, y en caso contrario reiniciar con el 
procedimiento para seguir calibrando el modelo y obtener resultados aceptables (CUR, 
1994). 
 
Finalmente, se procede a someter el modelo de albañilería a diferentes estados de carga, 
variación de otros parámetros como esbeltez y/o propiedades mecánicas de otros tipos de 
albañilería para predecir el compartimento del material. Asimismo, realizar la respectiva 
evaluación de resultados obtenidos, observaciones, conclusiones y comentario de las 
posibles líneas de investigación que se puedan continuar.  
1.5 Alcances y limitaciones 
Esta investigación tiene como alcance el generar un macro-modelo numérico con 
elementos sólidos mediante el uso del “Software” DIANA, el cual aplica el FEM (“Finite 
Element Method”). Los elementos sólidos presentan un modelo que contempla 
parámetros dimensionales en 3D; es decir, la estructura de albañilería será presentada en 
elementos de tres dimensiones. Los resultados del modelo luego de la calibración, 
respectiva, mostrarán una curva de fuerza aplicada versus deformación de la estructura 
semejante a la obtenida experimentalmente, el cual abarca el rango elástico del material 
e inicio de la etapa plástica hasta el pico máximo de fuerza aplicada. La calibración será 
realizada con los parámetros de módulo de elasticidad, energía de fractura en compresión, 
resistencia a compresión, energía de fractura en tracción, resistencia máxima de tracción, 
coeficiente Poisson y densidad, de acuerdo al modelo constitutivo del material. 
Asimismo, el modelo desarrollado podrá predecir el comportamiento de la albañilería 
bajo otros estados de cargas, variación de otros parámetros como esbeltez o propiedades 
mecánicas de otros tipos de albañilería. 
 
Por otro lado, el modelo numérico no presentará resultados comprobados 
experimentalmente en la parte post-pico de la curva de fuerza versus desplazamiento, 
porque los resultados de los ensayos cuasi-estáticos no contiene la información de dicha 
parte elástica de la curva analizada. Entonces, la modelación mostrará una proyección del 
posible comportamiento de la estructura de albañilería para la parte post-pico. 
6 
 
 
1.6  Organización de la Tesis  
Para el desarrollo de esta Tesis se planteó organizarla en seis capítulos, las cuales serán 
explicadas a continuación:  
▪ Capítulo 1- Introducción: En este capítulo se presenta la introducción al tema de 
investigación que incluye la justificación y descripción del problema. Asimismo, 
se especifican los objetivos de la tesis, la hipótesis, la metodología aplicada, los 
alcances y limitaciones y, finalmente, la descripción del contenido de cada 
capítulo. 
▪ Capítulo 2- Revisión bibliográfica: Esta parte de la investigación se presenta la 
parte teórica relevante que se obtuvo a partir de la revisión bibliográfica, 
Asimismo, como datos que serían de suma importancia para el desarrollo de los 
modelos numéricos.  
▪ Capítulo 3- Ensayos experimentales de pilas y muretes de albañilería: En este 
capítulo se desarrolla los procesos experimentales que se realizaron en laboratorio. 
Además, se reportan los cálculos y resultados experimentales del ensayo de 
compresión uni-axial y compresión diagonal obtenidos.  
▪ Capítulo 4- Modelación numérica de pilas y muretes de albañilería: Para este 
capítulo se desarrolla el modelo numérico que caracteriza las pilas de albañilería 
de arcilla; asimismo, el modelo numérico de los muretes de albañilería. 
Finalmente se muestran los resultados de los parámetros mecánicos obtenidos 
mediante la modelación numérica y la respectiva evaluación de resultados. 
▪ Capítulo 5- Conclusiones de la investigación: En este capítulo final, se presenta 
las conclusiones obtenidas de toda la investigación, así como las observaciones y 
comentarios de las posibles líneas de investigación que se puedan continuar.  
 
 
 
 
 
7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. CAPITULO 2 
REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
 
2.1 Albañilería de ladrillo de arcilla  
La albañilería es un material de construcción compuesto, heterogéneo y anisotrópico. 
Asimismo, uno de los tipos que es más común en la construcción está elaborado con 
unidades de ladrillo de arcilla y mortero. Para la construcción de la albañilería las 
unidades son apiladas unas sobre otras empleando el mortero para unirlas.  
 
Este material posee características que lo hacen uno de los materiales más usados en la 
construcción de viviendas en muchas partes del mundo.  
 
Una de las características más importantes es la simplicidad en el montaje y construcción, 
lo cual ha sido percibido desde tiempos remotos con las construcciones de mampostería 
de diferentes culturas en el pasado. Asimismo, otra de las características que posee este 
material son rigidez, durabilidad, versatilidad, absorción acústica, protección ante 
incendios y la baja necesidad de mantenimiento (Harris, 1988).  
 
En el caso de las unidades que conforman una tipología de albañilería son los ladrillos de 
arcilla realizados, en algunos casos, de manera industrial o artesanal. Asimismo, su 
denominación de unidad también queda establecida porque puede ser manipulada con una 
sola mano; además las unidades presentan tipos tales como sólidas, huecas, tubulares o 
alveolares. Por otro lado, para el caso del mortero, este está compuesto por aglomerantes, 
generalmente cemento Portland; agregado fino, arena gruesa; y un cierto contenido de 
agua que permita al mortero presentar trabajabilidad, adhesión y que no sea segregada 
(San Bartolomé, 1994).   
 
Cabe resaltar que la albañilería posee propiedades diferentes en cada dirección (material 
anisótropo), ya que es compuesta, como se mencionó anteriormente, y las partes que la 
componen son las unidades de albañilería, el mortero y la interfase unidad mortero, la 
cuales se muestran en la Figura 2.1. Asimismo, frecuentemente por motivos de 
simplificación en el análisis estructural es considerado, en algunos casos, como un 
elemento homogéneo.  
 
9 
 
 
 
Figura 2.1: Partes de la albañilería: La unidad de albañilería(rojo), el mortero (verde) y la interfase 
unidad-mortero (azul). 
Cada una de las partes que la componen contempla sus propias propiedades mecánicas 
tanto como elásticas e inelásticas. El contacto entre dos materiales con diferentes 
propiedades mecánicas, pues la interfase actúe como plano de debilidad generan que la 
albañilería sea más vulnerable. Dado que a pesar de no haber agotado toda la capacidad 
de resistencia como lo harían el ladrillo y el mortero independientemente; un claro 
ejemplo se presenta cuando la albañilería es sometida a esfuerzos de tensión. 
 
2.2 Comportamiento mecánico de la albañilería de ladrillo de 
arcilla   
2.2.1 Comportamiento lineal 
La albañilería como la mayoría de materiales presenta un comportamiento lineal como 
respuesta cuando son sometidos a estados de esfuerzos debajo de su límite elástico. En 
otras palabras, este estado en la mecánica de materiales se rige bajo la ley de Hooke, el 
cual plantea que la deformación que se produce en un material es proporcional a la fuerza 
aplicada.  
 
Por motivos de evaluación general de los materiales se analiza una relación lineal entre 
el esfuerzo aplicado, fuerza aplicada sobre el área inicial de sección inicial asumiendo 
10 
 
 
distribución uniforme de esfuerzos, y la deformación unitaria, deformación por longitud 
inicial del elemento. Además, esta etapa elástica permite que el material recupere su 
forma original. A partir de lo anterior, se define una constante de proporcionalidad 
denominado módulo de elasticidad, propiedad mecánica del material (Bores & Schmidt, 
2003). 
 
Para el análisis estructural de estructuras hechas con mampostería de ladrillo de arcilla se 
han tenido que obtener primeramente las propiedades mecánicas este material. Las 
principales propiedades se pueden  determinar mediante procesos de ensayos 
normalizados como el propuesto en(Kaushik, Rai, & Jain, 2007). Para esta parte se 
enfatiza en el módulo de elasticidad (E) y módulo de corte (G) que caracteriza el 
comportamiento lineal-elástico de los materiales inicialmente cuando son sometidos a 
cargas, como esfuerzos de tensión o de corte, respectivamente.  
 
La albañilería en diversas investigaciones se ha sometido a ensayos de compresión uni-
axial para conocer el valor experimental del módulo de elasticidad, pero para ello se han 
tenido que seguir normas estandarizadas que permitan controlar, en la medida de lo 
posible, la variabilidad de factores que intervienen en la realización de estos experimentos 
y, además, que los resultados puedan ser de información útil para otras investigaciones.   
 
Además, otro parámetro fundamental para el análisis de la mampostería es el módulo de 
Poisson que relaciona la deformación longitudinal, de un elemento compuesto con el 
material en estudio, con la deformación transversal que presentan al ser sometidas a 
cargas en la dirección longitudinal. El rango de valores del módulo de Poisson para 
mampostería se presenta de 0.18 a 0.25 por diversos investigadores (Plujim, 1993).  
 
Asimismo, en la Tabla 2.1 se muestran los parámetros elásticos obtenidos y propuestos 
por investigadores de albañilería. 
 
 
11 
 
 
Tabla 2.1: Propiedades elásticas para la albañilería de ladrillo que se presenta en la literatura 
Referencia E ν 𝐆 (Mpa) (-) (Mpa) 
Pluijm, R, 1993 2745.9 0.25 - 
P. LOURENÇO, 1996 5000 0.2 3000 
CUR (1994) 5000 0.2 - 
P. LOURENÇO (Wall tests) 1996 2460-5460 0.18 1130 
Lurati and Thurliman (1990) "concrete block masonry" 3030-11700 0.32 3000 
 
2.2.2 Comportamiento no-lineal 
Materiales cuasi-frágiles como la albañilería y el concreto (Lourenço, 1996) en su etapa 
inelástica de comportamiento presentan fenómenos denominado endurecimiento y 
ablandamiento. En la primera se presenta reducción de rigidez; sin embargo, el esfuerzo 
sigue en aumento. Por otra parte, en el segundo el material experimenta un decaimiento 
de su rigidez, aparición de grietas y el esfuerzo se reduce, cabe resaltar que esto también 
sucede con materiales dúctiles.  
 
Entonces, por cuestiones de factibilidad se plantea evaluar el comportamiento inelástico 
del material en base a la energía de fractura, que en términos matemáticos es el área bajo 
la curva de esfuerzo versus deformación luego de haber alcanzado la resistencia máxima 
como se muestra en la Figura 2.1a.  
 
Por otro lado, la energía de fractura es la cantidad de energía necesaria para que se 
desarrolle el agrietamiento durante la etapa de ablandamiento en el material en estudio. 
Asimismo, se define una energía de fractura de compresión y otra de tracción (pura), y 
considerados como propiedades inelásticas del material.  
Ahora bien, este enfoque también considera evaluar el comportamiento por corte, debido 
a que la mampostería por ser compuesta presenta un plano debilidad en el contacto entre 
ladrillo y mortero; este material tiende a fallar en dicho plano por corte, en el caso de no 
presentarse una adecuada adherencia entre los elementos componentes. 
 
La falla modo I (Plujim, 1992) se denomina cuando el material llega a fallar mediante 
esfuerzos de tracción pura. Ahora bien, para identificar este tipo de falla se realizaron 
12 
 
 
varios ensayos con desplazamiento controlado obteniendo las curvas inelásticas con 
tendencia a decaimiento exponencial y se representa a la energía de fractura para este 
caso como GIf. El cual se define como la cantidad de energía necesaria para generar un 
área unitaria de grieta en el interfaz del ladrillo y mortero, ver figura 2.1.b. 
 
Por otro lado, la falla modo II se presenta a partir de un ensayo realizado en (Plujim, 
1993), el cual está enfocado en evaluar el comportamiento de adherencia que presenta la 
albañilería a los esfuerzos de corte. Asimismo, en dicho ensayo no se permitió la 
presencia de esfuerzos de tracción y en algunos elementos de ensayos se presentaron 
grietas no solamente en la interfaz sino también en los ladrillos.  
 
Entonces, la energía de fractura en modo II que, establecida como el área bajo la curva 
del diagrama de esfuerzos de corte versus deformación de corte, ver Figura 2.1.c; además 
de la fricción residual de corte luego de la falla. Cabe resaltar que este tipo de falla se 
basa también en el modelo de fricción de Coulomb. Entonces, se define un ángulo de 
fricción interna inicial y uno final que se presenta en la falla del material; asimismo, se 
analiza el comportamiento de corte a partir de un ángulo de dilatancia, en el cual su 
tangente es la relación entre los desplazamientos normales y los de corte.  
 
Ahora bien, a partir de lo anterior se puede deducir que a mayores esfuerzos de 
confinamiento se presenta un valor de ángulo de dilatancia que tiende a cero y mayor 
energía de fractura.  
  
(a) (b) 
13 
 
 
 
(c) 
Figura 2.2: Leyes constitutivas para el comportamiento de la mampostería para esfuerzos de (a) 
compresión, (b) tracción y (c) corte (Lourenço, 1996).  
Como se comentó, anteriormente, la albañilería ha sido sometida a diversos ensayos de 
laboratorio para poder caracterizar su comportamiento tanto elástico como el inelástico.  
 
Para la es caso de la zona inelástica de este material se han definido parámetros como la 
resistencia a compresión, la resistencia a tracción, y energías de fractura a compresión y 
tracción, ya que en esta zona no existe una relación de dependencia, que pueda ser 
caracterizada matemáticamente, entre el esfuerzo aplicado y la deformación.  
 
Por ello, diversos investigadores han considerado como propiedades mecánicas 
inelásticas los parámetros mencionados como la energía de fractura que representa la 
energía necesaria para la formación de la fisura y la etapa de ablandamiento del material 
luego de alcanzar su resistencia máxima y que se obtiene a partir de curvas experimentales 
como la de fuerza-desplazamiento.  
 
Asimismo, cabe resaltar que la resistencia a la compresión de la albañilería tiende a ser 
menor a la que presentan sus unidades que la componen, ya que la resistencia del mortero 
es menor con respecto a las unidades y se considerado como plano de debilidad causando 
reducción en la resistencia de toda la albañilería (Bakheteri, 2012). A continuación, se 
presentan valores de parámetros inelásticos utilizados por investigadores para la 
realización de modelos numéricos con diferentes tipos albañilería, ver Tabla 2.2.  
 
 
14 
 
 
Tabla 2.2: Parámetros inelásticos para la albañilería de ladrillo que se presenta en la literatura 
Referencia GIf GIIf Gf Gc 𝐟𝐜 𝐟𝐭 (N/mm) (N/mm) (N/mm) (Nmm) (Mpa) (Mpa) 
Pluijm, R, 1993 0 - 0.005 2 3.92 0.3 
P. LOURENÇO, 1996 - - 0.006-0.02 1.5-5 5-10 0.5-1.0 
CUR (1994) 0.01 0.05 - - - 0.5 
P. LOURENÇO 
(muros) 1996 - - 0 5-10 1.87-7.61 0.05-0.28 
Lurati and Thurliman 
(1990) "concrete block - - 0.02-0.03 5-10 5.78 -9.21 0.05-0.43 
masonry" 
 
Asimismo, para la predicción teórica de los valores de energía de fractura tanto para 
compresión y tracción de la mampostería se presentan la siguiente forma. Para el caso de 
la energía de fractura a tensión se estima en base al valor de ductilidad recomendado para 
unidades de ladrillo, este parámetro se refiere a la relación entre la energía y la resistencia 
máxima a la tracción. 
𝐺
𝑑 = 𝑓;   𝑓𝑓 = 𝑐𝑡   ; 𝑑 =  0.029 𝑚𝑚 ( 2.1) 𝑓𝑡 10
 
Valor recomendado para unidades de ladrillo es de un valor de “d” igual a 0.029 mm; 
además se estima un valor de resistencia a la tracción como la décima parte de la 
resistencia a la compresión.  
 
Por otra parte, en el caso de la estimación de la energía de compresión se presentan tres 
casos que dependen del valor de la resistencia a la compresión.  
 
Para valores de “fc” menores a 12Mpa le corresponde un valor de ductilidad (“d” presenta 
la misma definición planteada anteriormente) aproximada de 1.6 mm, como valor 
máximo. En cambio, para valores de resistencia entre 12 MPa y 80 MPa el valor de 
energía de fractura se calcula con la siguiente expresión. 
𝐺𝑐  =  15 +  0.43 𝑓𝑐 –  0.0036 𝑓
2
𝑐  ( 2.2) 
Finalmente, para valores de “fc" con magnitudes mayores a 80 MPa el valor de ductilidad 
que corresponde es igual 0.33mm, como valor mínimo de ductilidad. 
15 
 
 
2.3 Métodos de modelación numérica de albañilería  
La modelación numérica es una herramienta potente para el análisis de estructuras. Esta 
se enfoca en el análisis de estructuras complejas que requieren de un diseño más riguroso; 
la evaluación de estructuras patrimoniales para encontrar métodos de reparación y/o 
rehabilitación; y simulación de ensayos de laboratorio para estudios paramétricos 
(Lizárraga & Gavilán, 2016).  Dos métodos para la modelación son el de Elementos 
discretos y el de elementos finitos.  
2.3.1 Método con elementos discretos 
El método de elementos discretos consiste en emplear elementos rígidos o deformables 
considerando el contacto entre estos como otro tipo de elementos que generan mayores 
desplazamientos con respecto a los primeros. Generalmente, aplicado para estructuras 
con grandes deformaciones (Guzmán & Ayala, 2002). 
2.3.2 Método de elementos finitos  
El método de elementos finitos permite obtener resultados de variables desconocidas a 
través de la resolución numérica de ecuaciones diferenciales y simulando eventos. 
 
El método se basa en particionar el medio continuo en una malla,” mesh”, que resultará 
en un número determinado de elementos y así reproducir el comportamiento de la 
estructura en su totalidad a partir del comportamiento de cada uno de elementos de 
subdivisión (Bakhteri, Makhtar & Sambasivam, 2012).  
 
Los factores importantes que intervienen en un análisis con el MEF son la geometría de 
la estructura; el tipo de material (lineal o no-lineal); las condiciones de borde, que 
plantean la restricción de desplazamientos y las cargas externas.  
 
En la estructura sus desplazamientos (análisis mediante desplazamientos) mantiene una 
relación con sus deformaciones mediante la aplicación de las ecuaciones cinemáticas.  
 
A partir de lo anterior, las deformaciones, se plantean las ecuaciones constitutivas del 
material en análisis y estas permiten obtener los valores de esfuerzos internos.   
16 
 
 
Por otro lado, mediante las ecuaciones de equilibrio, para el caso lineal, y de las 
condiciones de fuerzas externas se puede obtener los valores de fuerzas internas, el 
resumen se presenta en la Figura 2.2.  
 
Ecuaciones
Desplazamientos
cinemáticas Deformaciones
Ecuaciones
constitutivas
Ecuaciones
Fuerzas externas Esfuerzos
de equilibrio
 
 Figura 2.3: Diagrama de procedimiento del análisis lineal y no lineal con elementos 
finitos.  
 
Para el caso de la etapa inelástica del material, las propiedades en dicha etapa son 
contempladas en las ecuaciones constitutivas. Asimismo, para este análisis las fuerzas 
internas de la estructura dependerán de los desplazamientos, lo cuales no guardan relación 
lineal y se deberá satisfacer la condición de equilibrio con el estado de fuerzas externas.  
Por ello, para obtener el vector de desplazamientos, de cada momento, que satisfaga las 
ecuaciones planteadas se deberá emplear métodos de iteración.   
2.4 Tipos de modelación de la albañilería   
Para la modelación numérica de la mampostería se pueden presentar tres enfoques de 
acuerdo a las características de la estructura mediante la aplicación del Método de 
Elementos Finitos. Dichos tipos son los siguientes: la micro-modelación detallada, micro-
modelación simplificada y macro-modelación (Lourenço, 1996) (Figura 2.3).  
17 
 
 
Mortero  
Unidad 
Unidad Interfase mortero Elemento continuo 
Interfase 
(a)  (b)  (c)  
 
Figura 2.4: Gráficas de estrategias de modelamiento para la albañilería: (a) Micro-modelación detallada; 
(b) micro-modelación simplificada; y (c) macro-modelación. 
En primer lugar, la micro-modelación (Figura 2.3a) detallada contempla a la unidad y al 
mortero como elementos continuos mientras que para la interfase unidad-mortero se 
representa como elemento discontinuo; además, en este tipo se consideran las propiedades 
mecánicas de la unidad y el mortero indistintamente; por otro lado, se considera las 
propiedades la interfase unidad-mortero. Este enfoque permite evaluar con mayor 
precisión el material compuesto.  
 
En segundo lugar, la micro-modelación simplificada (Figura 2.3b) considera a la unidad 
de ladrillo como elemento continúo, mientras que el mortero y la interfase unidad-mortero 
son agrupados en elementos discontinuos con espesor igual a cero, y este es considerado 
en las unidades. Asimismo, se considera al mortero y la interfase se consideran como 
plano de debilidad, a los cuales se atribuyen propiedades como rigidez tangencial y 
normal (Lourenço, 1996).   
 
Por último, la macro-modelación (Figura 2.3c) estudia la albañilería agrupando las 
unidades, el mortero y la interfase unidad-mortero como un solo material continuo, 
homogéneo e isotrópico. Asimismo, se puede observar el comportamiento a un nivel en 
el cual no se considera y las propiedades mecánicas que se emplean son del material en 
conjunto. Sin embargo, este tipo es muy utilizado en el análisis de estructuras de 
albañilería, ya que presenta resultados eficientes y demuestra mayor practicidad por 
18 
 
 
requerir menos parámetros y demanda computacional, que para estructuras de mayor 
escala se pueden considerar despreciables. 
 
Los tipos de modelación de la albañilería son aplicados para diferentes enfoques de 
estudio; por ello, no se puede asumir que uno se mejor que otro.  
 
Para la realización de un macro-modelo numérico se debe considerar las propiedades 
mecánicas del material que compone la estructura como conjunto. Generalmente, las 
propiedades requeridas son el módulo de elasticidad, resistencia a compresión, resistencia 
a la tracción, energía de fractura en compresión, energía de fractura en tracción, y 
coeficiente Poisson.  
 
Cabe resaltar que algunos de dichos parámetros pueden ser obtenidos experimentalmente 
y otros extraídos de fuentes de datos. Para el caso de los parámetros no obtenidos 
experimentalmente se verifica que, en varias investigaciones, hechas por diferentes 
autores, se han realizado ensayos de albañilería, hechos con los materiales iguales o 
semejantes a los ensayados con procedimientos estándares (Tzamtzis & Asteris, 2003). 
 
Por un lado, la calibración del modelo numérico consiste en adaptar todas las condiciones 
con las que se realizó el ensayo experimental, para asemejarse con precisión al modelo 
real. Asimismo, para la modelación del material se debe adoptar un modelo constitutivo 
que lo represente. Este último es una caracterización matemática del material en análisis 
que permita mostrar su comportamiento esfuerzo-deformación (Bakhteri, Makhtar & 
Sambasivam, 2012).  
 
Por otro lado, existen diferentes programas computacionales que aplican el MEF y 
permiten presentar la parte elástica e inelástica de estructuras de diferentes materiales; 
por ejemplo, lo programas más empleados son: ANSYS, DIANA FEA, ABAQUS, etc. 
19 
 
 
2.5 Criterios de fractura (“Smeared Crack Model”)  
Existen diversos criterios de fractura tales como el Discrete crack model y el Smeared 
crack model; sin embargo, en la caracterización de elementos cuasi-frágiles como la 
albañilería y el concreto, generalmente, se modelan bajo el enfoque del Smeared crack 
model. Por ello, el criterio de fractura que será desarrollado es el segundo mencionado 
anteriormente. 
 
El Smeared crack model considera a las grietas que se forman en el material, al ser 
sometido a esfuerzos, como deformaciones entre los planos de contacto de los elementos 
finitos. A partir de lo anterior, la forma de agrietamiento del material se puede caracterizar 
con el comportamiento constitutivo de esfuerzos de tensión y deformación unitaria (Rots 
& Blaauwendraad, 1989). De este criterio de fractura se pueden presentar dos enfoques 
para la caracterización de las grietas en materiales como la albañilería, los cuales son 
Multi-directional fixed crack model y Total Strain crack model.  
2.5.1 Modelo “Multi-directional fixed crack model combined with Von 
Misses criterion for compression”  
En este modelo (Lotfi & Shing, 1991) la albañilería es considerada homogénea e 
isotrópica antes que se inicie la aparición de grietas. Asimismo, el modelo de elástico-
plástico plano de esfuerzos está basado en el criterio de Von Mises; asimismo, el modelo 
plástico se complementa con el criterio de tensión de corte de Rankine para indicar el 
inicio de la aparición de grietas en el material. Para este modelo las grietas inician cuando 
en el material se presenta el valor de la resistencia a tracción (ft) en el esfuerzo de tensión 
principal. 
 
 Luego, a partir del inicio del agrietamiento el material se considera como no-lineal 
ortotrópico y los ejes de estudio son los de ortotropía; los nuevos ejes de análisis están en 
la dirección normal y tangencial de la grieta. Otra consideración importante para este 
modelo consiste en que los ejes de ortotropía, la dirección de la grieta rota con los ejes 
principales, ya que de esta forma la grieta se mantiene normal a la dirección del esfuerzo 
principal.  
20 
 
 
  
(a) (b) 
 
(c) 
Figura 2.5: Gráficas del comportamiento del modelo: (a) Superficie de falla de la albañilería; (b) Esfuerzo 
de tensión para el ablandamiento y rigidización; y (c) Esfuerzo efectivo versus deformación unitaria plástica 
efectiva (Lofti & Shing, 1991). 
Para el caso de la tensión a partir de someter al material a la resistencia a tracción, se 
inicia la etapa plástica considerando un decaimiento exponencial del esfuerzo en el eje 
principal. Asimismo, para este modelo el módulo de corte para los ejes de ortotropía se 
calcula de la siguiente manera en base a los esfuerzos principales y sus deformaciones 
unitarias principales.  
(𝜎1 + 𝜎2) ( 2.3) 
𝐺𝑛𝑡 =   2(𝜀1 + 𝜀2)
 
Para el caso de los esfuerzos de compresión se modela con la ley de endurecimiento no-
lineal y ablandamiento, a partir del fin del rango elástico del material, el modelo presenta 
un comportamiento con dos funciones, la primera con forma parabólica, endurecimiento 
no lineal, para los ejes principales y la segunda parte con un decaimiento exponencial, 
etapa de ablandamiento, para el esfuerzo de compresión. 
21 
 
 
2.5.2 Modelo “Total Strain Crack”  
El modelo constitutivo de “Total Strain Cracking” permite caracterizar los modos de 
fractura de un material cuasi-frágil. Asimismo, este tipo de criterio de fractura se basa en 
que los esfuerzos dependen de las deformaciones y el agrietamiento se evalúa en la 
dirección de estos. Asimismo, este enfoque se puede dividir en dos modelos, los cuales 
son el “Fixed orthogonal crack model (FCM)” y el “Coaxial rotating crack model 
(RCM)”. 
 
El enfoque Fixed orthogonal crack model (Weihe, Kröplin & De Borst, 1998) consiste en 
que el agrietamiento se produce perpendicular a la dirección principal de la tracción 
máxima cuando el esfuerzo es mayor o igual al 𝑓𝑡 del material. Entonces, a partir de lo 
anterior la relación constitutiva de esfuerzo-deformación se analiza en un eje de 
coordenadas que se mantiene fijo en dirección del primer agrietamiento.  
 
Por otro lado, el enfoque Coaxial rotating crack model (Weihe, Kröplin & De Borst, 1998) 
plantea que el agrietamiento se inicia cuando el elemento alcanza en su eje principal de 
esfuerzos el valor de 𝑓𝑡 del material. Entonces, a diferencia del FCM para cada momento 
de la evaluación de la relación constitutiva esfuerzo-deformación, la dirección de 
agrietamiento del material rota en dirección del vector de deformaciones principales.  
 
Para el desarrollo de los cálculos de las deformaciones a partir del criterio de Total Strain 
Crack se ha planteado en Witte & Kikstra, 2014, en base a un sistema de ejes coordenados 
fundamentales “xyz”, en el cual se define el vector de deformaciones en dichos ejes. 
Asimismo, el vector de actualización se define como “∆𝜀”, el cual representa la 
deformación generada luego de iniciado el primer agrietamiento. El vector de 
deformaciones actualizado queda definido por la siguiente ecuación para un número de 
eje principal y un ∆𝑡 luego del agrietamiento:  
𝑡+∆𝑡
𝑖+1𝜀𝑥𝑦𝑧 =  
𝑡𝜀 +  𝑡+∆𝑡 ( 2.4) 𝑥𝑦𝑧 𝑖+1∆𝜀𝑥𝑦𝑧 
 
Donde el valor de “𝑡” es el momento en el que inicia el agrietamiento; el índice “i+1” 
indica el número de orden los ejes principales en análisis. Por otro lado, el vector de 
22 
 
 
deformaciones en las coordenadas fundamentales se puede convertir en el vector de 
deformaciones en dirección de la grieta, ejes nst, mediante la multiplicación de la matriz 
de transformación “T”. 
t+∆t
i+1εnst = 𝐓
t+∆tε   ( 2.5) i+1 xyz
 
Para el caso de un modelo fijo (“fixed”) los ejes “nst” se mantienen fijos en dirección del 
agrietamiento; es decir, en términos de las fórmulas plantadas un valor de “i” igual a cero 
y no continúan presentando variaciones en la orientación de dichos ejes, solo varían el 
∆𝑡. Por otro lado, el vector de transformación queda en función de las deformaciones en 
los ejes xyz.  
𝑻 → 𝑻(𝑡+∆𝑡𝜀 )  ( 2.6) 𝑖+1 𝑥𝑦𝑧
 
Asimismo, el vector de esfuerzos dependerá de las deformaciones en los ejes principales.  
𝑡+∆𝑡𝝈 →  𝝈(𝑡+∆𝑡𝜀 )  ( 2.7) 𝑖+1 𝑛𝑠𝑡 𝑖+1 𝑛𝑠𝑡
 
Para el caso de transformación de esfuerzos en los ejes “nst”, a partir de la relación entre 
las deformaciones, se plantea la matriz de transformación “T” transpuesta que 
multiplicada con el vector de esfuerzos en dichos ejes se obtiene para obtener como 
resultado los esfuerzos en los ejes fundamentales.  
𝑡+∆𝑡
𝑖+1𝝈𝑥𝑦𝑧 = 𝐓
𝐓 𝑡+∆𝑡𝝈   ( 2.8) 𝑖+1 𝑛𝑠𝑡
 
Para el caso de la plataforma de trabajo de DIANA FEA la modelación de la albañilería 
se trabaja con el enfoque de modelo constitutivo “Total Strain Cracking”, disponible en 
el programa anteriormente mencionado, ya que este contiene modelos constitutivos para 
el comportamiento de la albañilería a compresión con una tendencia parabólica (Figura 
2.5a) y en el caso del comportamiento a tensión (Figura 2.5b) con tendencia de 
decaimiento exponencial (Al-Chaar & Mehrabi, 2008).  
23 
 
 
 
(a) 
 
(b) 
Figura 2.6: Leyes constitutivas del comportamiento (a) a compresión y (b) a tracción para el modelo Total 
Strain Crack (DIANA, 2015). 
2.6 Criterio de plasticidad   
2.6.1 Modelo “Rankine-Hill” 
Para obtener una representación del ablandamiento del material, etapa plástica, para 
materiales frágiles como lo es la albañilería el modelo de Rankine-Hill (Lourenço, 1997) 
es aplicable. El modelo de Rankine para analizar el comportamiento plástico a tracción y 
24 
 
 
el modelo de Hill para el comportamiento bajo compresión. El criterio de Rankine para 
la plasticidad de materiales ortotrópicos plantea una relación entre el primer esfuerzo 
principal y un esfuerzo equivalente que representa el comportamiento de ablandamiento 
del material, que puede ser la albañilería.  
2 ( 2.9) 
(𝜎𝑥 − 𝜎𝑡𝑥(𝑘𝑡)) +  (𝜎𝑦 −  𝜎𝑡𝑦(𝑘𝑡)) √(𝜎𝑥 −  𝜎𝑡𝑥(𝑘𝑡)) + (𝜎𝑦 − 𝜎𝑡𝑦(𝑘𝑡))
𝑓 21 = + + 𝛼𝜏𝑥𝑦  2 2
 
El parámetro “α” depende del esfuerzo de tracción para los ejes “x” y “y”; asimismo, por 
el esfuerzo cortante.  
𝑓𝑡𝑥𝑓𝑡𝑦 ( 2.10) 
𝛼 =    
 𝜏 2𝑢𝑡
Asimismo, se define el factor de cantidad de ablandamiento en función de las 
deformaciones plásticas máximas producidas en el eje “x” e “y”; y la deformación angular 
en la etapa plástica. 
𝜀𝑃 + 𝜀𝑃 1 ( 2.11) 𝑥 𝑦
𝑘𝑡 =  + √(𝜀𝑃 − 𝜀𝑃)2𝑥 𝑦 + (𝛾𝑃 22 2 𝑥𝑦
)  
Los esfuerzos equivalentes que describen el comportamiento elástico del material quedan 
definidos a partir de las siguientes expresiones: 
ℎ𝑓𝑡 ℎ𝑓𝑡𝑦 ( 2.12) 
𝜎𝑡𝑥 =  𝑓𝑡𝑥exp( −
𝑥
𝑘𝑡) ;  𝜎𝑡𝑦 =  𝑓𝑡𝑦exp( − 𝑘 ) 𝐺𝑓𝑥 𝐺 𝑡𝑓𝑦
Donde el factor “kt” representa la magnitud de ablandamiento del material, la 
deformación unitaria máxima plática de los ejes principales; y el factor “h” es la longitud 
equivalente que depende de un factor modificador y la forma, tamaño de un elemento en 
estudio, para el estudio de la albañilería se la forma se relaciona con el área de un 
elemento.  
 
Para los casos en los que el elemento es muy grande se puede presentar un esfuerzo que 
genera regresar al nivel constitutivo del material y, por ende, la teoría de energía de 
factura para dicha situación ya no se cumpliría; por ello, se define un valor máximo de 
longitud equivalente que depende del módulo de elasticidad, la energía de fractura y el 
esfuerzo a tracción.  
 
25 
 
 
Para el caso de criterio de Hill se plantea un comportamiento plástico que contempla una 
etapa de endurecimiento isotrópico, luego de la finalizar la etapa elástica, hasta llegar al 
pico máximo de esfuerzo de compresión con una tendencia parabólica; consiguiente en 
la parte post-pico, ablandamiento anisotrópico, la relación entre esfuerzos y 
deformaciones plásticas se basa en una curva parabólica y finalmente el decaimiento del 
esfuerzo sigue una tendencia exponencial.   
 
Figura 2.7: Ley constitutiva de comportamiento plástico bajo cargas de compresión (Lourenço, 1997). 
A partir de la gráfica propuesta se define puntos fundamentales de esfuerzos que indican 
el inicio de la etapa de endurecimiento, el esfuerzo pico, el fin de la etapa de 
ablandamiento parabólico y el esfuerzo límite del decaimiento exponencial. Por motivos 
de simplificación los descritos quedan establecidos en función de la resistencia a la 
compresión del material donde  𝜎𝑝𝑖 = 𝑓𝑚𝑖.  
 
La relación de los otros esfuerzos queda definida de la siguiente manera: 1𝜎𝑚𝑖 = 𝑓𝑚𝑖 ,  2
1 1
𝜎𝑖𝑖 = 𝑓𝑚,  𝜎3 𝑟𝑖 = 𝑓𝑚. Asimismo, el parámetro "kp" representa la deformación unitaria 10
plástica generada por la aplicación del esfuerzo pico.  
 
A partir de la tendencia de las curvas se plantean tres ecuaciones que describen el 
comportamiento plástico del material.  
 
26 
 
 
Tabla 2.3: Ecuaciones que caracterizan al criterio de plasticidad 
2𝑘 𝑘2
Etapa de endurecimiento isotrópico 𝑐 𝑐𝜎𝑎𝑖 = 𝜎𝑖𝑖 + (𝜎𝑝𝑖 − 𝜎𝑖𝑖)√ −  𝑘𝑝 𝑘2𝑝
𝑘 − 𝑘
Etapa de ablandamiento aniso trópico 𝑐 𝑝𝜎𝑎𝑖 = 𝜎𝑝𝑖 + (𝜎𝑚𝑖 − 𝜎𝑝𝑖)( )2 𝑘𝑚𝑖 − 𝑘𝑝
Etapa de ablandamiento aniso trópico 𝑘𝑐 − 𝑘𝑚𝑖
𝜎𝑎𝑖 = 𝜎𝑟𝑖 + (𝜎𝑚𝑖 − 𝜎𝑟𝑖)𝑒𝑥𝑝(𝑚𝑖 )  
(decaimiento exponencial) 𝜎𝑚𝑖 − 𝜎𝑟𝑖
Animismo se define el factor “mi” como 𝜎𝑚𝑖−𝜎𝑚 = 𝑝𝑖𝑖  . 𝑘𝑚𝑖−𝑘𝑝
2.7 Método de solución para el FEM 
Para análisis elástico de elementos finitos se plantea la matriz tensora de esfuerzos, así 
como también la matriz de deformaciones unitarias, las cuales quedan expresadas de la 
siguiente manera. 
T ( 2.13) 
𝜎 =  [𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝜎𝑧 𝜎𝑥𝑦 𝜎𝑦𝑧 𝜎𝑧𝑥]   
T ( 2.14) 
𝜀 =  [𝜀𝑥 𝜀𝑦 𝜀𝑧 𝛾𝑥𝑦 𝛾𝑦𝑧 𝛾𝑧𝑥]   
 
A partir de las matrices se define el modelo constitutivo del elemento en estudio. Por otro 
lado, cabe resaltar que para el desarrollo de modelos continuos el procedimiento de 
integración se realiza mediante el esquema de Gauss, el cual consiste en un método 
matemático para interpolar los desplazamientos de los nodos de elementos unitarios y 
encontrar la deformación de dicho elemento. 
 
Por otra parte, para el análisis inelástico, se propone primeramente resolver el estado de 
equilibrio entre las fuerzas internas y las fuerzas externas mediante la formulación de 
ecuaciones que dependen de los desplazamientos; sin embargo, a veces dichas ecuaciones 
no presentan una solución, sino varias, o simplemente no tienen solución. Por ello, se 
recurre a métodos de iteración que permitan encontrar una respuesta cercana a la solución 
con un error mínimo en la medida de lo posible.  
 
Una de las técnicas de iteración más recurrentes es el método de Newton-Raphson 
(Lourenço, 1996).  
27 
 
 
Entonces partiendo de la formulación del equilibrio entre las fuerzas externas e internas 
en el elemento en análisis, donde las fuerzas dependerán de los desplazamientos de los 
nodos del elemento.  
𝐹𝑖 −  𝐹𝑒 = 0 ( 2.15) (𝑢𝑛) 𝑛
Donde “Fi” son las fuerzas internas, “Fe” las fuerzas externas y “u” los desplazamientos 
de los nodos. Continuando, la solución de la ecuación anterior viene dada para el estado 
de desplazamientos “𝑢𝑛”; sin embargo, el problema se presenta cuando las fuerzas 
externas experimentan una variación, describiéndose por la siguiente ecuación. 
𝐹𝑒(𝑛+1) =  𝐹𝑒(𝑛) +  𝛥𝐹𝑒( ( 2.16) 𝑛+1) 
Luego, se presenta la siguiente situación de equilibrio. 
𝜑𝑛+1 = 𝐹𝑖(𝑢 ) −  𝐹𝑒𝑛 (
( 2.17) 
𝑛+1) 
Donde “𝜑𝑛+1” representa el vector de fuerzas no equilibradas o fuerzas residuales, que 
para el estado “n” es igual a cero. Asimismo, también se plantea una variación en los 
desplazamientos que generan una variación, también, en las fuerzas internas. 
𝑢(𝑛+1) =  𝑢(𝑛) +  𝛥𝑢( ) ( 2.18) 𝑛+1
Entonces, el problema matemático se presenta cuando se requiere determinar el valor de 
“𝛥𝑢(𝑛+1)”, ya que de esa manera se podrá calcular la función de fuerzas internas. 
Generalmente, se plantea el valor de “𝛥𝑢(𝑛+1)” como: 
𝛥𝑢 𝑖+1(𝑛+1) =  𝛿𝑢
−1 𝑖 𝑖 ( 2.19) 
𝑛+1 = (K )𝑛+1 𝜑𝑛+1 
Donde “i” es el índice indicador del número de iteración, “K” es la matriz de rigidez 
tangencial.  
En resumen, la ecuación de equilibrio para el análisis inelástico se presenta de la siguiente 
manera:  
𝑭𝒆 +  𝜟𝑭𝒆 =  𝑭𝒊(𝒖) + 𝐊(𝜟𝒖)   ( 2.20) 
Luego, se procede a aplicar el algoritmo iterativo anteriormente mencionado que consiste 
en calcular el valor de variación de desplazamientos de la siguiente manera (DIANA, 
2015). 
𝜕𝜑 ( 2.21) 
= 𝐾   
𝜕∆𝑢 𝑖
 
28 
 
 
Este método propone variaciones de fuerza externa, para luego determinar la variación de 
desplazamientos a partir de la matriz tangencial. Asimismo, con esté método se crea una 
matriz de rigidez por cada iteración, lo cual genera que se requieran de menos iteraciones 
para la convergencia y que cada una de estas sea lenta.  
 
Por otro lado, se presenta el algoritmo de Newton-Raphson modificado que plantea 
mantener la matriz de rigidez tangencial inicial constante y se basa en la convergencia del 
equilibrio.  Por ello, requiere de más iteraciones, pero cada una de esta toma menos 
tiempo. Con respecto al método regular el modificado es más rápido para obtener la 
convergencia.  
2.8 Elementos sólidos para modelación numérica 
Para la modelación numérica en 3D se emplean elementos tipo sólidos. A partir de sistema 
de ejes globales de la estructura, un elemento sólido se analiza, generalmente, mediante 
un eje de coordenadas locales (definidos como xyz), que son paralelos a los ejes globales 
XYZ. Asimismo, otro sistema de coordenadas consiste en establecer la dirección 
especifica de “x” y luego definir un vector en “y” para determinar las direcciones 
correctas en “y” y “z”. Este último sistema definido se adecua para obtener el esfuerzo 
principal del elemento solido en estudio (DIANA, 2015). 
  
Los parámetros que definen su comportamiento estructural son los desplazamientos, 
deformaciones unitarias y los esfuerzos a los que está sometido. Ahora bien, los 
desplazamientos se definen como los movimientos de traslación de cada nodo del sólido, 
los cuales que poseen tres grados de libertad.  
 
Un tipo de elemento sólido (DIANA, 2015) es el “Brick element”. Este es isoparamétrico, 
ya que los bordes del elemento son curvos y adoptan la forma de la función que se emplea 
para aproximar los de desplazamientos. Generalmente, empleado en el análisis de 
estructuras de geometría regular o compleja en tres dimensiones. Asimismo, se presentan 
tres subtipos, los cuales son el HX24L, CHX60 y el CHX96.  
 
29 
 
 
Para el caso del HX24L, este consiste en un elemento solido de ocho nodos con tres 
grados de libertad en cada uno. Para este tipo, la función de aproximación de 
desplazamientos es lineal. Cabe resaltar, que este elemento es eficiente para evaluar el 
comportamiento de elementos regulares; sin embargo, para elementos irregulares 
sometidos a esfuerzos de flexión no se muestran resultados eficientes (Macneal & Harder, 
1985). 
 
Por otro lado, el elemento CHX60 brick contempla 20 nodos de integración. La función 
de aproximación de los desplazamientos es del tipo cuadrática porque presenta nodos 
intermedios en los lados (Dhatt, Lefrançois & Touzot, 2012). 
 
Finalmente, el modelo CHX96 brick presenta 32 nodos de integración. La función de 
aproximación de los desplazamientos es del tipo cúbica porque presenta dos nodos 
intermedios en los lados del elemento (Dhatt, Lefrançois & Touzot, 2012). 
 
  
(a) (b) 
 
(c) 
Figura 2.8: Gráficas de sólidos tipo hexaedros: (a) HX24L; (b) CHX60; y (c) CHX96 (DIANA, 2015) 
 
30 
 
 
Cabe resaltar que los tipos de sólidos que los nodos intermedios presentes a lo largo de la 
arista del sólido facilitan la interpolación en elementos de geometría compleja. Por ello, 
en el análisis de materiales como la albañilería modelada con sólidos, los nodos 
intermedios permiten predecir el comportamiento de la estructura con mayor precisión 
con respecto al no emplearlos (Cundall, 1988). 
2.9 Modelos numéricos de albañilería en 3D  
Diversas investigaciones se han enfocado en realizar modelos numéricos tanto de 
especímenes de mampostería, así como modelación de estructuras de mayor magnitud 
hechas de mampostería. Por ello, en esta parte se presenta ejemplos de modelaciones 
realizadas y los resultados obtenidos de esas investigaciones.  
 
Primeramente, se presenta la investigación realizada para analizar la mampostería 
histórica de una huaca (Ramírez et al., 2015), el cual en una parte del trabajo se avocó en 
trabajar la modelación numérica de pilas de mampostería de adobe, el cual está compuesto 
por unidades de adobe y mortero de tierra, sometidas a un ensayo de compresión uni-
axial.  
 
Para el desarrollo del modelo se trabajó con un macro-modelo que considera la 
mampostería de adobe como un solo material homogéneo. Por otro lado, para la 
caracterizar el agrietamiento se empleó el enfoque “Total Strain Crack Model” del 
programa computacional DIANA y los modelos de agrietamiento utilizados para el 
ensayo de compresión fueron: “fixed orthogonal crack model” (TSCM-fixed) y el 
“coaxial rotating crack model” (TSCM-rotating).  
 
Ahora bien, en el desarrollo de los modelos se propuso realizar cuatro modelos, de los 
cuales estos serían dos usando elementos tipo lamina, 2D, y los otros dos sería con 
elementos sólidos, 3D. Cabe resaltar que para los modelos con elementos sólidos se 
trabaja con los dos modelos de agrietamiento, que son TSCM-fixed y TSCM-rotating.  
 
31 
 
 
Ahora bien, la solución fue realizada mediante el método de Newton-Raphson 
Modificado. Asimismo, el modelo numérico se calibró bajo un enfoque disponible del 
programa de cómputo en uso, el cual consistía en presentar una tendencia parabólica en 
el comportamiento bajo cargas de compresión y un decaimiento exponencial bajo cargas 
de tracción.  
 
Por otro parte, los parámetros necesarios para la respectiva calibración fueron el módulo 
de elasticidad, la energía de fractura a compresión, la resistencia a la tracción, energía de 
fractura a tracción, módulo de Poisson y el factor de retención de corte. 
 
Asimismo, para la construcción de los modelos de los conformados por elementos tipo 
lámina se emplearon elementos tipo “Shell” de 8 nodos en el estado plano de esfuerzo, 
CQ16M; en cambio, para el modelo con sólidos se empelaron elementos con 20 nodos, 
CHX60.  
 
    
Figura 2.9: Presenta los modelos de primas con elementos sólidos(Ramírez et al., 2015). 
 
Los resultados de los modelos numéricos en términos de esfuerzo versus deformación 
presentaron una eficiente aproximación con respecto a la curva experimental. El modelo 
con sólidos presentó una mayor precisión en resultados con respecto a los modelos con 
elemento Shell. Cabe resaltar que los modelos presentan una muy buena aproximación en 
la parte lineal, pero en la parte post-pico no se logra reproducir una respuesta completa.  
32 
 
 
 
 
Figura 2.10: Muestra las gráficas de comparación de la envolvente experimental, los modelos en 2D y los 
modelos en 3D (Ramírez et al., 2015). 
Para el caso de la aplicación del modelo de agrietamiento TSCM-rotating se realizó el 
mismo procedimiento de modelación realizado con el otro modelo con TSCM-fixed. A 
partir de los resultados para este nuevo modelo se pudo observar que la resistencia 
mostrada para ambos modelos de agrietamiento fue, prácticamente, la misma, pero la 
deformación unitaria para la carga pico mostro una ligera diferencia.  
 
Asimismo. Se presentó diferencia entre la respuesta post-pico entre ambos modelos, ya 
que el modelo TSCM-rotating presenta una caída súbita del esfuerzo en la región post-
pico y para el TSCM-fixed se presentó una caída súbita combinada con una degradación 
de la resistencia.  
 
33 
 
 
Por otro lado, otra investigación realizada de modelos numéricos con sólidos fue 
presentada por Mahini (Mahini, 2015), el cual se enfoca en realizar modelos numéricos 
de pilas de mampostería de adobe, los cuales estaban compuestos de cuatro unidades de 
adobe unidas por mortero de barro.  
 
Para el desarrollo del modelo se propuso realizar macro-modelación con elementos 
sólidos, estructura en tres dimensiones y que considera todo el elemento continúo 
incluyendo las interfases entre el mortero y la unidad. Ahora bien, para caracterizar el 
modelo en 3D se emplearon sólidos con ocho nodos isoperimétricos, recomendado para 
materiales cuasi-frágiles como el que está en estudio.  
 
Cabe resaltar que el tipo elemento seleccionado permite representar el agrietamiento en 
tres direcciones ortogonales y la deformación plástica y creep. Asimismo, Para 
caracterizar el agrietamiento se empleó el enfoque constitutivo “Smeared Crack Model” 
del programa computacional ANSYS; debido a que dicho enfoque puede reproducir la 
etapa de plasticidad y el agrietamiento de materiales como la albañilería.  
 
Por otro parte, los parámetros necesarios para la respectiva calibración fueron el módulo 
de elasticidad; la resistencia a la tracción 𝑓𝑡, también se empleó el factor 𝑇𝑐, que representa 
la cantidad de relajación de los esfuerzos de tracción que por defecto fue 0.6; la resistencia 
a la compresión 𝑓𝑐; módulo de Poisson y el factor de retención de corte (β). 
 
Para el proceso de la modelación de los especímenes se empleó una malla en tres 
dimensiones, la cual contemplaba 108 elementos sólidos tipo SOLID65.  
 
Asimismo, cabe resaltar que, también, se modelaron con elementos finitos los objetos 
presentados en el contorno de las pilas durante los ensayos de compresión uni-axial, como 
las plataformas de metal donde la carga era aplicada (Figura 2.11a). Añadiendo, la 
solución fue realizada mediante el método iteración para la convergencia de los 
algoritmos de fuerza y desplazamiento fue Newton-Raphson Modificado. 
34 
 
 
 
(a) 
  
(b) (c) 
 
 
Figura 2.11: Resultados de Mahini, 2015: (a) Modelo numérico y modelo real en el estado de propagación 
de grietas antes del colapso; (b) Resultados a compresión de las unidades; y (c) Resultados a compresión 
de los prismas de adobe. 
A partir de los resultados para este modelo con sólidos se pudo observar que la curva 
mostrada para los esfuerzos de compresión y deformaciones se asemeja en gran medida 
a la curva experimental obtenida en ensayos de prismas de unidades, Figura 2.11b. Por 
ello, se puede comentar que el modelo numérico fue calibrado adecuadamente mostrando 
resultados con precisión. Sin embargo, la respuesta post pico solo se puede evaluar con 
el modelo numérico, ya que los ensayos no presentaron resultados para dicho estado.  
 
Por otro lado, en la curva de esfuerzo compresión versus deformación de prismas de 
adobe del modelo (Figura 2.11c) se presenta comportamiento también semejante a los 
experimentales. Asimismo, el modelo puede mostrar una respuesta aproximada en la 
formación de las grietas. 
 
35 
 
 
En conclusión, general, los modelos numéricos desarrollados con sólidos presentan una 
buena predicción representando la respuesta de la mampostería de adobe bajo cargas de 
compresión, ya que los resultados de resistencia presentan semejanza a los experimentales 
y, además, un mecanismo de agrietamiento parecido al real. Entonces, es un buen indicio 
para la modelación numérica con sólidos para la albañilería de ladrillo de arcilla.  
2.10 Ensayos experimentales para caracterización de las 
propiedades mecánicas de la albañilería 
Los ensayos se realizan para determinar propiedades mecánicas de los materiales y de esa 
manera tener la base experimental para poder realizar el análisis estructural de estructuras 
desarrolladas con el material en estudio.  
2.10.1 Ensayo de compresión uni-axial 
Para los ensayos de compresión el principal objetivo es el de obtener el módulo de 
elasticidad y la resistencia máxima a la compresión. Generalmente, para estos ensayos se 
realizan con pilas de albañilería, sometiéndola a una carga en su eje axial, sobre el área 
de menores dimensiones.  
 
Por otro lado, para este ensayo en realidad, la albañilería llega a la falla no por esfuerzos 
netamente de compresión en los elementos; sino que durante la aplicación de los esfuerzos 
el mortero tiende a expandirse en mayor medida con respecto a la unidad de ladrillo; por 
ende, en las unidades se producen esfuerzos de tracción lateral y mientras que por 
equilibrio el mortero si se encuentra sometido a esfuerzos de compresión (San Bartolomé, 
1994).  
 
Para el desarrollo de un eficiente ensayo se requiere seguir procedimientos estándares, ya 
que de esa manera se puede controlar en mayor medida las variables que puedan 
intervenir durante un ensayo y que puedan repercutir en obtener resultados erróneos. Por 
ello, la Norma ASTM, 2003, establece un número mínimo de pila para ensayos, el cual 
es tres. Asimismo, los especímenes deben presentar una relación entre altura y espesor 
entre 1.3 a 5 según ASTM, 2003 y para la Norma E.070 entre 2 y 5. 
36 
 
 
 
Por otra parte, para determinar las propiedades mecánicas de la mampostería a partir del 
ensayo, la Norma plantea lo siguiente. El cálculo de la resistencia máxima a la compresión 
de la pila se realiza como la división entre la máxima fuerza axial obtenida sobre el área 
neta de la sección. Continuando, para determinar la resistencia a la compresión de la 
albañilería primero se requiere calcular la esbeltez del espécimen (h/t), ya que se requiere 
obtener un factor de corrección. 
 
Para lo anterior, el ASTM propone como esbeltez nominal un valor de dos. Entonces, 
para el cálculo de “ft” se multiplica el factor de corrección por la resistencia a la 
compresión de la pila.  
Tabla 2.4: Factores de corrección por esbeltez según ASTM 
 Factores de corrección por esbeltez para pilas de albañilería (ASTM,2003) 
Esbeltez (h/t) 1.3 1.5 2 2.5 3 4 5 
Factor de corrección 0.75 0.86 1.00 1.04 1.07 1.15 1.22 
 
En cambio, la Norma E.070 establece como esbeltez nominal un valor igual a cinco. 
Tabla 2.5: Factores de corrección por esbeltez según Norma E0.70 
 
Factores de corrección por esbeltez para pilas de albañilería Norma E.070 
Esbeltez (h/t) 2 2.5 3.0 4.0 4.5 5.0 
Factor de corrección 0.73 0.80 0.91 0.95 0.98 1.00 
 
La corrección por esbeltez se realiza, porque se requiere normalizar los valores de 
resistencia, de probetas con diferente esbeltez al nominal, al valor de resistencia que se 
hubiera obtenido si el espécimen en análisis hubiera sido construido con el valor 
referencial de esbeltez.  
 
Cabe resaltar, a menor relación en entre la altura total y el espesor se obtiene un valor de 
resistencia mayor por presentar en menor medida el efecto de esbeltez. Asimismo, para 
caso de valores intermedios de la relación altura y espesor, el factor de corrección se 
calcula mediante interpolación.  
37 
 
 
2.10.2 Ensayo de compresión diagonal  
Para los ensayos de compresión el principal objetivo es el de obtener el módulo de corte, 
resistencia al corte diagonal y la resistencia máxima a la tracción indirectamente. Para 
este tipo de ensayo, se construyen muretes de albañilería, sometiéndolas a una carga en 
su eje diagonal.  
 
Por otro lado, para este ensayo en realidad, los muretes fallan a lo largo de la interfaz 
mortero-unidad, lo cual visualmente se ve de forma escalonada; sin embargo, en algunos 
ensayos se puede presentar rotura en las unidades y la falla sería diagonal, debido a que 
se presentó una adecuada adherencia entre los elementos (San Bartolomé, 1994).   
 
Para el desarrollo de un eficiente ensayo también se plantean procedimientos estándares, 
para controlar en mayor medida las variables que puedan intervenir durante un ensayo y 
que puedan repercutir en obtener resultados erróneos. Por ello, la Norma E 0.70 y (ASTM 
E 519-02, 2002)  establece un número mínimo de tres muretes para este ensayo. Por otro 
lado, para determinar las propiedades mecánicas de la mampostería como la resistencia 
al corte, la Norma ASTM plantea una serie de procedimientos numéricos. Por ejemplo, 
para determinar el esfuerzo de corte diagonal se propone la siguiente ecuación:  
𝑃
 ( 2.22) 𝑆𝑠 = 0.707 𝐴𝑛
 
El esfuerzo de corte (ASTM E 519-02, 2002) es igual a la fuerza aplicada sobre el área 
neta del espécimen y multiplicado por el factor 0.707. En donde el área es igual al 
promedio de la altura y ancho del murete multiplicado por el espesor y el porcentaje de 
superficie sólida. Asimismo, el esfuerzo de corte (San Bartolomé, 1994) puede ser 
determinado a partir de dividir la carga aplicada sobre el área diagonal del murete.  
 
La deformación unitaria de corte (ASTM E 519-02, 2002) se determina a partir de la suma 
de deformaciones tanto horizontal como vertical sobre la longitud inicial de la 
instrumentación en uso. Luego, el módulo de corte es igual al esfuerzo de corte sobre la 
deformación unitaria total. 
 
38 
 
 
Por otro lado, para determinar el esfuerzo de tracción de manera indirecta, la investigación 
(Brignola, Frumento, Lagomarsino & Podestà, 2008) realiza la interpretación del círculo 
de Mhor propuesto por RILEM y el valor de corte diagonal propuesto por la ASTM.  
 
A partir de dicho análisis se obtiene un valor de esfuerzos de tracción igual al esfuerzo de 
tracción propuesto por la ASTM multiplicado por el factor de 0.52. Asimismo, se realiza 
un modelo numérico en ANSYS para determinar el esfuerzo de tracción, obteniéndose 
como resultado que los esfuerzos principales se presentan en un plano inclinado a 45º y 
el valor del parámetro a obtener es igual a la carga aplicada sobre el área de sección 
transversal, ASTM, multiplicado por 0.5.  
 
Asimismo, en la investigación se realizaron simulaciones de compresión diagonal con 
variaciones de parámetros de modelamiento para, finalmente, proponer la siguiente 
expresión y determinar la resistencia a la tracción en la albañilería.  
𝑃 ( 2.23) 
𝑓𝑡 =  𝛼  𝐴𝑛
 
Donde alfa depende de la tipología de la albañilería, si es regular o irregular. Añadiendo, 
a partir de diversos ensayos de compresión diagonal con diferentes tipologías de 
albañilería se obtuvieron los siguientes resultados de valores del parámetro alfa.  
 
Tabla 2.6: Valores de alfa propuestos por (ASTM E 519-02, 2002) 
Albañilería Α 
Ladrillo sólido 0.56 
Ladrillo hueco 0.50 
Bloque de 
concreto 0.50 
 
 
 
 
 
 
39 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. CAPITULO 3 
ENSAYOS EXPERIMENTALES 
DE PILAS Y MURETES DE 
ALBAÑILERÍA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 
 
 
3.1 Pilas de albañilería  
En esta presenta parte se describe a detalle los especímenes de albañilería utilizados y el 
procedimiento para los ensayos de compresión uni-axial en el laboratorio de estructuras 
de la PUCP. 
3.1.2 Descripción de especímenes  
Para elaboración de las probetas, pilas, de albañilería se utilizaron ladrillos de arcilla y 
mortero. Las dimensiones nominales de las unidades de ladrillo 23x13x9 cm3; asimismo, 
con presencia de 18 huecos. La dosificación del mortero fue realizada con material 
cementante y arena con una relación de 1:4.  
 
El proceso constructivo siguió con las técnicas convencionales; las cuales consisten en 
preparar el mortero, para luego cubrir una cara de la unidad con una capa de mortero y, 
después, apilar la otra unidad de ladrillo sobre la capa de mortero. La pila de albañilería 
estuvo conformada por seis unidades de ladrillo, 5 capas de mortero y, asimismo, se 
colocó un capping para la parte superior e inferior de la pila. Para los ensayos se 
construyeron un total de 4 pilas con dimensiones nominales de las pilas fueron de 
600x230x130 cm3. 
600
600 600
230 130 130 230  
Figura 3.1: En esta figura se presenta el dibujo isométrico de la pila de albañilería analizada con sus medidas 
nominales en mm; asimismo, como dibujos frontales de los lados laterales de la pila (Fuente propia). 
3.1.3 Ensayo de compresión uni-axial 
Como se mencionó, anteriormente, el ensayo se realizó en el laboratorio de estructuras de 
la PUCP. Para el desarrollo de este tipo de ensayos se cuenta con un equipo de carga y un 
sistema de control para registrar los resultados. El equipo de carga consistió en una gata 
hidráulica con capacidad de 200 toneladas y, asimismo, de una bomba hidráulica eléctrica 
con capacidad de 600 BAR. Por otro lado, el equipo de registro de datos consintió en una 
41 
 
 
celda de carga conectada a un amplificador y caja de conexiones para expresar los 
registros en kN mediante un computador implementado con el software LABVIEW. En 
el ensayo la pila de albañilería se verificó que se encontrara bien aplomada en el equipo 
de ensayo, ya que si no se cumple con dicho requerimiento se pueden presentar desvíos 
en los dispositivos de lectura y, por ende, obtener resultados erróneos.  
 
Los dispositivos de lectura estaban conformados por tres LVDT. De los cuales uno de 
ellos, de 50 mm, estaba considerado para medir la respuesta global de la probeta durante 
el ensayo; por otro lado, los otros dos, de 10 mm, estaban implementados para medir la 
respuesta local del prisma. Durante el desarrollo de los ensayos de las probetas de 
albañilería, se procedió a realizar el control de la aplicación de la carga por 
desplazamiento, ya que si se realiza el ensayo por fuerza controlada se provoca en la 
probeta una rotura instantánea que no permitirá registrar una respuesta más precisa en las 
deformaciones del material. Entonces, la velocidad de carga aplicada fue de 0.5 mm/min 
y se aplicó hasta que el material llegara a la rotura.  
 
Finalmente, los resultados que se obtuvieron del ensayo fueron una gráfica de Fuerza 
aplicada versus desplazamiento axial para cada una de las cuatro probetas ensayadas. 
Cabe resaltar que se obtuvieron respuestas de las deformaciones locales y globales de las 
pilas.  
  
(a) (b) 
Figura 3.2: Ensayo de compresión: (a) Equipo de aplicación de caga y de registro de respuesta del ensayo. 
(b) En la figura se observa la pila colocada en el equipo de carga y con sus respectivos dispositivos de 
lectura implementados (LVDT’s), Fuente propia. 
 
42 
 
 
3.1.4 Resultados del ensayo de compresión uni-axial 
En la etapa final de los ensayos de compresión en las pilas de albañilería se pudo observar 
las grietas formadas luego de la aplicación de la carga máxima. En la figura 3.3 se puede 
visualizar la forma de falla presentada en una pila ensayada. Se puede recalcar que la falla 
se presenta en la parte superior del espécimen debido a la concentración de esfuerzos en 
dicha parte.  
V
230
350
25
30
600
230
130
  
(a) (b) 
  
(c) (d) 
Figura 3.3: Rotura de las pilas: (a) En la figura se presenta las grietas para la parte frontal de la probeta 
luego de la aplicación de la carga máxima (b) y las grietas para la vista lateral de la pila (Fuente propia). 
 
Los resultados obtenidos mediante el ensayo de compresión fueron el registro de una data 
de la historia de carga aplicada y las deformaciones producidas por las cargas. Con la data 
adquirida se procedió a construir la gráfica de Fuerza versus desplazamiento para cada 
pila ensayada. En la figura 3.4 se muestran las curvas de Fuerza axial -deformación global 
43 
 
 
medidos con los LVDT’s locales para cada prisma y en la figura 3.5 las curvas de esfuerzo 
versus deformación unitaria (LVDT global) de las pilas obtenidas a partir de los ensayos.  
300 12
250 10
200 8
150 6
100 4
PL - 2 PL 1
50 PL - 3 2 PL 2
PL - 4 PL 3
0 0
0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 0.000 0.004 0.008 0.012 0.016
Δ Deformación (mm) Deformación axial  ε (mm/mm)
  
(a) (b) 
Figura 3.4: (a) Gráfica de Fuerza axial versus deformación local y en (b) la curva de esfuerzo de compresión 
vs deformaciones unitarias globales construidas a partir de los resultados de los ensayos realizados a cada 
pila de albañilería. 
 
Por otro lado, en la Figura 3.5.a se muestra los resultados de los ensayos en términos de 
esfuerzos de compresión axial y deformación unitaria local y, asimismo, en la Figura 
3.5.b se presenta la envolvente experimental construida a partir de las curvas anteriores,  
12 12
10 10
8 8
6 6
PL - 1
4 PL - 2 4
PL - 3
2 2
PL - 4 Envolvente
0 0
0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.000 0.001 0.002 0.003 0.004
Deformación axial  ε (mm/mm) Deformación axial  ε (mm/mm)
  
(a) (b) 
Figura 3.5: (a) Gráfica de Esfuerzo axial versus deformación unitaria construida a partir de los resultados 
de los ensayos realizados a cada pila de albañilería y en (b) la envolvente experimental. 
Cabe resaltar que para el análisis de los resultados y, posteriormente, cálculo de los 
parámetros mecánicos de la mampostería en estudio se realiza a parir de la respuesta local, 
44 
 
Esfuerzo de compresión σ (MPa) Fuerza axial (kN)
Esfuerzo de compresión σ (MPa) Esfuerzo de compresión σ (MPa)
 
ya que la respuesta global toma en cuenta las condiciones de borde, como la máquina de 
ensayo, etc. Asimismo, las lecturas del LVDT global permiten generar una idea de cómo 
es el comportamiento mecánico del material en términos de forma de curvatura más no 
en resultados numéricos.  
3.1.5 Cálculo de la resistencia a la compresión  
Para el cálculo de la resistencia a la compresión se procede a dividir la carga máxima 
soportada por la probeta, dato que se obtiene a partir de la lectura global del ensayo, entre 
el área bruta. Debido a que se asume que en el área de la parte media del espécimen se 
uniformiza la distribución de esfuerzos axiales. En la tabla 3.1 se presenta las dimensiones 
de cada probeta ensayada, así como también la esbeltez de cada una. 
Para el cálculo del módulo de elasticidad experimental de la albañilería se seguirá el 
siguiente procedimiento. Primeramente, la historia de carga aplicada será divida entre el 
área bruta de la sección transversal de la pila albañilería, asumiendo que en el área de la 
parte media de la probeta el esfuerzo se distribuye uniformemente, en la Tabla 3.1 se 
muestran las dimensiones de cada probeta ensayada, así como también la esbeltez de cada 
una.  
𝑃 ( 3.1) 
𝜎 =  
𝐴
Donde “P” representa la carga aplicada; “A” representa el área bruta promedio de la 
sección transversal de la albañilería, se obtuvo a partir de un promedio de tres mediciones 
realizadas a las dimensiones de la pila antes del ensayo; y “σ” representa el esfuerzo de 
compresión que actúa sobre la pila. 
Tabla 3.1: Dimensiones registradas para cada probeta y su respectiva esbeltez 
 
Altura Ancho Espesor 
(mm) (mm) (mm) Esbeltez 
Pila 
(Muestra) h L t (h/t) 
PL1 592 235 125 4.74 
PL2 590 234 127 4.65 
PL3 593 235 126 4.71 
PL4 590 236 125 4.72 
 
Con el valor de la carga máxima que generó las grietas en el material y las dimensiones 
de cada pila se procede a calcular el fm para cada pila y, asimismo, se multiplica el factor 
45 
 
 
de corrección por esbeltez propuesto por la Norma E.070. En la tabla 3.2 se presenta el 
valor de área bruta de cada pila, el valor de carga máxima, el factor de esbeltez y. 
finalmente., la resistencia a la compresión total del material en análisis.  
Tabla 3.2: Resultados de la resistencia al a compresión de la albañilería 
Área Carga Factor por Desviación Pila esbeltez 𝐟𝐦 estándar Media 𝐟′𝐦 CV 
(Muestra) Norma 
𝐦𝐦𝟐 𝐤𝐍 E.070 𝐌𝐏𝐚 𝐌𝐏𝐚 𝐌𝐏𝐚 𝐌𝐏𝐚 % 
PL1 29375 318 0.990 10.72 
PL2 29718 292 0.986 9.69 
0.73 10.17 9.44 7.2 
PL3 29610 282 0.988 9.41 
PL4 29500 324 0.989 10.86 
 
El valor de la resistencia a la compresión de la albañilería obtenida experimentalmente es 
de 10.17 MPa con un coeficiente de variabilidad de 7.2 %, lo cual representa un valor de 
variabilidad aceptable. Asimismo, el valor de la resistencia a compresión característico 
es de 9.44 MPa, el cual se calculó mediante la resta de la desviación estándar obtenida al 
valor promedio de este parámetro.  
3.1.6 Cálculo del módulo de elasticidad  
Se procedió a calcular las deformaciones a partir de la historia de desplazamientos 
obtenidos del ensayo. El cálculo se realizó dividiendo el valor del desplazamiento entre 
la longitud inicial de los LVDT’s. 
∆ ( 3.2) 
𝜀 =  
𝑙𝑖
Donde “∆” representa la deformación de la pila; “Li” representa la longitud inicial del 
LVDT; y “𝜀” representa la deformación untaría de la pila.   
 
A partir de los cálculos anteriores, se procedió a construir las curvas de esfuerzo versus 
deformación unitaria, mostradas anteriormente. Para el cálculo del módulo de elasticidad 
se procedió a acotar las gráficas de cada pila y para cada LVDT en el rango de valores 
que contempla desde el 30% hasta el 60% del esfuerzo máximo, como se muestra en la 
figura 4.5. 
46 
 
 
5 5
4 4
3 3
2 2
LVDT1 LVDT1
1 1
LVDT2 LVDT2
0 0
0.0000 0.0002 0.0004 0.0006 0.0008 0.0010 0.0000 0.0002 0.0004 0.0006 0.0008 0.0010
ε Deformación unitaria (mm/mm) ε Deformación unitaria (mm/mm)  
               (a)                                                                           (b) 
6 6
5 5
4 4
3 3
2 2
LVDT2 LVDT1
1 1
LVDT1 LVDT2
0 0
0.0000 0.0002 0.0004 0.0006 0.0008 0.0010 0.0000 0.0002 0.0004 0.0006 0.0008 0.0010
ε Deformación unitaria (mm/mm) ε Deformación unitaria (mm/mm)  
                                       (c)                                                                                 (d) 
Figura 3.6: Se presentan las curvas Esfuerzo-deformación unitaria acotados para el 30% y 60% de la 
carga máxima (a) Pila 1, (b) Pila 2, (c) Pila 3 y (d) Pila 4. 
 
A partir del acotamiento de las curvas en el rango de esfuerzos mencionado se procede a 
aplicar una regresión lineal a cada una de las curvas para obtener una ecuación de lineal 
de tendencia, del cual la pendiente de la curva será el módulo de elasticidad del material.  
 
El método de mínimo cuadrados de los datos de la curva se ajusta a una función lineal a 
cada medición de LVDT para luego obtener un módulo de elasticidad promedio para cada 
pila. En la tabla 3.3 se muestra los resultados de módulo de elasticidad para cada LVDT, 
el módulo promedio de cada pila y el módulo de elasticidad total.  
 
47 
 
σ Esfuerzo de compresión axial (MPa) σ Esfuerzo de compresión axial (MPa)
σ Esfuerzo de compresión axial (MPa) σ Esfuerzo de compresión axial (MPa)
 
Tabla 3.3: Valores de esfuerzo máximo al 30% y 60%; módulo de Elasticidad por cada LVDT, pila, y el 
total; asimismo, se presenta la desviación estándar del módulo para cada pila y del total 
Pila Desviació
(Muestra 𝟎. 𝟑𝐟′𝐦 𝟎. 𝟔𝐟′𝐦 𝐄𝐦 (MPa) CV 
E  n CV 
(MPa) (MPa) LVDT (%) promedio 
𝐄𝐦
) (MPa) (MPa) Estándar 
(%
(MPa) ) 
PL1 2.2 4.4 5448 5246 2.67 5347 
PL2 2.0 4.0 6044 6721 7.50 6383 
6013 6188 583.7 9.4 PL3 2.9 5.7 6638 6.99 6326 
PL4 2.7 5.4 5107 33.58285 6 6696 
 
De la tabla anterior se observa valores de coeficiente de variabilidad aceptables para las 
tres primeras pilas que abarcan un rango desde 2.67% hasta 7 %; sin embargo, para el 
caso de la pila número 4 se obtuvo un coeficiente de variabilidad de 33.6%, lo cual indica 
una elevada variación entre las lecturas de los LVDT’s para el caso de dicha pila. Por 
ello, se opta por realizar el cálculo del módulo de elasticidad total de la albañilería de 
estudio omitiendo el E promedio de la pila cuatro por alta variabilidad. Cabe resaltar que 
obtener el parámetro elástico con tres muestras es aceptable. En la tabla 3.4 se presentan 
los nuevos resultados obtenidos para lo comentado anteriormente.  
Tabla 3.4: Resultados obtenidos considerando solo los resultados de tres pilas y el módulo de elasticidad 
de la albañilería en estudio 
Prisma 0.3fc 0.6fc Em (Mpa) CV E prom. Em Desv. CV E'm (Mpa) (Mpa) LVDT (%) (Mpa) (Mpa) Est. (%) (Mpa) 
PL1 2.2 4.4 5448 5246 2.67 5347 
PL2 2.0 4.0 6044 6721 7.50 6383 6018 582.1 9.7 5436 
PL3 2.9 5.7 6013 6638 6.99 6326 
El módulo de elasticidad experimental de la albañilería de ladrillo de arcilla obtenido es 
de 6018 MPa. A partir de estos resultados se procede a realizar la verificación con los 
requerimientos de la Norma E070, ver Tabla 3.5.  
Tabla 3.5: Verificación del valor de “E” experimental con el teórico de la Norma 
f’m Em Em teórico Δ 
experimental experimental Em/f'm (Em = 500f'm) error 
(MPa) (MPa) (MPa) (%) 
9.44 6018 637.50 4721 21.6 
48 
 
 
Se presenta una diferencia porcentual de 21.6 % (valor aceptable) entre el valor de módulo 
de elasticidad teórico propuesto por la Norma y el experimental, lo cual indica que el 
valor obtenido experimentalmente es aceptable para la albañilería en estudio.  
3.2 Muretes de albañilería  
Se describe a detalle los especímenes de albañilería utilizados y el procedimiento para los 
ensayos de compresión diagonal a muretes en el laboratorio de estructuras de la PUCP. 
3.2.2 Descripción de especímenes  
Para elaboración de los muretes de albañilería se utilizaron ladrillos de arcilla y mortero. 
Las dimensiones nominales de las unidades de ladrillo 23x13x9 cm3 ; asimismo, con 
presencia de 18 huecos. La dosificación del mortero fue realizada con material 
cementante y arena con una relación de 1:4.  
 
El proceso constructivo siguió con las técnicas convencionales; las cuales consisten en 
preparar el mortero, para luego cubrir una cara de la unidad con una capa de mortero y, 
después, apilar la otra unidad de ladrillo sobre la capa de mortero.  
 
El murete de albañilería estuvo conformado por quince unidades de ladrillo, con capas de 
mortero de espesor de 12.5 mm en las juntas verticales y espesor de 12 mm en las juntas 
horizontales y, asimismo, se colocó un capping en dos esquinas opuestas del murete. Para 
los ensayos se construyeron un total de 4 muretes con dimensiones nominales de las pilas 
fueron de 600x600x130 cm3. 
600
600
600
130  
Figura 3.7: En esta figura se presenta el dibujo de un murete de albañilería analizada con sus medidas 
nominales en mm; asimismo, la sección lateral del murete. 
 
49 
 
 
3.2.3 Ensayo de compresión diagonal 
Para el desarrollo de este tipo de ensayos se cuenta con un equipo de carga y un sistema 
de control para registrar los resultados. El equipo de carga consistió en una gata hidráulica 
con capacidad de 200 toneladas y, asimismo, de una bomba hidráulica eléctrica con 
capacidad de 600 BAR, en general el mismo equipo utilizado para el ensayo de las pilas. 
Para los ensayos de los muretes de albañilería se verificó que se encontraran bien 
aplomadas en el equipo de ensayo, ya que si no se cumple con dicho requerimiento se 
pueden presentar desvíos en los dispositivos de lectura y, por ende, obtener resultados 
erróneos.  
 
Los dispositivos de lectura estaban conformados por dos LVDT. De los cuales uno de 
ellos, de 40 mm de longitud, estaba considerado para medir la respuesta local de la 
deformación vertical del murete durante el ensayo; por otro lado, el otro LVDT, de 40 
mm también, estaba implementado para medir la respuesta local de la deformación 
horizontal. Durante los ensayos de los muretes se procedió a realizar el control de la 
aplicación de la carga con una velocidad de 10 kN/min.  
 
Finalmente, los resultados que se obtuvieron del ensayo fueron una gráfica de Fuerza 
aplicada versus desplazamiento horizontal y vertical para cada una de los cuatro muretes 
ensayados.  
  
(a) (b) 
Figura 3.8: Ensayo de compresión: (a) y (b) En la figura se observa el murete colocado en el equipo de 
carga y con sus respectivos dispositivos de lectura implementados (LVDT’s) 
 
50 
 
 
3.2.4 Resultados del ensayo de compresión diagonal 
En la etapa final de los ensayos de compresión en las pilas de albañilería se pudo observar 
una falla instantánea sin formación de grietas. En los muretes la falla fue por tracción 
diagonal, a lo largo de las unidades y el mortero, y no se presentó una falla solamente en 
el mortero. Entonces se pudo apreciar que las unidades y el mortero presentaron adecuada 
adherencia.  
V
600
600
150
90 130   
(a) (b) 
  
(c) (d) 
Figura 3.9: Rotura de los muretes 
Los resultados obtenidos mediante el ensayo de compresión diagonal fueron el registro 
de una data de la historia de carga aplicada y las deformaciones producidas por las cargas 
tanto para el eje horizontal y vertical. Con los datos del ensayo se procedió a construir la 
gráfica de Fuerza versus desplazamiento para cada murete ensayado. En la figura 4.9 las 
curvas de esfuerzo de corte versus deformación unitaria de los muretes obtenidas a partir 
de los ensayos. 
51 
 
 
1.60 1.6
1.40 1.4
1.20 1.2
1.00 1
0.80 0.8
0.60 0.6
Murete 1
0.40 Murete 2 0.4
Murete 3
0.20 Murete 4 0.2 Envolvente
0.00 0
0.0000 0.0004 0.0008 0.0012 0.0016 0.0020 0.0000 0.0004 0.0008 0.0012 0.0016 0.0020
𝛾 Deformación angular (mm/mm) 𝛾 Deformación angular(mm/mm)
  
(a) (b) 
Figura 3.10: (a) Gráfica de Esfuerzo de corte diagonal versus deformación angular   construida a partir de 
los resultados de los ensayos realizados a cada murete de albañilería y (b) y la envolvente experimental.  
Cabe resaltar que para el análisis de los resultados y, posteriormente, cálculo de los 
parámetros mecánicos de la mampostería en estudio se realiza a parir de la respuesta local, 
ya que la respuesta global toma en cuenta las condiciones de borde, como la máquina de 
ensayo, etc. Sin embargo, la lectura del LVDT global permite obtener el valor de la carga 
máxima soportada por la pila. 
3.2.5 Cálculo de la resistencia al corte   
Para el cálculo del módulo de corte, G, experimental de la albañilería se seguirá el 
siguiente procedimiento. Primeramente, la historia de carga aplicada será divida entre el 
área diagonal del murete, el área diagonal se calcula con la multiplicación de la longitud 
diagonal del murete por su espesor.  
P ( 3.3) 
τ =  
A
Donde “P” representa la carga aplicada; “A” representa el área diagonal bruta promedio; 
y “τ” representa el esfuerzo de corte diagonal que actúa sobre el murete. 
Debido a que se asume que en el área de la parte media del espécimen se uniformiza la 
distribución de esfuerzos de corte. En la tabla 4.6 se presenta las dimensiones de cada 
murete ensayado, así como también la esbeltez de cada una. 
 
52 
 
τ Esfuerzo de corte 
τ Esfuerzo de corte 
 
Tabla 3.6: Dimensiones registradas para cada murete y su respectiva longitud diagonal 
ESPECIMEN LARGO Prom. ALTO Prom. ESPESOR Prom. DIAGONA
(mm) Largo (mm) Alto (mm) Espesor L (mm) 
MT1 610 610 610 605 606 606 125 126 126 859 
MT2 606 605 606 602 601 602 127 127 127 853 
MT3 605 603 604 600 602 601 125 126 126 852 
MT4 608 605 607 604 605 605 126 127 127 856 
 
Con el valor de la carga máxima que generó la falla en el material y las dimensiones de 
cada murete se procede a calcular el Vm para cada murete. En la tabla 4.7 se presenta el 
valor de área diagonal bruta de cada murete, el valor de carga máxima, y. finalmente., la 
resistencia al corte total del material en análisis.  
Tabla 3.7: Resultados de la resistencia al corte de la albañilería 
ÁREA Media Desv. 
ESPECIMEN CARGA Vm (kN) DIAGONAL (MPa) Vm Estándar 
Vm V'm CV 
(mm2) (MPa) (MPa) (MPa) (media-s) (%) 
MT1 137.78 107866.5 1.28 
MT2 139.35 108392.3 1.29 
MT3 151.51 106934.3 1.42 1.39 0.14 1.28 1.25 10.2 
MT4 170.94 108322.9 1.58 
 
El valor de la resistencia al corte de la albañilería obtenida experimentalmente es de 1.9 
MPa con un coeficiente de variabilidad de 10.15%, lo cual representa un valor de 
variabilidad aceptable. Asimismo, el valor de la resistencia a compresión característico 
es de 1.25 MPa, el cual se calculó mediante la resta de la desviación estándar obtenida al 
valor promedio de este parámetro. 
3.2.6 Cálculo del módulo de corte   
Se procedió a calcular las deformaciones a partir de la historia de desplazamientos 
obtenidos del ensayo. El cálculo se realizó dividiendo el valor del desplazamiento entre 
la longitud inicial de los LVDT. 
∆vertical ∆horizontal ( 3.4) 
γ = | | + | | 
li li
Donde “∆” representa la deformación del murete; “Li” representa la longitud inicial del 
LVDT; y “ε” representa la deformación untaría.   
 
53 
 
 
A partir de los cálculos anteriores se procedió a construir las curvas de esfuerzo de corte 
versus deformación unitaria. Para el cálculo del módulo de corte se procedió a acotar las 
gráficas de cada pila y para cada LVDT en el rango de valores que contempla desde el 
20% hasta el 50% del esfuerzo máximo, como se muestra en la figura 3.11. 
0.8 0.8
0.7 y = 1961.2x + 0.1149 0.7 y = 1899.3x + 0.1099
0.6 R² = 0.9897 0.6 R² = 0.999
0.5 0.5
0.4 0.4
0.3 0.3
0.2 0.2
0.1 0.1
0 0
0.0000 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0000 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004
𝛾 Deformación unitaria (mm/mm) 𝛾 Deformación unitaria (mm/mm)  
                 (a)                                                                            (b) 
0.8 0.8
0.7 0.7 y = 1946.3x + 0.0582
R² = 0.9983
0.6 y = 2089.3x + 0.101 0.6
R² = 0.9987
0.5 0.5
0.4 0.4
0.3 0.3
0.2 0.2
0.1 0.1
0 0
0.0000 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0000 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004
𝛾 Deformación unitaria (mm/mm) 𝛾 Deformación unitaria (mm/mm)  
              (c)                                                                            (d) 
Figura 3.11: Se presentan las curvas Esfuerzo de corte-Deformación de corte unitario acotados para el 
20% y 50% de la carga máxima (a) Murete 1, (b) Murete 2, (c) Murete 3 y (d) Murete 4. 
A partir del acotamiento de las curvas en el rango de esfuerzos mencionado se procede a 
aplicar una regresión lineal a cada una de las curvas para obtener una ecuación de lineal 
de tendencia, del cual la pendiente de la curva obtenida será el módulo de corte del 
material. El método de mínimo cuadrados de los datos de la curva se ajusta a una función 
lineal para luego obtener un módulo de corte para cada murete. En la tabla 4.3 se muestra 
54 
 
τ Esfuerzo de corte τ Esfuerzo de corte 
τ Esfuerzo de corte τ Esfuerzo de corte 
 
los resultados del parámetro “G” experimental para cada murete y el módulo de corte 
total del material.  
Tabla 3.8: Valores de esfuerzo máximo al 20% y 50%; módulo de corte por cada murete y el total; 
asimismo, se presenta la desviación estándar del módulo de corte 
Nº Murete 0.20Vm 0.50Vm G / murete G Desv. Est. G' (Mpa) (Mpa) (Mpa) (Mpa) (MPa) CV (%) (Mpa) 
MT1 0.26 0.64 1961 
MT2 0.26 0.64 1899 
MT3 0.17 0.57 2089 1974 81 4.1 1906 
MT4 0.21 0.68 1946 
 
El módulo de corte experimental de la albañilería de ladrillo de arcilla obtenido es de 
1974 MPa. A partir de estos resultados se procede a realizar la verificación con los 
requerimientos de la Norma E070, ver Tabla 3.9. 
Tabla 3.9: Valores de esfuerzo máximo al 20% y 50%; módulo de corte por cada murete y el total; 
asimismo, se presenta la desviación estándar del módulo de cort 
V’m Gm Gm teórico Δ 
experimental experimental Gm/Em (G= 0.40E) error 
(MPa) (MPa) (MPa) (%) 
1.28 1974 0.33 2407.2 21.9 
 
Se presenta una diferencia porcentual de 21.9 % (valor aceptable) entre el valor de módulo 
de elasticidad teórico propuesto por la Norma y el experimental, lo cual indica que el 
valor obtenido experimentalmente es aceptable para la albañilería en estudio.  
3.2.7 Cálculo de la resistencia a la tracción 
Para el cálculo de la resistencia a la tracción se procede a dividir la carga máxima 
soportada por el murete entre el área de sección transversal del murete, en donde se 
procede calcular primero el promedio de la altura y ancho del espécimen (ASTM E 519-
02, 2002).  
P ( 3.5) 
ft =  α  An
Se asume un valor de “α” igual a 0.5 en base a la teoría planteada en un capitulo anterior. 
En la tabla 3.10 se muestra el área de sección transversal de la pila y el valor de “ft” 
obtenido a partir de la ecuación planteada. 
 
55 
 
 
Tabla 3.10: Valores de resistencia a la tracción calculados para la albañilería 
An 𝐟𝐭 Media 𝐟𝐭 Desviación 𝐟′𝐭 CV 
(mm2) (MPa) (MPa) Estándar (MPa) (%) 
76272.63 0.90 
76644.50 0.91 
75613.75 1.00 0.98 0.10 0.90 10.15 
76595.75 1.12 
 
La resistencia a la tracción de la albañilería de ladrillo de arcilla obtenido es de 0.98 MPa 
con una desviación estándar de 0.10 MPa y el valor de la resistencia a tracción 
característico es de 0.90 MPa.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
56 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. CAPITULO 4 
MODELACIÓN NÚMERICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
57 
 
 
4.1 Modelación de pilas de albañilería  
4.1.1 Geometría y condiciones de borde 
El modelo numérico realizado presenta una geometría de prisma regular en tres 
dimensiones conformado por elementos cuadriláteros; por ello, el tipo de elemento 
utilizado para sus análisis fue el sólido tipo “brick” CHX60, el cual presenta 20 nodos de 
integración.  
 
Cabe resaltar, que se modelaron los elementos del equipo de aplicación de carga que 
estuvieron en contacto con el prisma durante el ensayo, los cuales estaban compuestos de 
material metálico, que, a pesar de presentar una gran diferencia de rigidez con respecto a 
la albañilería, mayor rigidez, esta consideración permitió realizar la simulación con 
mayor precisión por asemejar las condiciones de borde que se presentaron en la realidad. 
 
Por otra parte, la malla de elementos finitos que presenta el prisma se compone de 2520 
elementos (Figura 4.1, a, b) y también se presenta el estado de esfuerzos con respecto a 
las direcciones del eje de coordenadas de la plataforma de trabajo. Entonces, de acuerdo 
con esa configuración SZZ ( 𝜎𝑧𝑧) sería el esfuerzo vertical en el eje Z producto de la carga 
vertical aplicada y los esfuerzos SXX ( 𝜎𝑥𝑥)  y SYY ( 𝜎𝑦𝑦)  son producto del efecto de 
Poisson. Asimismo, como en este estado no se presentan los esfuerzos principales para 
los ejes XYZ se puede definir los esfuerzos de corte para el equilibrio del elemento finito, 
SXZ, SYX y SZY.  
 
Por otro lado, el “aspect ratio”, el cual verifica la calidad del mallado, esta mostrado en 
la Figura 4.1.d. Se observa que dicha relación presenta un valor cercano a uno. 
 
Las condiciones de borde definidas para el modelo comprenden restricción de todos los 
nodos en la base de la placa de metal inferior en la dirección vertical; por otro lado, se 
consideraron restricciones para las direcciones laterales para los nodos del borde de la 
cara superior de la placa de metal superior; asimismo, se consideró restricción para en las 
dos direcciones laterales para los nodos del borde de la cara inferior como se muestra en 
58 
 
 
la Figura 4.1c. En esta parte se define dichas condiciones en base a lo que se observa 
físicamente en los elementos de ensayos.  
  
(a)  (b) 
  
(c) (d) 
Figura 4.1: (a) Modelo de elementos finitos con sólidos de la pila de albañilería. (b) Vista frontal, 
(igualmente para la vista superior) del modelo numérico y las respectivas restricciones en los nodos. (c) 
Modelo de pila (FEM) con las condiciones de borde y el estado de esfuerzo con respecto al eje de 
coordenadas del software. (d) Verificación de la calidad de la malla mediante el Aspect ratio igual a 0.93. 
4.1.2 Modelos constitutivos y propiedades iniciales mecánicas iniciales 
Para el desarrollo del modelo numérico que representará el comportamiento mecánico de 
las pilas de albañilería, se consideró a este material como homogéneo. Por otro lado, para 
la representación del agrietamiento, el modelo se realizó bajo el criterio denominado 
“Smeared Crack”; asimismo, el planteamiento considerado, a partir del criterio anterior, 
fue el “Total Strain Crack Model”, el cual es típico para la caracterización numérica del 
concreto y la albañilería. Como modelo de agrietamiento se empleó el “Coaxial rotating 
crack model” y el “fixed ortogonal crack model. Cabe resaltar que el modelo numérico 
59 
 
 
fue realizado en el software DIANA (Displacement Analyser) que presenta todos los 
enfoques anteriormente mencionados para el respectivo análisis no-lineal.  
 
Para la representación del comportamiento mecánico en compresión de la pila en la etapa 
de parte inelástica, en el modelo se considera una tendencia parabólica, Figura 4.2.a, y 
para el caso del comportamiento para la tracción se establece en base un decaimiento 
exponencial como muestra la Figura 4.2.b.  
 
Por lo tanto, se requirieron de parámetros inelásticos como la energía de fractura en 
compresión y la energía de fractura en tracción, lo cuales se tomaron como valores bases 
los presentados en la literatura. Asimismo, los valores de la densidad del material en 
análisis y módulo de Poisson que se emplearon fueron extraídos de la literatura, como se 
observa en la Tabla 5.1.  
   
(a) (b) (c) 
Figura 4.2: Modelos de comportamiento mecánico empleados en la modelación numérica: (a) Relación de 
esfuerzo de compresión y la deformación unitaria, (b) relación de esfuerzo de tracción y la deformación 
unitaria y (c) modelo constitutivo de corte empleado bajo el enfoque TSCM-fixed (DIANA, 2015). 
Para el caso de aplicación de la carga, esta fue representada mediante pasos de 0.1 mm, 
aplicados en los nodos de la cara superior de la pila. En total se aplicaron 30 pasos, lo 
cual conlleva a un desplazamiento vertical total de 3 mm, en el sentido de la gravedad.  
 
Por otra parte, la solución se realizó aplicando el método de “Newton Raphson 
modificado” con la técnica “line – search”, para ello el número de iteraciones tomadas en 
consideración fueron de 50. Asimismo, los criterios de convergencia establecidos fueron 
de desplazamiento y energía con un error máximo de 0.01 y 0.001, respectivamente.  
 
60 
 
 
Para la calibración del modelo se partió de una energía de fractura para compresión con 
un valor base igual a 16.27 N/mm, obtenido a partir de una ductilidad referencia para 
mampostería igual a 1.6mm, y la energía de fractura a tracción de 0.028 N/mm, que es 
obtenida de la relación propuesta entre la energía de fractura y la resistencia a tracción 
igual a 0.029, Tabla 4.1.  
 
Luego, se realizó un análisis paramétrico para establecer los valores de energías de 
fractura que representaran con mayor similitud el comportamiento mecánico de las pilas 
ensayadas. Por ello, se realizaron simulaciones variando los valores de energías de 
fractura en el modelo realizado.  
Tabla 4.1: Parámetros elásticos e inelásticos iniciales para los modelos 
Propiedades elásticas 
Módulo de elasticidad “E” (MPa) 6018 
Módulo de poisson  0.2 
Densidad (kg/𝐦𝟑) 1800 
Propiedades inelásticas 
Resistencia a la compresión (Mpa) 10.17 
Energía de fractura a la compresión 16.27 
(N/mm) 
Resistencia a la tracción (Mpa) 0.98 
Energía de fractura a la tracción (N/mm) 0.028 
 
4.1.3 Desarrollo del modelo numérico  
4.1.3.1 Análisis lineal  
La verificación del modelo para diferentes condiciones de comportamiento predecibles 
realizó mediante un análisis lineal. En la Figura 4.3 se puede observar la simulación del 
modelo con parámetros mecánicos iniciales anteriormente presentados. Por ejemplo, la 
Figura 4.3.a se puede apreciar el comportamiento mecánico del modelo inicial tanto en 
su parte lineal y no lineal y en la Figura 4.3.b la parte solo lineal, se observa que el valor 
inicial de E genera que la curva numérica se encuentra en el límite inferior de la 
envolvente experimental, lo cual se interpreta que para encontrarse en un valor promedio 
de la envolvente se requiere de un valor más elevado de este parámetro.  
61 
 
 
  
(a) (b) 
Figura 4.3: (a) Gráficas de esfuerzo versus deformación unitaria inicial tanto experimentales como 
numérica; asimismo, se muestra el valor mínimo y máximo de la resistencia a la compresión obtenidas 
experimentalmente como rectas horizontales; es decir, valores constantes para todas las deformaciones. (b) 
Curva lineal experimental y numérica.  
Por ello, para encontrar comportamiento más adecuado que se presente dentro de la 
envolvente se planteó comprar el módulo de elasticidad experimental y numérico de cada 
pila en las curvas que se muestran en la Figura 4.4, de esta manera se inició la calibración 
del módulo de elasticidad. 
  
(a) (b) 
62 
 
 
  
(c) (d) 
Figura 4.4: Gráfica de Esfuerzo axial versus deformación unitaria construida a partir del modelo numérico 
para un comportamiento “lineal” del material: (a) Comparación del modelo numérico lineal y la curva 
experimental para prisma #1, (b) prisma #2, (c) #prisma #3 y (d) prisma #4. 
A partir de los resultados del análisis lineal del modelo numérico, este presenta un valor 
de módulo de elasticidad igual a 5663 MPa, lo que conlleva a un error 6% con respecto 
al valor promedio experimental.  
 
Por ello, se plantea cambiar el módulo de elasticidad promedio para realizar la calibración 
del modelo numérico. El nuevo módulo de elasticidad se obtiene a partir del valor 
promedio entre los módulos de los prismas de albañilería número 3 y 4, el cual presenta 
un valor igual a 6700 MPa, aproximadamente. 
 
Por otro lado, a partir del análisis lineal para cada pila, representada en la Figura 4.4, se 
verifica que los valores de módulos de elasticidad experimentales y numéricos de las pilas 
1 y 3 presentan un error de 6% ambas.  
Tabla 4.2: Parámetros elásticos e obtenidos con el modelo 
 PL1 PL2 PL3 PL4 
E exp (MPa) 5347 6383 6326 6696 
E numérico (MPa) 5032 6190 5939 6605 
Error % 6 3 6 1 
 
63 
 
 
4.1.3.2 Análisis no lineal con comportamiento ideal elasto-plástico 
El modelo realizado presentó un comportamiento lineal par un desplazamiento de 0.24 
mm, asimismo se obtienen los módulos de elasticidad que presenta el modelo y se 
comparan más adelante con el valor experimental promedio. Por otro lado, el análisis con 
un comportamiento ideal presenta una parte lineal para un cierto desplazamiento y, luego, 
se presenta una meseta de fluencia, de esa manera se verifica que el modelo presenta una 
respuesta adecuada para diferentes casos de comportamiento, Figura 4.5. 
  
(a) (b) 
  
(c) (d) 
Figura 4.5: Gráfica de Esfuerzo axial versus deformación unitaria construida a partir del modelo ideal 
(elastoplástico) para un comportamiento “ideal” del material para cada prisma: (a) Nro. 1, (b) Nro. 2, (c) 
Nro. 3 y (d) Nro. 4.  
Mediante este modelo constitutivo del material se puede visualizar de manera clara la 
capacidad de este para reproducir el límite elástico de los prismas, el cual coincide con la 
64 
 
 
resistencia máxima a la compresión obtenida. Por ello, se puede verificar que el modelo 
3D cumple con las leyes constitutivas del material para este análisis. Además, este análisis 
nos muestra de manera clara la influencia del valor del módulo de elasticidad para obtener 
un valor adecuado del modelo dentro de la envolvente, comprobando así que el valor 
nuevo de E para emplear funciona. 
 
4.1.3.3 Variación de los parámetros del material  
Para esta ocasión se realiza variaciones de energía de fractura tanto de compresión como 
de tracción partiendo del valor teórico máximo. Dichos resultados de variación se 
presentan en la Figura 4.6.a, cabe resaltar que el análisis paramétrico para el valor de Gf se 
realizó con la respuesta más estable de Gc y se observa en la Figura 4.6.b. 
Cabe resaltar que estos modelos se realizaron bajo el enfoque TSCM-rotating. 
  
(a)  (b)  
Figura 4.6: Gráfica de esfuerzo axial versus deformación unitaria construida a partir de diferentes valores 
de energía de fractura de (a) compresión y (b) tracción. 
Las curvas del comportamiento mecánico de la pila modelada para diferentes valores de 
energía de fractura a la compresión presentan diferencias considerables con los que 
respecta a los valores de esfuerzo luego del punto pico. Asimismo, se observa que 
mientras mayor sea el valor de energía de fractura de compresión la curva de esfuerzo vs 
deformación presenta una tendencia de esfuerzo constante luego de llegar al valor de fm 
como el modelo constitutivo Ideal para compresión.  
 
65 
 
 
Por otra parte, de acuerdo con la Figura 4.6.b el comportamiento mecánico no se inmuta 
a pesar de variar dicho parámetro radicalmente. Por ello, las curvas de variación de 
energía de fractura a tracción son similares; sin embargo, para un menor valor de este 
parámetro el modelo presenta problemas de convergencia y, asimismo, las grietas se 
forman con mayor anticipación con respecto a magnitudes mayores de energía.  
 
Con la respuesta de los análisis paramétricos presentados se considera un valor de energía 
de fractura a compresión igual a 1.02 N/mm y para la tracción de 0.028 N/mm, porque 
esta magnitud genera la aparición de grietas en el modelo como se presentaron en las pilas 
durante los ensayos; asimismo, sea semeja cualitativamente al comportamiento de la 
mampostería con referencia a la curva global, como se observa en la Figura 4.4.b.  
 
Cabe resaltar que el valor de Gt se puede aumentar de magnitud y no se presentaran 
problemas de convergencia y agrietamiento porque de acuerdo con la configuración de 
carga y condiciones de borde del modelo no se genera alguna variación radical en la 
respuesta final.  
 
4.1.3.4 Comparación de diferentes métodos de solución numérica  
A partir del modelo con un enfoque TSCM-rotating se cambia el método de solución para 
verificar la diferencia entre las respuestas. Los métodos de solución empleados para este 
análisis son Constant stiffness, Linear stiffness, Newton-Raphson regular y Secant (Quasi 
Newton), todos disponibles en el programa DIANA, resultados mostrados en la Figura 
4.7. 
66 
 
 
  
(a) (b) 
Figura 4.7: (a) Gráfica de esfuerzo axial versus deformación unitaria construida a partir de diferentes 
métodos de solución tales como el de rigidez constante, rigidez de variación lineal y Quasi Newton (b) Se 
muestra la comparación entre los dos enfoques del Newton Raphson, los cuales son el regular y el 
modificado.  
A partir de los gráficos de la Figura 4.7 se puede observar que la curva con el método 
“Linear Stiffness” presenta un ablandamiento más pronunciado, etapa post-pico, con 
respecto a los otros, debido a que este es el único que emplea una rigidez lineal.  
 
4.1.3.4 Curvas de comparación entre TSCM-fixed y TSCM-rotating 
El modelo numérico también fue simulado para un enfoque TSCM-fixed, para verificar 
su respuesta respecto al TSCM-rotating. Cabe resaltar que el valor referencia inicial fue 
un valor de “β” igual a 0.005. En las siguientes gráficas se puede observar el 
comportamiento del modelo para diferentes valores de factor “β”; asimismo, se presentan 
comparaciones entre el enfoque TSCM-fixed y rotating. 
67 
 
 
  
(a) (b) 
  
(c) (d) 
Figura 4.8: Gráfica de esfuerzo axial versus deformación unitaria. (a) Calibración del factor de retención 
de corte (con valor de Gc igual a 1.5 N/mm), (b) Comparación entre el TSCM-fixed y rotating, asimismo, 
se muestra la ubicación de los elementos utilizados para muestrear los resultados finales; (c) TSCM-
rotating, (d) TSCM-fixed. 
A partir de los resultados presentados la Figura 4.8.a se observa que un valor de “β” no 
presenta influencia relevante para los resultados, cabe resaltar que este análisis se realizó 
para un valor de Gc igual a 1.5 N/mm, porque este permitiría presentar de mejor manera 
la influencia del parámetro β. Por ello, se utiliza el valor de 0.01 propuesto para la 
albañilería que permite obtener una respuesta más precisa de ablandamiento del material 
en la zona inelástica con respecto al modelo obtenido en base a TSCM-rotating. En la 
Tabla 4.3 se presentan los valores de los parámetros tanto elásticos e inelásticos luego de 
la calibración y ser validados.  
68 
 
 
Tabla 4.3: Parámetros elásticos e inelásticos implementados en los modelos numéricos 
Propiedades elásticas 
 PL1 PL2 PL3 PL4 
Módulo de elasticidad E (MPa) 6600 
Relación de Poisson     𝛎  (-) 0.18 
Propiedades inelásticas 
Resistencia a la compresión (Mpa) 10.17 
Energía de fractura a la compresión (N/mm) 1.02 
Resistencia a la tracción(Mpa) 0.98 
Energía de fractura a la tracción (N/mm) 0.028 
El comportamiento que se mostró para el prisma numérico se proyectó dentro del rango 
y dominio de los resultados experimentales; sin embargo, al no conocer una respuesta 
post-pico experimental este se tuvo que calibrar mediante dos líneas referenciales que 
simbolizan el valor mínimo y máximo de la resistencia a la compresión y la parte de 
ablandamiento se verificó cualitativamente con la curva esfuerzo vs deformación global 
del ensayo.  
 
En la Figura 4.9 se muestran los resultados finales obtenidos mediante la simulación de 
los ensayos de compresión en las pilas bajo el enfoque TSCM-rotating y para tres estados 
de carga, los cuales son valores de compresión uniaxial, SZZ. El primer valor igual a 3.3 
MPa indica la parte final de la etapa elástica del modelo, luego el valor de 10 MPa 
representa el estado para cuando se alcanza el esfuerzo máximo, el pico y, finalmente, el 
valor de 8 MPa es el esfuerzo residual, el cual muestra el estado final de la simulación.  
   
𝜎 = 3.3 MPa 𝜎 = 10.0 MPa 𝜎 =  8.0 MPa 
(a)  
69 
 
 
   
𝜎 = 3.3 MPa 𝜎 = 10.0 MPa 𝜎 =  8.0 MPa 
(b)  
   
𝜎 = 3.3 MPa 𝜎 = 10.0 MPa 𝜎 =  8.0 MPa 
(c)  
   
𝜎 = 3.3 MPa 𝜎 = 10.0 MPa 𝜎 =  8.0 MPa 
(d)  
Figura 4.9: Resultados obtenidos a partir de la simulación de los ensayos de pilas bajo el enfoque TSCM 
rotating para tres estados con valor de esfuerzo axial SZZ igual a 3.3 MPa, 10 MPa y 8 MPa. (a) Distribución 
70 
 
 
del desplazamiento vertical, (b) de esfuerzos verticales SZZ, (c) de las deformaciones unitarias principales, 
y (d) de los esfuerzos principales.  
Por otra parte, el modelo numérico presentó como resultados en términos de falla la 
formación de grietas a partir de la concentración de esfuerzos en los elementos de las 
esquinas y, por ende, aparición de grietas iniciales por deformaciones de tracción en las 
equinas como se muestra en la Figura 4.10.a para el esfuerzo de compresión pico.  
 
Asimismo, para el estado final del ensayo con el esfuerzo residual de los resultados 
numéricos con la Figura 4.10.b se observaron fallas en zona inferior y superior del 
modelo, los cuales son similares a los patrones de falla experimental, ya que la mayoría 
de casos de las pilas reales presentaron rotura en las esquinas.  
  
Ancho de fisura Estado de agrietamiento 
(a)  
   
Ancho de fisura Estado de agrietamiento Patrón de falla experimental 
(b)  
71 
 
 
Figura 4.10: (a) Valores obtenidos mediante la simulación de anchos de grietas y estado de agrietamiento 
en el punto pico de la curva Esfuerzo – deformación y (b) para el estado final de la simulación, considerando 
el enfoque TSCM-rotating. 
La Figura 4.11 representa lo mismo que se describió anteriormente para la Figura 4.9 pero 
esta vez se muestran los resultados bajo el enfoque TSCM-fixed. En el cual se compone 
por la Figura 4.11.a con as distribución de desplazamientos verticales para los tres estados 
de cargas referenciales tomados en cuenta como relevantes. Asimismo, se muestra los 
valores de esfuerzo de compresión uni-axial par todos los elementos y de deformaciones 
principales en la Figura 4.11.b, c, respectivamente.  
 
   
𝜎 = 3.3 MPa 𝜎 = 10.0 MPa 𝜎 =  8.0 MPa 
(a)  
   
𝜎 = 3.3 MPa 𝜎 = 10.0 MPa 𝜎 =  8.0 MPa 
(b)  
72 
 
 
   
𝜎 = 3.3 MPa 𝜎 = 10.0 MPa 𝜎 =  8.0 MPa 
(c)  
   
𝜎 = 3.3 MPa 𝜎 = 10.0 MPa 𝜎 =  8.0 MPa 
(d)  
Figura 4.11: Resultados obtenidos a partir de la simulación de los ensayos de pilas bajo el enfoque TSCM 
fixed para tres estados con valor de esfuerzo axial SZZ igual a 3.3 MPa, 10 MPa y 8 MPa. (a) Distribución 
del desplazamiento vertical, (b) de esfuerzos verticales SZZ, (c) de las deformaciones unitarias principales 
y (d) los esfuerzos principales. 
  
Ancho de fisura Estado de agrietamiento 
(a)  
 
73 
 
 
   
Ancho de fisura Estado de agrietamiento Patrón de falla experimental 
(b)  
Figura 4.12: (a) Valores obtenidos mediante la simulación de anchos de grietas y estado de agrietamiento 
en el punto pico de la curva Esfuerzo – deformación y (b) para el estado final de la simulación, considerando 
el enfoque TSCM-fixed 
Finalmente, para confirmar la validez del modelo elaborado se comparan la concentración 
de esfuerzos en las zonas agrietada de las pilas en las Figuras 4.10.b y 4.12.b, y los valores 
de los parámetros experimentales con los obtenidos en la curva de simulación del ensayo. 
El resumen del os resultados más relevantes se presentan en la Tabla 4.4. 
Tabla 4.4: Valores numéricos obtenidos y comparación con los experimentales 
Espécimen σ (Mpa) E (Mpa) 
PL1 10.72 5353 
PL2 9.69 6390 
PL3 9.41 6333 
PL4 10.86 6703 
Valor numérico 10.17 6600 
Promedio experimental 10.17 6018 
CV (%) 7.00 9.00 
Valor Experimental/numérico 1.00 0.91 
 
En términos generales, lo resultados presentan valores similares con respecto a los 
experimentales.  
4.1.4 Análisis y discusión de resultados  
Realizar un análisis paramétrico para los valores de energía de fractura para compresión 
y tracción permite obtener los valores adecuados para representar el comportamiento 
mecánico y la formación de grietas en la parte plástica del modelo. Asimismo, es un paso 
muy importante para conocer la tendencia del comportamiento del material y calibrar de 
manera más adecuada. Porque, de esa manera se observó que valores altos de energía de 
74 
 
 
fractura incluso que sean planteados en base a las teorías no muestra la etapa 
ablandamiento del material.  
 
El modelo numérico presenta una formación de grietas al inicio en las esquinas tal como 
lo presentaron las pilas durante el ensayo de compresión, rotura en la parte de la esquina 
donde se encontraba apoyada la placa de metal.  
Durante los ensayos experimentales no se obtuvieron los valores de deformación unitaria 
del esfuerzo máximo aplicado; sin embargo, el modelo desarrollado se pudo obtener los 
valores de dichas deformaciones. 
 
EL valor experimental con el valor numérico de módulo de elasticidad presenta un error 
igual a 6.5%, valor aceptable. Asimismo, el modelo de pila presenta un valor de 
resistencia máxima a la compresión dentro del rango de valores obtenidos 
experimentalmente; el error para este resultado numérico con respecto al valor promedio 
es de 1.7%, el cual es bastante aceptable. 
 
Cabe resaltar que el modelo realiza una predicción del comportamiento mecánico de las 
pilas adecuado de la etapa de ablandamiento, a pesar de que los resultados experimentales, 
con respecto a la curva de esfuerzo – deformación, presentan solo la parte elástica y una 
parte del endurecimiento del material. Asimismo, la parte de ablandamiento fue calibrada 
cualitativamente mediante a la forma de concavidad que presentaron las curvas de 
esfuerzo – deformaciones globales. 
 
Con respecto a las curvas constitutivas para compresión del modelo numérico se observa 
que se requiere de un valor alto de módulo de elasticidad, ya que este presenta gran 
influencia en la respuesta post-pico; asimismo, debido a las ecuaciones del modelo 
constitutivo parabólico se presenta un decaimiento de la rigidez a partir de un esfuerzo 
igual al 30% de la resistencia a la compresión, lo cual no necesariamente se observó en 
la curvas experimentales, ya que estas presentan una degradación de la rigidez más lenta 
aparentando un comportamiento casi lineal. Por ello, un valor de modulo elasticidad 
mayor al promedio calibra la respuesta del modelo para semejarse a lo experimental.  
75 
 
 
Por otro lado, en la Figura 5.8.b y c se presentan leyes constitutivas numéricas bajo el 
enfoque TSCM-rotating y TSCM-fixed, respectivamente. A partir de estas respuestas se 
observa un comportamiento igual para la etapa elástica, endurecimiento del material y 
hasta una parte del ablandamiento. Para el caso del enfoque fixed se obtiene una respuesta 
más completa y esto se debe a la influencia de factor de retención de corte “β”. Sin 
embargo, en términos de agrietamiento los resultados de ambos enfoques son muy 
similares.  
 
Finalmente, de acuerdo con los resultados e ancho de grietas y estado de agrietamiento se 
observa aberturas y concentración de esfuerzos en las zonas tanto superior como inferior, 
por simetría, del modelo. Este patrón de agrietamiento se observó en el estado final de las 
pilas reales, fallas en las esquinas generando roturan en esa zona, asimismo grietas en las 
áreas de contacto con las placas de ensayo. Sin embargo, luego del ensayo también se 
observaron grietas verticales en la parte central de los especímenes, los cuales no se 
presentaron en los resultados del modelo numérico.  
 
Por otro lado, este tipo de falla de rotura en las esquinas y gritas en las zonas mencionadas 
refleja que durante el ensayo las pilas experimentaron condiciones de confinamiento 
provocando concentración de esfuerzos y al modelar las pilas con esas condiciones 
también en los resultados numéricos se observa dicho confinamiento.  
 
4.2 Modelación de muretes de albañilería  
4.2.1 Geometría y condiciones de borde  
El modelo presenta una geometría de prisma regular en tres dimensiones conformado por 
elementos cuadriláteros; por ello, el elemento utilizado para sus análisis fue el sólido tipo 
“brick” CHX60, el cual presenta 20 nodos de integración.  
 
Cabe resaltar, que en este se modeló, también, los elementos del equipo de aplicación de 
carga que estuvieron en contacto con el murete durante el ensayo, debido a que para 
representar las condiciones de borde del ensayo se presentó mayor complejidad y, por 
ello, fue necesario incluir los elementos de ensayo.  
76 
 
 
Cabe resaltar que como malla preliminar de elementos finitos se empleó una compuesta 
por 6300 elementos. Sin embargo, dicha malla presentó alta carga computacional y, 
además, no generaba resultados estables incluso quedándose en la parte lineal. Por ello, 
como malla final para el modelo se propone una compuesta por 1600 elementos como se 
ven en la Figura 4.13a y b; asimismo, el “aspect ratio” de la malla se encuentra en un 
valor cercano a uno, Figura 4.13d. 
 
Las condiciones de borde definidas para el modelo comprenden restricción de todos los 
nodos de la base del instrumento de ensayo en la dirección vertical y restricción horizontal 
para ambas direcciones en el instrumento de ensayo de la parte superior e inferior como 
se observa en la figura 4.13c.  
 
  
(a)  (b)  
 
 
(c) (d) 
Figura 4.13: (a) Modelo de elementos finitos con sólidos del murete de albañilería vista frontal. (b) Modelo 
de murete vista isométrica. (c) Vista superior de las condiciones de frontera considerados para el murete, 
las cuales con iguales para la parte inferior. (d) Se presenta la calidad de la malla mediante el Aspect ratio, 
el cual igual a 0.93. 
 
77 
 
 
Para el caso de aplicación de la carga, esta fue representada mediante pasos de 0.025 mm, 
aplicados en los nodos de la cara superior de la pila. En total se aplicaron 50 pasos 0.025 
mm”. Por otra parte, la solución se realizó aplicando el método de Newton-Raphson 
modificado, ya que fue la que presentó mejores respuestas y velocidad de iteración en las 
pilas, anteriormente, calibradas y el número de iteraciones tomadas en consideración 
propuestas fueron de 50. Asimismo, los criterios de convergencia establecidos fueron de 
desplazamiento y energía con un error máximo de 0.01 y 0.001, respectivamente.  
4.2.2 Modelos constitutivos  
Para el desarrollo del modelo numérico simulará el ensayo de compresión diagonal de 
albañilería, también, se consideró como material como homogéneo. Por otro lado, para la 
representación del agrietamiento, el modelo se realizó bajo el criterio denominado 
“Smeared Crack”; asimismo, el planteamiento considerado, a partir del criterio anterior, 
fue el “Total Strain Crack Model”, el cual es típico para la caracterización numérica del 
concreto y la albañilería. Como modelo de agrietamiento se empleó el “Coaxial rotating 
crack model”, inicialmente.  
 
Para la representación del comportamiento mecánico en compresión del murete, en el 
modelo se considera una tendencia parabólica, Figura 4.14.a, y para el caso del 
comportamiento para la tracción se establece en base un decaimiento exponencial, Figura 
4.14b.  
 
Por lo tanto, se requirieron de parámetros inelásticos como la energía de fractura en 
compresión y la energía de fractura en tracción, lo cuales se tomaron como valores bases 
los presentados en la literatura y también los obtenidos en el modelo de la pila 
desarrollada, anteriormente. Asimismo, el módulo de Poisson se obtuvo en base al 
módulo de elasticidad medio del material y el valor de módulo de corte obtenido de este 
ensayo. 
 
78 
 
 
   
(a) (b) (c) 
Figura 4.14: Modelos de comportamiento mecánico empleados en la modelación numérica: (a) Relación de 
esfuerzo de compresión y la deformación unitaria, (b) relación de esfuerzo de tracción y la deformación 
unitaria y (c) modelo constitutivo de corte empleado bajo el enfoque TSCM-fixed (DIANA, 2015). 
Tabla 4.5: Parámetros mecánicos iniciales para el modelo de murete. 
Propiedades elásticas 
Módulo de elasticidad E (MPa) 6700 
Relación de Poisson     𝛎  (-) 0.18 
Propiedades inelásticas 
Resistencia a la compresión (Mpa) 10.17 
Energía de fractura a la compresión (N/mm) 1.02 
Resistencia a la tracción(Mpa) 0.98 
Energía de fractura a la tracción (N/mm) 0.028 
 
En la tabla 4.5 se presentan los parámetros tanto elásticos como inelásticos calibrados con 
la simulación de pilas bajo compresión uni-axial que se implementaron para la calibración 
en el modelo de muretes. Estos valores pasaron por modificaciones para establecer 
respuestas coherentes con los muretes; sin embargo, las cuales fueron mínimas y que no 
presentaron alguna diferencia notable en la respuesta del modelo de pila tanto en términos 
de comportamiento mecánico y agrietamiento.  
4.2.3 Desarrollo del modelo numérico 
4.2.3.1 Análisis lineal  
La verificación del modelo para diferentes condiciones de comportamiento predecibles 
realizó mediante un análisis lineal. En las siguientes gráficas se puede observar la 
simulación del modelo con parámetros mecánicos iniciales anteriormente presentados. 
A partir de los resultados del análisis lineal del modelo numérico prismas, se plantea 
probar un valor inicial de 6355 MPa para evaluar la influencia de este parámetro para este 
tipo de simulación.  
79 
 
 
Sin embargo, en la Figura 4.15.a, se observa que la respuesta del modelo no aparece 
dentro de la envolvente de la gráfica experimental, lo cual conlleva a la calibración de 
este parámetro elástico. Finalmente, en la segunda gráfica se planteó un valor de módulo 
de elasticidad igual a 6700 MPa, el mismo que con el que se calibraron el modelo de los 
prismas.  
 
Por ello, en la Figura 4.15.b, utilizando el último valor, se presentan resultados 
satisfactorios en la parte elástica, entonces el valor de E calibrado anteriormente es 
adecuado para poder calibrar el modelo de muretes y eficiente, ya que al ser del mismo 
material la diferencia de valores en las propiedades debe ser similares por los modelos 
constitutivos que se emplean que al final vienen a ser los mismos para ambas 
simulaciones y por ser una macro-modelación.  
  
(a) (b) 
Figura 4.15: Gráfica de Esfuerzo axial versus deformación unitaria construida a partir del modelo de una 
variación de módulo de elasticidad (a) un valor de E igual a 6355 MPa y (b) con un valor de E igual a 6700 
MPa. 
4.2.3.2 Calibración   
En esta parte del desarrollo del trabajo se planteó partir de los resultados de los parámetros 
elásticos e inelásticos obtenidos en modelo numérico de las pilas de albañilería, lo cuales 
fueron presentados anteriormente, a excepción del módulo de elasticidad que fue obtenido 
mediante la calibración de dicha parte. 
 
80 
 
 
Las curvas del comportamiento mecánico de la pila modelada para diferentes valores de 
energía de fractura a la compresión presentan una pequeña diferencia con los que respecta 
a los valores de esfuerzo luego del punto pico. Sin embargo, durante el desarrollo del 
modelo numérico se presentaron problemas de convergencia, debido a la resistencia a la 
compresión; por ello, se optó calibrar dicho parámetro con valores menores a los 
obtenidos en los ensayos de pilas; asimismo se probaron los siguientes modelos. En la 
Tabla 4.6 se presenta los modelos que se probaron para poder encontrar la respuesta más 
estable y con puntos de convergencia que describieran mejor el ensayo numéricamente.  
Tabla 4.6: Parámetros inelásticos implementados en el modelo par la calibración 
Modelo 𝐆𝐜 𝐆𝐭 (N/mm) (N/mm) 
P1 1.02 0.028 
P2 1.00 0.056 
P3 1.00 0.065 
 
Finalmente, se obtuvieron valores de 1.00 MPa y 0.065 N/mm para la resistencia a la 
compresión y la energía de fractura a tracción, respectivamente. Dichos valores 
presentaron una muy buena aproximación con las curvas experimentales obtenida en los 
ensayos de compresión diagonal. Además, el método de solución que se planteó, 
finalmente, fue el “Newton Raphson modified”, ya que fue el que presento mayor 
convergencia con respecto a los otros métodos de solución disponibles en el programa. 
 
4.2.3.3 Curvas de comparación entre TSCM-fixed y TSCM-rotating 
Para esta ocasión, también, el modelo numérico fue simulado para un enfoque TSCM-
fixed, para verificar su respuesta y la comparación respectiva respecto al TSCM-rotating. 
Cabe resaltar que el valor referencia inicial fue un valor de “β” igual a 0.003, ya que 
presentó buenos resultados para las simulaciones de los ensayos de pilas. Por ello, “β” 
igual a 0.01 permite obtener una respuesta más precisa de ablandamiento del material en 
la zona inelástica con respecto al modelo obtenido en base a TSCM-rotating.  
 
Asimismo, se realiza una comparación del estado de deformaciones principales para el 
modelo con TSCM-rotating y fixed. Finalmente, se presentaron los resultados de los 
parámetros del modelo calibrado, en la siguiente Tabla 4.7. 
81 
 
 
Tabla 4.7: Parámetros elásticos e inelásticos implementados en el modelo numérico de murete. 
Propiedades elásticas 
  MT1 MT2 MT3 MT4 
Módulo de elasticidad E (MPa) 6700 
Relación de Poisson     𝛎  (-) 0.18 
Propiedades inelásticas 
Resistencia a la compresión (Mpa) 10.00 
Energía de fractura a la compresión (N/mm) 1.00 
Resistencia a la tracción(Mpa) 1.05 
Energía de fractura a la tracción (N/mm) 0.065 
 
La tabla 4.7 presenta los resultados finales de los parámetros elásticos e inelásticos de la 
mampostería de arcilla que son iguales tanto para los modelos de pilas y muretes.  
 
Las respuestas mecánicas bajo carga diagonal de compresión del modelo numérico de 
murete bajo los enfoques TSCM-rotating y fixed, ambos en la Figura 4.17, y una 
comparación de ambos a escala se presentan en la Figura 4.16. 
  
(a)  (b)  
Figura 4.16: (a) Graficas de esfuerzo de corte diagonal aplicada versus la deformación angular para los 
enfoques TSCM-rotating y fixed y una representación del a envolvente de las curvas experimentales. (b) 
Imagen de la ubicación de los elementos que fueron utilizados para muestrear los resultados. 
82 
 
 
  
(a) (b) 
Figura 4.17: Curva de esfuerzo de corte versus deformación angular superpuesto sobre la envolvente 
experimental, resultados finales: (a) TSCM-rotating y (b) TSCM-fixed.  
El comportamiento que mostró el murete durante la simulación del ensayo de compresión 
diagonal permitió obtener valores que no se pudieron medir en laboratorio; por ejemplo, 
la carga máxima de manera gráfica y el desplazamiento máximo. 
 
Por otra parte, el modelo numérico permitió predecir la formación de grietas a partir de 
la concentración de esfuerzos en los elementos de las esquinas y la parte superior de la 
del murete donde se encontraba en contacto con el equipo de ensayo. Asimismo, en los 
ensayos e laboratorio se observó fallas en las partes anteriormente mencionadas.  
 
En la Figura 4.18 se muestran los resultados finales obtenidos mediante la simulación de 
los ensayos de compresión en las pilas bajo el enfoque TSCM-rotating y para tres estados 
fundamentales que resumen el comportamiento mecánico bajo esfuerzos de corte. El 
primer valor igual a 0.54 MPa indica la parte final de la etapa elástica de la curva de 
esfuerzo versus y deformación de corte, luego el valor de 1.57 MPa representa el estado 
para cuando se alcanza el esfuerzo de corte máximo, el pico y, finalmente, el valor de 
1.38 MPa es el esfuerzo residual de corte, el cual muestra el estado final de la simulación.  
 
83 
 
 
  
𝜏 = 0.54 MPa 𝜏 = 1.57 MPa 
 
𝜏 = 1.38 𝑀𝑃𝑎 
(a) 
  
𝜏 = 0.54 𝑀𝑃𝑎 𝜏 = 1.57 𝑀𝑃𝑎 
84 
 
 
 
𝜏 = 1.38 𝑀𝑃𝑎 
(b)  
  
𝜏 = 0.54 𝑀𝑃𝑎 𝜏 = 1.57 𝑀𝑃𝑎 
 
𝜏 = 1.38 𝑀𝑃𝑎 
(c) 
Figura 4.18: Distribución de (a) desplazamientos durante la simulación, (b) Esfuerzos principales y (c) de 
deformaciones principales, TSCM-rotating. 
Por otra parte, el modelo numérico presentó como resultados en términos de falla la 
formación de grietas a partir de la concentración de esfuerzos en los elementos de las 
esquinas y, por ende, aparición de grietas iniciales por deformaciones de tracción en las 
85 
 
 
equinas y en la parte central del modelo como se muestra en la Figura 4.19.a para el 
esfuerzo de compresión pico.  
 
Asimismo, para el estado final del ensayo con el esfuerzo de corte residual de los 
resultados numéricos con la Figura 4.19.b, TSCM-rotating, se observaron fallas en las 
zonas de contacto entre el equipo de ensayo y el del modelo y agrietamiento en el área 
vertical del espécimen, los cuales son similares a los patrones de falla experimental, ya 
que la mayoría de casos de los muretes reales presentaron este patrón de falla. 
  
Ancho de fisura Estado de agrietamiento 
(a)  
  
Ancho de fisura Estado de agrietamiento 
86 
 
 
 
Patrón de falla experimental 
(b)  
Figura 4.19: (a) Valores obtenidos mediante la simulación de anchos de grietas y estado de agrietamiento 
en el punto pico de la curva Esfuerzo corte – deformación angular y (b) para el estado final de la simulación, 
considerando el enfoque TSCM-fixed 
 
La Figura 4.20 representa lo mismo que se describió anteriormente para la Figura 4.18 
pero esta vez se muestran los resultados bajo el enfoque TSCM-fixed. En el cual se 
compone por la Figura 4.20.a con as distribución de desplazamientos verticales para los 
tres estados de cargas referenciales tomados en cuenta como relevantes. Asimismo, se 
muestra los valores de esfuerzo principales para todos los elementos y de deformaciones 
principales en la Figura 4.20.b, c, respectivamente.  
 
  
𝜏 = 0.54 MPa 𝜏 = 1.57 MPa 
87 
 
 
 
𝜏 = 1.37 MPa 
(a) 
  
𝜏 = 0.54 MPa 𝜏 = 1.57 MPa 
 
𝜏 = 1.37 MPa 
(b) 
88 
 
 
  
𝜏 = 0.54 MPa 𝜏 = 1.57 MPa 
 
𝜏 = 1.37MPa 
(c) 
Figura 4.20: Distribución de (a) desplazamientos verticales durante la simulación, (b) esfuerzos principales, 
y (c) deformaciones principales para el último paso de convergencia, TSCM-fixed. 
 
  
Ancho de fisura Estado de agrietamiento 
(a)  
89 
 
 
  
Ancho de fisura Estado de agrietamiento 
 
 
Patrón de falla experimental 
(b)  
Figura 4.21: (a) Valores obtenidos mediante la simulación de anchos de grietas y estado de agrietamiento 
en el punto pico de la curva Esfuerzo corte – deformación angular y (b) para el estado final de la simulación, 
considerando el enfoque TSCM-fixed 
 
Finalmente, para confirmar la validez del modelo elaborado se comparan la concentración 
de esfuerzos y deformaciones principales en las zonas agrietada de las del murete. En lo 
presentado en la Figura 4.21 se tiene una mejor visión del patrón de grietas numérico y 
comprando con lo observado experimentalmente, lo cuales presentan semejanza. 
Asimismo, en la Tabla 4.8 se presentan los valores de los parámetros más relevantes en 
base a los resultados numéricos.  
 
 
90 
 
 
Tabla 4.8: Valores mecánicos obtenidos mediante simulación 
Espécimen Máxima carga Máximo desplazamiento Esfuerzo de G aplicada (kN) vertical (mm) corte (MPa) (MPa) 
TSCM-fixed 169 0.54 1.57 1972 
TSCM-rotating 169 0.58 1.57 1970 
 
En términos generales, lo resultados presentan valores similares con respecto a los 
experimentales.  
4.2.4 Análisis y discusión de resultados  
El modelo numérico que simula el ensayo presenta una formación de grietas al inicio en 
las esquinas apoyadas en el equipo de ensayo tanto como para la parte superior e inferior 
tal como lo presentaron los muretes durante el ensayo de compresión diagonal, rotura en 
la parte de los bordes apoyados. Asimismo, el patrón de falla fundamental observado y 
que se presenta comúnmente en este tipo de ensayos fue representado adecuadamente por 
el módulo numérico mostrando grietas en el área diagonal vertical del espécimen en 
análisis.  
 
Durante los ensayos experimentales no se obtuvieron los valores de desplazamiento 
máximo y graficar la curva hasta la carga máxima aplicada; sin embargo, el modelo 
desarrollado se pudo obtener los valores del desplazamiento para la carga máxima, la 
carga residual y el desplazamiento máximo vertical. Sin embargo, esta parte no se pudo 
calibrar ni cualitativamente, ya que las lecturas globales no fueron eficientes para mostrar 
datos coherentes. 
 
En términos cualitativos y de forma de los resultados numéricos tanto para ambos 
enfoques se observa una concavidad antes de llegar al pico y luego en la parte post-pico 
y, además, se observó una tendencia de decaimiento lento de la resistencia casi lineal en 
la parte final como lo propone la base teórica para comportamiento mecánico bajo 
esfuerzos de corte. Sin embargo, no se logra producir dicha etapa.  
 
Con respecto a las curvas de comportamiento mecánico presentadas para cada murete se 
observó el modelo desarrollado se encontró dentro de la envolvente a partir de las gráficas 
mencionadas anteriormente, lo cual indica un comportamiento eficiente. 
91 
 
 
Asimismo, el modelo numérico presento un valor de módulo de corte igual a 1970 MPa, 
para el enfoque TSCM-rotating y para el TSCM-fixed se presentó un valor de “G” igual 
a 1972 MPa. Entonces, analizando con respecto al valor obtenido experimentalmente se 
presenta una variación de del 0.2% y el 0.1%, para el rotating y fixed respectivamente. 
Estos porcentajes de error con mínimos lo cual validan como calibrado este parámetro 
elástico. 
 
Por otro lado, se pudo observar que la energía de fractura par este ensayo también muestra 
un valor igual 1.0 N/mm, prácticamente el mismo valor calibrado de pilas; por ello, se 
puede indicar que para este material se caracterizó dicho parámetro inelástico que no 
obtuvo experimentalmente.  
 
El valor de resistencia a tracción fue siempre el experimental y también se da como valor 
característico para esta tipología de albañilería. Por ello, el valor numérico de resistencia 
a la tracción es de 1.05 MPa que presenta un error de 7 %, con respecto al valor promedio 
(0.98 MPa), el cual es bastante aceptable tomando en consideración también que dicho 
valor se encuentra dentro del rango de 𝑓𝑡  presentado como resultado experimental.  
 
Asimismo, en la gráfica de distribución deformaciones principales se observa que en el 
área de contacto entre el murete y el instrumento de ensayo se producen las máximas 
deformaciones de tracción, lo cual provoca que dicha zona tienda a fallar rápidamente 
con respecto a las demás, el estado de grietas obtenido del software confirma que en esa 
zona se forman grietas. 
 
Por otra parte, el valor de resistencia al corte diagonal obtenido numéricamente es igual 
a 1.57 MPa para el TSCM-rotating y 1.57 MPa para el TSCM-fixed, los cuales se 
encuentran dentro del rango obtenido experimentalmente, que va 1.28 a 1.58 MPa. Cabe 
resaltar que el valor de resistencia al corte presenta una tendencia de estar cerca el valor 
máximo obtenido experimentalmente. 
 
92 
 
 
Asimismo, se puede mencionar que el valor esfuerzo de corte residual numérico para el 
enfoque rotating presenta mayor magnitud con respecto al otro. Por otra parte, para el 
caso del TSCM-fixed se observa un mayor decaimiento de esfuerzo y carga, siendo está 
un poco más pronunciada con respecto a la curva obtenida con el otro enfoque. Sin 
embargo, estas diferencias descritas son mínimas casi imperceptibles; por ello, se puede 
considerar que en términos de ley constitutiva de corte presentan los mismos resultados.  
 
Por otro lado, en términos de agrietamiento se presentan diferencias relevantes, ya que le 
TSCM-rotating muestra un agrietamiento más súbito y más preciso en semejanza a lo 
experimental. 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
93 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 CAPITULO 5 
CONCLUSIONES DE LA 
INVESTIGACIÓN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
94 
 
 
5.1 Conclusiones  
La presente investigación tuvo como principal enfoque caracterizar el comportamiento 
mecánico de la albañilería de arcilla simulando los ensayos cuasi – estáticos que se 
realizaron en laboratorio mediante la macro-modelación numérica. Por ello, al finalizar 
el trabajo se obtuvieron las siguientes conclusiones a partir de los resultados presentados.  
 
Los modelos numéricos permitieron conocer la parte del decaimiento de la rigidez de las 
pilas de albañilería, endurecimiento, y una pequeña parte del ablandamiento. Asimismo, 
permitió conocer la energía de fractura a compresión y tracción del material. Dichos 
parámetros no se obtuvieron en los ensayos experimentales, entonces se estimó en base a 
los resultados de los modelos. En conclusión, la modelación numérica permite obtener 
valores de parámetros mecánicos inelásticos que para este caso se presenta complejidad 
en obtenerlas en los ensayos de laboratorio; asimismo, se logra predecir su 
comportamiento sin la dependencia de ensayos.  
 
Además, se puede visualizar las tendencias de falla del material con la representación del 
estado de agrietamiento que genera el modelo y proponer parámetros mecánicos para 
realizar un análisis estructural de elementos o estructuras de mayor complejidad.  
Tabla 5.1: Valores de parámetros mecánicos propuestos para la albañilería de arcilla. 
𝛒 
𝐤𝐠 𝛔𝐜 𝛆 E 𝐟𝐭 𝐆𝐜 𝐆𝐭 
( ) (MPa) (mm/m) (MPa) (MPa) (N/mm) (N/mm) 
𝐦𝟑
1800 10 2.65 6700 1.05 1.00 0.065 
 
Por otra parte, en la modelación de los muretes se logra simular un ensayo de corte 
diagonal verificando su tendencia de falla y la aparición de las grietas como se observaron 
en los ensayos realizados en laboratorio y, asimismo, una expresión gráfica que representa 
su comportamiento mecánico para este tipo de ensayo. Asimismo, para esta simulación 
de ensayo se proponen valores de módulo de corte obtenidos a partir del modelo numérico 
el cual sería de 1972-1970 MPa y valor de resistencia a la tracción numérico iguala a 1.05 
MPa. 
 
95 
 
 
Estas leyes constitutivas calibradas permiten caracterizar esta tipología de mampostería 
para que se pueda utilizar como parámetros validados en estructuras de mayor 
complejidad que se componen del mismo material. Por ello, cuando se requiera modelar 
estructuras de mayor envergadura se partirá de una base comprobada para obtener 
modelos, análisis y resultados mucho más precisos que no se presentarían si solo se 
tantean valores o asumen.   
 
Asimismo, se resalta que los resultados fueron eficientes ya que por lo menos alcanzaron 
el valor del ochenta por ciento del esfuerzo máximo, el cual es satisfactorio, ya que los 
valores de deformación para esfuerzos menores al mencionado no se consideran creíbles 
sino solo de una forma teórica y más aún si no se cuenta con información experimental. 
 
En conclusión, general la modelación numérica es una eficiente herramienta que permite 
simular ensayos de elementos cuasi-frágiles y permite obtener valores de parámetros 
mecánicos parecidos a los experimentales. Asimismo, esta herramienta permite 
caracterizar materiales de alta variabilidad como lo es la mampostería de ladrillo de 
arcilla.  
 
Se concluye que para la validación de un modelo no solo se requiere de una aproximación 
adecuada a los valores experimentales, sino también de una evaluación de los tipos de 
falla que se producen que también tiene que asemejarse a los observados durante los 
ensayos.  
 
Se concluye que para un modelamiento más preciso se requiere de ensayos de laboratorio 
más completos que muestren tanto la etapa lineal, endurecimiento y ablandamiento del 
material, ya que con esa información se podrá caracterizar el material de manera más 
eficiente cuantitativamente.  
 
Trabajos futuros  
Para futuros trabajos a partir de lo realizado en esta investigación se pueden afinar los 
modelos mediante ensayos más completos que reproduzcan el comportamiento de 
96 
 
 
endurecimiento completo y la etapa de ablandamiento experimental. Estos ensayos 
completos permitirán obtener valores de parámetros inelásticos con mayor precisión, ya 
que serán calibrados tanto de manera cualitativa y cuantitativamente las leyes 
constitutivas del material.  
  
Asimismo, durante la realización de la investigación se con concluyó que la razón de 
Poisson es de suma importancia, ya que este reproduce un efecto de confinamiento 
durante la simulación; por ello, para siguientes trabajos en este tema se recomienda 
realizar una medición de este parámetro elástico de manera experimental para poder 
obtener modelos más precisos y seguir analizando la influencia que genera en la 
simulación.  
 
Asimismo, los resultados de este trabajo pueden ser el punto de partida para poder analizar 
estructuras de mayor complejidad hechos con esta tipología de mampostería. Por ejemplo; 
realizar simulaciones de ensayos de muros de corte de albañilería confinada o también 
módulos de viviendas. Asimismo, se podrían utilizar los valores de los parámetros para 
realizar diseños de estructuras.  
 
Por otro lado, otra manera de continuar este trabajo es realizar simulaciones de estos 
ensayos con micro-modelación para evaluar la variación entre una simulación macro y 
micro. Esto permitirá obtener un margen de error, tipos de falla, validar parámetros al 
compararlos, y finalmente poder emplearlos en estructuras más complejas. Cabe resaltar 
que para simulaciones de menor magnitud es más eficiente la micro-modelación y para 
estructuras de mayor magnitud conviene una macro modelación por la carga 
computacional y porque la precisión no varía en gran medida; por ello, con trabajos 
comparativos con ambos tipos de modelación permitirían obtener buenas conclusiones.  
 
 
  
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Referencias 
Al-Chaar, G. L., & Mehrabi, A. (2008). Constitutive models for nonlinear finite element 
analysis of masonry prisms and infill walls (No. ERDC/CERL-TR-08-19). ENGINEER 
RESEARCH AND DEVELOPMENT CENTER CHAMPAIGN IL CONSTRUCTION 
ENGINEERING RESEARCH LAB. 
American Society for Testing and Materials. (2002). Standard Test Method for Diagonal 
Tension (shear) in Masonry Assemblages. ASTM International. 
ASTM, C. (2003). 1314. Standard Test Method for Compressive Strength of Masonry 
Prisms. ASTM: West Conshohocken, PA. 
Bakhteri, J., Makhtar, A. M., & Sambasivam, S. (2012). Finite element modelling of 
structural clay brick masonry subjected to axial compression.Jurnal Teknologi, 41(1), 57-
68. 
Boresi, A. P., & Schmidt, R. J. (2003). Advanced mechanics of materials. John Wiley & 
Sons, Inc., New York. 
Brignola, A., Frumento, S., Lagomarsino, S., & Podestà, S. (2008). Identification of shear 
parameters of masonry panels through the in-situ diagonal compression 
test. International Journal of Architectural Heritage, 3(1), 52-73. 
Cundall, P. A. (1988, June). Formulation of a three-dimensional distinct element model—
Part I. A scheme to detect and represent contacts in a system composed of many 
polyhedral blocks. In International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences & 
Geomechanics Abstracts (Vol. 25, No. 3, pp. 107-116). Pergamon.  
CUR (1994) - Structural masonry: a experimental/numerical basis for practical design 
rules (in Dutch). Report 171, CUR, Gouda, The Netherlands. 
Dhatt, G., Lefrançois, E., & Touzot, G. (2012). Finite element method. John Wiley & 
Sons. 
DIANA, T.N.O. (2015). User’s Manual 9.6. Delft, Netherlands. 
Guzmán, M., Roeder, G. M., & Ayala, G. (2002). Modelado del comportamiento no lineal 
de una estructura histórica de mampostería mediante elementos finitos. In XIII Congreso 
Nacional de Ingeniería Estructural, Puebla, México. 
98 
 
 
Harris, H. A. (Ed.). (1988). Masonry: materials, design, construction, and 
maintenance (No. 992). ASTM International. 
Instituto Nacional de Estadística e Informática (2014). Viviendas, según material 
predominante en las paredes exteriores y área de residencia. Recuperado de 
https://www.inei.gob.pe/estadisticas/indice-tematico/poblacion-y-vivienda/ 
Kaushik, H. B., Rai, D. C., & Jain, S. K. (2007). Stress-strain characteristics of clay brick 
masonry under uniaxial compression. Journal of materials in Civil Engineering, 19(9), 
728-739. 
Lizárraga, J., & Gavilán, J. J. P. (2016). Modelación no lineal de muros de mampostería 
empleando elementos de contacto. Revista de Ingeniería Sísmica, (93), 41-59. 
Lotfi, H. R., & Shing, P. B. (1991). An appraisal of smeared crack models for masonry 
shear wall analysis. Computers & structures, 41(3), 413-425. 
Lourenço, P. B. (1996). A user/programmer guide for the micro-modelling of masonry 
structures. Report, 3(1.31), 35. 
Lourenco, P. B. (1996). Computational strategies for masonry structures. TU Delft, Delft 
University of Technology.Harris, 
Lourénço, P. B., De Borst, R., & Rots, J. G. (1997). A plane stress softening plasticity 
model for orthotropic materials. International Journal for Numerical Methods in 
Engineering 40 (21), 4033-4057. (1997). 
Lurati, F., & Thürlimann, B. (1990). Tests in concrete masonry walls. Report, (8401-J). 
Macneal, R. H., & Harder, R. L. (1985). A proposed standard set of problems to test finite 
element accuracy. Finite elements in Analysis and Design, 1(1), 3-20. 
Mahini, S. S. (2015). Smeared crack material modelling for the nonlinear analysis of 
CFRP-strengthened historical brick vaults with adobe piers.Construction and Building 
Materials, 74, 201-218. 
Pluijm, R V (1993), “Shear behavior of bed joints”, Proceedings of the 6th Canadian 
Masonry Symposium, pp. 125-136 
Pluijm, V. D. R. R. (1992). Material properties of masonry and its components under 
tension and shear. 
99 
 
 
Ramírez, E., Montesinos, M., Marques, R. F. P., Morales, R., Uceda, S., Lourenço, P. B., 
& Aguilar, R. (2015). Análisis mecánico de albañilería arqueológica de adobe bajo cargas 
de compresión uniaxial: El caso de Huaca de la Luna. 
Rots, J. G., & Blaauwendraad, J. (1989). Crack models for concrete, discrete or smeared? 
Fixed, multi-directional or rotating? HERON, 34 (1), 1989. 
San Bartolomé Ramos, Á. F. (1994). Construcciones de albañilería: comportamiento 
sísmico y diseño estructural. 
SENCICO. (2006). Norma E.070: Albañilería. Reglamento Nacional de edificación 
(RNE). 
Tzamtzis, A. D., & Asteris, P. G. (2003, June). Finite element analysis of masonry 
structures: Part I: Review of previous work. In 9th North American masonry 
conference (pp. 101-11). 
Weihe, S., Kröplin, B., & De Borst, R. (1998). Classification of smeared crack models 
based on material and structural properties. International journal of solids and 
structures, 35(12), 1289-1308. 
Witte, F. D., & Kikstra, W. P. (2014). DIANA User's Manual-Material Library.Release, 
9.6, 231-232. 
 
 
 
 
 
100