PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERU
FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA


SISTEMA DE DETECCIÓN DE FALLAS PARA UN MOTOR DC
MEDIANTE FILTROS DE KALMAN
Tesis para optar el Título de Ingeniero Electrónico, que presenta el bachiller:
Jan-André Dubois Farfán
ASESOR: PhD Juan Javier Sotomayor
Lima, Junio del 2011
Resumen
Las metodologías para la determinación e identificación de fallas en procesos indus-
triales viene siendo desarrollada e investigada desde hace 30 años, en los cuales se han
elaborado una gran variedad de metodologías de detección y de aplicaciones a sistemas
reales.
Debido al aumento de la complejidad y cantidad de los procesos que necesitan ser
controlados, surgen teorías para la detección e identificación de fallas como solución a
problemas de repercusión no solo económica, sino también ecológica, productiva y de
seguridad.
En la presente tesis se ha desarrollado un método de detección e identificación basado en
una innovación proveniente del filtro de Kalman, la cual provee condiciones suficientes
y necesarias para la detección de fallas aditivas bajo influencia de ruido gaussiano
blanco. Esta metodología de detección se aplica a un motor de corriente contínua de
excitación independiente, cuya función de transferencia tipo SISO ha sido obtenida
experimentalmente.
Posteriormente un análisis estadístico de la innovación obtenida del filtro de Kalman,
ha permitido diagnosticar la presencia e instante de la falla aditiva generada en el
sensor del sistema. Lo anterior ha generado un sistema capaz de detectar fallas aditivas
idealizadas como modelos tipo escalones y rampas en un sistema lineal e invariante en
el tiempo.
El sistema desarrollado, permite la correcta detección e identificación de las fallas adi-
tivas presentes en el sensor del modelo del motor de corriente continua, basándose en
el análisis estadístico del parámetro innovación proveniente del Filtro de Kalman.
Contenido
Introducción 3
1. Problemática de la Deteccion y Aislamiento de Fallas 5
1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Importancia del Motor de Corriente continua y la Detección de Fallas . 6
1.3. Estado del Arte: Detección y Determinación de Fallas . . . . . . . . . . 6
1.3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.2. Fallas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.3. Características deseables en un sistema de diagnóstico de fallas . 7
1.3.4. Clasificación de los Métodos de Detección de Fallas . . . . . . . . 8
1.3.5. Método a emplear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4. Objetivos de la Tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.1. Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.2. Objetivos Específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2. Detección de Fallas en Motores de Corriente continua 20
2.1. Características de los Motores de Corriente Contínua . . . . . . . . . . . 20
2.2. Motor de Corriente Continua de excitación independiente . . . . . . . . 21
2.2.1. Modelo Matemático del Motor de Corriente continua de excitación
independiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3. Identificación del Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.1. Método de Ziegler-Nichols en lazo abierto . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.2. Identificación mediante la Herramienta de Identificación de Sis-
temas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4. Escenario de Fallas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
i
3. Diseño de un sistema de Detección y Aislamiento de fallas 35
3.1. Filtro de Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1.1. El Filtro de Kalman Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.1.2. Modelo gráfico del Filtro de Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2. Cambios Aditivos en Modelos Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2.1. Cambios Aditivos en Modelos de estado espacio . . . . . . . . . . 41
3.2.2. Innovación y Redundancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3. Diseño del Sistema de Detección de Fallas . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3.1. Generación de Residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3.2. Evaluación del Residuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3.3. Simulación de Filtro de Kalman para la detección de Fallas . . . 52
4. Pruebas y Análisis de Resultados 59
4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2. Resultados y Análisis de la Innovación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2.1. Modelamiento sin Falla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2.2. Modelamiento con Falla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2.3. Análisis de los Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.3. Resultados y Análisis del GLR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.3.1. Modelamiento sin Falla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.3.2. Modelamiento con Falla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.3.3. Análisis de los Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Conclusiones 72
Recomendaciones 73
Bibliografía 74
ii
Índice de figuras
1.1. Diagrama básico de tipología de fallas[1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Esquema de Métodos de Diagnóstico de Detección de Fallas[2] . . . . . . 9
1.3. Esquema general del uso de redundancia analítica[1] . . . . . . . . . . . 10
1.4. Tipología de observadores en procesos dinámicos [1] . . . . . . . . . . . 11
1.5. Detección de fallas con ecuaciones de paridad en Procesos Dinámicos [1] 12
1.6. Dinámica de ciclos de predicción consecutiva y filtrado en Filtros de
Kalman [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.7. Concepto Dinámico de los EKF [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.8. Formas de conocimiento cualitativo basados en el modelo del proceso[4] 14
2.1. Conexiones del Motor DC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2. Herramienta de Simulación del Motor DC . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3. Curva estática del Motor DC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4. Respuesta Transitoria ante entrada tipo escalón . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5. Retardo de la respuesta transitoria ante una entrada escalón . . . . . . . 26
2.6. Punto t63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.7. Modelamiento de la Respuesta Transitoria Modelo del Proceso a una
función de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.8. Aproximación del sistema una función de Primer orden con retardo . . . 28
2.9. Respuesta transitoria del sistema ante una entra tipo escalón . . . . . . 29
2.10. Modelamiento de la respuesta transitoria del proceso a una función de
segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.11. Aproximación del sistema a una función de Segundo orden con retardo . 30
2.12. Modelamiento de la respuesta transitoria del proceso a una función de
segundo orden con un cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.13. Aproximación del sistema a una función de segundo orden con retardo
y un cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1
2.14. Respuesta transitoria ante entrada escalón real y la estimada . . . . . . 32
3.1. Dinámica de ciclos de predicción consecutiva y filtrado en Filtros de
Kalman [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2. Modelamiento del Filtro de Kalman[5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3. Cambios aditivos en un modelo de estado espacio[5] . . . . . . . . . . . 42
3.4. Esquema general de detección y diagnóstico de fallas . . . . . . . . . . . 45
3.5. Representación gráfica del modelamiento del filtro de Kalman . . . . . . 48
3.6. Herramienta de Simulación General para la detección de fallas . . . . . . 53
3.7. Modelo del Sistema sin Fallas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.8. Modelo del sistema con fallas tipo escalón . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.9. Modelo del sistema con fallas tipo rampa . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.10. Subsistema para el cálculo estadístico del proceso . . . . . . . . . . . . . 57
4.1. Innovación proveniente del Filtro Kalman sin presencia de falla . . . . . 60
4.2. Media de la Innovación proveniente del Filtro Kalman sin presencia de
falla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.3. Desviación de la Innovación proveniente del Filtro Kalman sin presencia
de falla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.4. Comparación en la salida para modelos sin falla y con falla escalón . . . 61
4.5. Innovación proveniente del Filtro Kalman en presencia de falla escalón . 62
4.6. Media de la Innovación proveniente del Filtro Kalman en presencia de
falla escalón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.7. Desviación de la Innovación proveniente del Filtro Kalman en presencia
de falla escalón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.8. Comparación en la salida para modelos sin falla y con falla rampa . . . 63
4.9. Innovación proveniente del Filtro Kalman en presencia de falla rampa . 64
4.10. Media de la Innovación proveniente del Filtro Kalman en presencia de
falla rampa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.11. Desviación de la Innovación proveniente del Filtro Kalman en presencia
de falla rampa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.12. Ratio generalizado de verosimilitud en modelo sin fallas . . . . . . . . . 66
4.13. Estimación del tiempo de falla en modelo sin fallas . . . . . . . . . . . . 67
4.14. Ratio generalizado de verosimilitud en modelo con falla escalón . . . . . 67
4.15. Estimación del tiempo de falla en modelo con falla escalón . . . . . . . . 68
4.16. Ratio generalizado de verosimilitud en modelo con falla rampa . . . . . 69
4.17. Estimación del tiempo de falla en modelo con falla rampa . . . . . . . . 69
2
Introducción
La detección de fallas, como uno de los requerimientos principales en cualquier planta
industrial ha tenido una gran evolución en los últimos años, debido principalmente a la
aparición de sistemas cada vez más complejos, entre los cuales encontramos sistemas de
captación de señales (sensores), de procesamiento de información, etc. Esta evolución
de requerimientos en la industria, sigue generado nuevos sistemas de detección de fallas,
debido a ello, en la presente tesis se desarrollará el diseño de un sistema de detección
e identificación de fallas de sensores basado en filtros de Kalman para un motor de
corriente continua mediante simulaciones en Matlab.
En en capitulo 1, se desarrollarán conceptos importantes para entender el procedimiento
en la detección de fallas, definiendo el concepto de falla, su orígen y sus tipos, posterior-
mente se realizará una descripción general de los principales métodos de diagnóstico de
fallas, basados tanto en el modelo del proceso y en el proceso histórico.
En cuanto a los métodos basados en el Modelo del proceso, encontramos a los mode-
los basados en métodos cuantitativos, los cuales se basan en los fundamentos físicos
del proceso, que son expresados entre las entradas y salidas del sistema y cuya mayor
ventaja es el control sobre el comportamiento de los residuos generados. Además, en-
contramos al Filtro de Kalman, el cual es un estimador de estado con el mínimo error
de estimación, este se expresa mediante un algoritmo recursivo para la estimación del
estado.
En cuanto a los Modelos basados en métodos cualitativos, los cuales pueden ser desarro-
llados a través de modelos cualitativos causales, árboles de fallas o física cualtitativa.
Los modelos causales se desarrollan mediante el uso diagramas que son capaces de des-
cribir el comportamiento del sistema siendo representadas mediante gráficos dirigidos
que buscan la deducción de modelo o estructura adecuada a un comportamiento especí-
fico relacionando la causa y el efecto, sin embargo cabe notar que la detección de fallas
de este modelo es limitada ya que considera que una falla primaria es un cambio de
variable. En el Árbol de Fallas, se busca la propagación de defectos al acontecimiento
de nivel superior, buscando el origen elemental de la falla. Para el análisis de fallas
cuenta con 4 etapas: definición del sistema, construcción del árbol de fallas, evaluación
cualitativa y evaluación cuantitativa. Sin embargo, su desarrollo es propenso a errores
en diferentes etapas debido que depende de quién creó el modelo mental, por ello no
hay forma de verificar la exactitud del árbol de fallas desarrollado.
3
Respecto a la Física Cualitativa, actúa mediante metodologías para así poder relacionar
los modelos cualitativos a partir del comportamiento matemático o funcional de la plan-
ta logrando proporcionar explicaciones del comportamiento basado en observaciones de
proceso y descripción de sistema. Su ventaja es la creación de conclusiones parciales
del conocimiento incompleto y a menudo del conocimiento incierto del proceso.
En el Capitulo 2, se realizará una descripción del motor de Corriente continua, como
una máquina eléctrica que transforma la energía eléctrica en energía mecánica y se basa
en el principio de repulsión magnética por las corrientes que circulan por las espiras,
describiendo mas detallamente al motor de corriente de excitación independiente, su
modelo, sus ecuaciones y características que lo definen.
Posteriormente, para el modelamiento del sistema se ha desarrollado un modelo de un
sistema donde se encuentran el actuador, el motor de corriente continua y el sensor,
usando el método de Ziegler-Nichols en lazo abierto se determinó el rango lineal del
modelo según la curva estática generada y posteriormente, según el rango lineal obtenido
se generó la curva dinámica del sistema para la posterior obtención de una función
de transferencia que define al sistema de entrada-salida. La función de transferencia
obtenida anteriormente, es comparada con diferentes ordenes de sistemas extraidos de
los datos reales y analizados mediante la herramienta de Identificación de sistemas,
obteniéndose un mayor índice de adecuación (98,12%) para un sistema de segundo
orden con zero.
En el capitulo 3, se define el filtro de Kalman, su importancia como estimador óptimo
de procesos lineales que son afectados por ruidos blancos gaussianos tanto en el proceso
como en la lectura. Así mismo, se define las ecuaciones recursivas que caracterizan a
este método de estimación.
Se plantea los fundamentos y características de la detección de fallas aditivas para
sistemas lineales, dando énfasis a la representación estado espacio. Posteriormente se
define los criterios de diseño para la correcta identificación de la falla mediante el análisis
estadístico de la innovación proveniente del filtro de Kalman.
En el capitulo 4, se muestran los resultados y el análisis respectivo del sistema de detec-
ción de fallas aditivas generadas de los residuos provenientes del parámetro innovación
del Filtro de Kalman, corroborando los criterios establecidos de diseño para la correcta
detección de la falla.
Finalmente, se enfatizan las conclusiones obtenidas del diseño del sistema de detección
de fallas y su aplicación al motor de corriente continua de excitación independiente.
4
Capítulo 1
Problemática de la Deteccion y
Aislamiento de Fallas
1.1. Introducción
Desde hace más de 30 años, la detección de fallas es un requerimiento indispensable en
toda planta, en la actualidad sigue teniendo un incremento progresivo, debido princi-
palmente a las necesidades tecnológicas de nuevos y complejos procesos, así la detección
de fallas se presenta como respuesta a las nuevas necesidades producto de los mismos
cambios tecnológicos.
Las necesidades, tales como son la oportuna detección de fallas y su diagnóstico, la bús-
queda de seguridad de sistemas cada vez más complejos, la mejora de calidad de control,
así como la disponibilidad de novedosos sistemas de captación de señales (sensores), y
el uso de sofisticados sistemas de procesamiento de información, los cuales han plantea-
do la creación e implementación de complejos algoritmos de monitoreo; originando la
búsqueda de soluciones a problemas cada vez más numerosos y frecuentes concernientes
a la detección e identificación de fallas, así como su diagnóstico y tratamiento.
En la actualidad, las plantas industriales, como sistemas integrales donde intervienen
diferentes tipos de variables a medir y complejos procesos, tienen nuevos requerimientos
relacionados con la efectividad tanto económica, asi como efectividad del proceso mis-
mo. Debido al aumento de la complejidad y cantidad de los procesos que necesitan ser
controlados, surgen teorías para la detección e identificación de fallas como solución no
solo económica, sino también ecológica, productiva y de seguridad.
Hoy en día, procesos como apertura y cerrado de válvulas, llenado de tanques o encendi-
do de máquinas que eran realizados antes por operarios, ahora son realizados de forma
rutinaria por sistemas autónomos controlados por computadores u otros sistemas de
control, dándonos así la imagen del avance de los sistemas de control en muchas ramas
de la industria como son la química, la petroquímica, la de cemento, la siderúrgica,
entre muchas otras. [1]
5
1.2. Importancia del Motor de Corriente continua y la
Detección de Fallas
El motor DC es uno de los elementos más importantes y versátiles en la industria, de-
bido a sus características particulares como son: inercia pequeña o una alta relación de
par e inercia, de igual manera su fácil control de posición, par y velocidad, estas parti-
cularidades lo han convertido en una de las mejores opciones de aplicaciones de control
y automatización de procesos, sistemas robóticos, así como el fresado y mecanizado de
piezas.
Por ello, un sistema que pueda detectar las fallas e identificarlas en un motor DC,
beneficiará no sólo al proceso de detección de fallas, sino también colaborará con un
mantenimiento predictivo del motor y de los elementos que interactúan con el motor
DC.
Así mismo, con un control realimentado adecuado se generarán soluciones oportunas a
cada tipo de falla detectada, evitando pérdidas económicas por el detenimiento parcial
o total de la planta, costos por las reparaciones o cambios forzados de elementos de des-
gaste contínuo. Generándose un mantenimiento constante y permanente, aumentando
la vida útil del motor DC, y por consiguiente el buen desempeño de la planta.
1.3. Estado del Arte: Detección y Determinación de Fallas
1.3.1. Introducción
Debido a que el principal objetivo de la detección y determinación de fallas (FDI), es
la detección de la existencia de la falla y su posterior determinación, es necesario un
conocimiento del significado de falla, para luego realizar una revisión de las caracterís-
ticas principales que deben tener los sistemas para detección de fallas y por último una
descripción de las principales teorías de detección de fallas.[1]
1.3.2. Fallas
Una falla se define como aquel proceso o síntoma fuera de lo normal, es decir que
no estaba contemplado dentro de un rango aceptable, pudiendo ser ese rango de una
variable calculada o una observada dentro de un proceso.
1.3.2.1. Tipología de Fallas
Las fallas son originadas por una diversidad de factores que dependen del mismo sistema
como de otros factores externos, sin embargo las fallas más comunes presentes en la
mayoría de sistemas son las que se muestran en la figura 1.1.
6
Figura 1.1: Diagrama básico de tipología de fallas[1]
En donde, según el origen de las fallas se tiene:
Fallas en los sensores y actuadores
Los sensores son instrumentos de extracción de variables medidas en las plantas, estos
instrumentos también son inherentes a sufrir fallas, entre las cuáles están las fallas por
reparación, fallas de fuera de rango, así mismo las fallas ocasionadas por el ruido aditivo;
es por ello que es necesario hacer una rápida corrección debido a que una lectura errónea
de algún instrumento o una falla en el actuador pueden generar cambios drásticos e
importantes, originando serias degradaciones en el desempeño de los sistemas de control.
Fallas por cambios estructurales
Se tratan de cambios en el mismo proceso que ocurren debido principalmente a fallas
o desgaste en los equipos, los cuales generan cambios en el flujo de información entre
las diferentes variables. Algunos ejemplos son: las fallas en el controlador, así como
válvulas atoradas o conductos rotos.
Fallas en cambios de parámetros externos
Ocurren cuando hay partes del proceso que no son modeladas, estas partes tienen
niveles establecidos para el buen funcionamiento, pero si estos niveles pueden cambiar
debido a perturbaciones que entran en el proceso provenientes del ambiente a través de
las variables del sistema.[1]
1.3.3. Características deseables en un sistema de diagnóstico de fallas
Rápida detección y diagnóstico
7
La búsqueda de rápidez en la detección y diagnóstico, es una de las principales ca-
racterísticas que se busca de un sistema, pero en esa búsqueda de rápidez el sistema
se vuelve sensible a influencias de grandes frecuencias, haciéndolo sensible al ruido
pudiendo provocar falsas alarmas durante un normal funcionamiento.
Aislamiento
Es la habilidad de los sistemas de diagnóstico de diferenciar entre diferentes fallas, pero
existe una relación inversa con la repulsión ante las incertidumbres de modelos. Es
decir, a más grande el nivel de aislamiento, poseerá menor posibilidad de rechazar las
incertidumbres de los modelos y viceversa.
Robustez
Se busca que el sistema sea robusto ante diferentes ruidos e incertidumbres, a la vez que
en su funcionamiento el degradamiento no sea brusco, evitando así fallar totalmente.
Los umbrales de robustez en presencia de ruido deben estar cercanos al valor de 0 y
deben tener concordancia con el funcionamiento general del sistema.
Adaptabilidad
Los procesos en general, son dependientes no sólo de las entradas externas o de los
cambios estructurales, sino también dependen de las perturbaciones y de los cambios
medioambientales, es por ellos que el sistema de diagnóstico debe ser adaptable a todos
esos cambios y tener la posibilidad de ser reestructurado para nuevos casos o problemas
que surgan.
Requerimientos de modelos
Para una rápida detección y clasificación en tiempo real el modelo debe ser lo más
simple posible.[1]
1.3.4. Clasificación de los Métodos de Detección de Fallas
En la figura 1.2 se muestra un esquema de clasificación de las métodos de diagnóstico
de fallas.
8
Figura 1.2: Esquema de Métodos de Diagnóstico de Detección de Fallas[2]
Se describirán los métodos basados en el modelo del proceso, los cuales están relacio-
nados con el tema de la presente tesis.
Métodos cuantitativos basados en modelos de proceso
El modelo es usualmente desarrollado, basado en el entendimiento de los fundamentos
físicos del proceso, este entendimiento es expresado en términos de relaciones matemá-
ticas funcionales entre las entradas y las salidas del sistema. La mayor ventaja del uso
de modelos basados en métodos cuantitativos es el control sobre el comportamiento de
los residuos generados, sin embargo, varios factores como la complejidad de los sistemas
o grandes dimensiones, así como su no linealidad hacen que este método sea difícil para
el desarrollo de un modelo matemático exacto.
Para estos modelos se desarrollará un primero paso, que es crear diferencias entre
el comportamiento actual y el esperado, estas señales artificiales también llamadas
residuos, reflejan las potenciales fallas en el sistema. Para el segundo paso, se basa en
las características de este residuo, desarrollando reglas de decisiones para su diagnóstico.
Para la detección de las diferencias es necesaria cierta forma de redundancia, pudiendo
ser por hardware o analítica. La redundancia por hardware no es usada frecuentemente
por los costos de sensores extras y el espacio limitado, mientras que la redundancia
analítica o artificial es desarrollada por la dependencia funcional sobre las variables del
proceso, dicha dependencia usualmente es hecha a partir de las relaciones algebraicas
o temporales de las entradas y salidas.
La redundancia analítica se clasifica en:
9
Directa, que es realizada mediante las relaciones algebraicas entre diferentes medidas de
los sensores, siendo estos guardados y luego comparados con el valor leído del sensor.
Temporal, que es obtenida de la relación diferencial entre salidas de los sensores y
entradas de actuadores, por lo que es muy útil para detección de fallas en sensores y
actuadores.[1]
En la figura 1.3 se muestra el esquema general de uso de redundancia analítica.
Figura 1.3: Esquema general del uso de redundancia analítica[1]
La esencia de la redundancia analítica en la detección de fallas es revisar el comporta-
miento actual del sistema frente al modelo del sistema buscando que sean consistentes,
cualquier inconsistencia es expresada como un residuo, el cuál será usado para la de-
tección y aislamiento. Cuando no ocurren fallas, ese residuo debería ser cercano a cero,
pero debe mostrar un valor significativo cuando ocurre alguna falla. La utilización de
este modelo es generalmente para sistemas lineales debido al conocimiento más exacto
de las ecuaciones del modelo. Sin embargo, puede ser utilizado para sistemas no lineales,
donde previamente se da linealidad alrededor del punto de operación.[1]
Observadores
En un proceso, donde los parámetros del proceso son conocidos, pueden ser usados
los observadores de estado o los observadores de salida. En la figura 1.4 se muestran
ambos tipos de observadores para procesos en los cuales existen fallas de tipo aditivas,
dondefL es una falla aditiva en el actuador o una falla de proceso yfM es una falla de
lectura en el sensor.
10
x˙(t) = Ax(t) +B u(t) + C v(t) + LfL(t)
y(t) = C x(t) +N n(t) +M fM(t)
n(t) v(t) sen˜ales de perturbacion fL(t), fM(t) fallas aditivas
Observadores de estado Observadores de salida
˙ˆx(t) = A xˆ(t) +B u(t) + C v(t) + LfL(t)
˙
ξ(t) = Aξ ˆ (t) +Bξu(t) +Hξy(t)ξ
e(t) = y(t)−C xˆ(t) ˙n(t) = Cξ ξˆ(t) , ξ(t) = T1x(t) tranformacio´n
Figura 1.4: Tipología de observadores en procesos dinámicos [1]
Observadores de estado
Los clásicos observadores de estado pueden ser aplicados si la falla puede ser modelada
como un cambio del estado de la variable (∆j). En el caso de ser procesos con varias
salidas se proponen diferentes arreglos, tales como:
Observadores dedicados para procesos con varias salidas:
Observador excitado con una salida, las demás salidas son reconstruidas y comparadas
con las salidas medidas, permitiendo la detección de solo un error del sensor.
Banco de observadores excitados por todas las salidas, varios observadores de estado
son diseñados para un tipo de señal de falla y detectada bajo una prueba hipotética.
Banco de observadores excitados por una única salida, varios observadores para un
único sensor de salida, las salidas estimadas son comparadas con las salidas medidas,
permitiendo la detección múltiple de fallas del sensor.
Banco de observadores excitados por todas las salidas excepto una de ellas, igual que
el banco anterior pero cada observador es excitado por todas las salidas excepto una
salida del sensor la cual es supervisada.
Filtros sensitivos a fallas para procesos con varias salidas:
El lazo de realimentación H del observador de estado es elegido para un valor particular
de la falla fL(t) cambia en una dirección definitiva y la falla de la señal fM (t) cambia
en un plano definitivo.[1]
11
Observadores de salida
Otra posibilidad, es el uso de observadores de entrada desconocida (UIO), si la recons-
trucción de las variables de estado no es de interés, los residuos pueden ser designados
como independientes de las entradas desconocidas, por lo que sólo dependen de las
fallas aditivas fL(t) y fM(t). En el diseño de un observador, no es necesaria la aplicación
de la teoría de estimación de estado (state estimation), en vez de ello es necesario el
uso de filtros como estimadores de las salidas. [6]
La importancia de la búsqueda de robustez en los observadores, es debido a la depen-
dencia respecto del modelo, cuanto más complejo sea un modelo entonces más díficil
será la técnica, volviéndose indispensable la robustez del observador.[7] Algunos de los
primeros investigadores, usando detección de fallas con observadores fueron: Clark [8],
Massoumnia [9] ,entre otros, pero Frank [6] presentó la solución al problema funda-
mental de la robustez en la detección de fallas, dándole la robustez lograble separando
los efectos de cada una de las fallas de los efectos por los errores de modelamiento del
sistema. Además, la aparición de observadores para sistemas no lineales es analizada
por Frank, [6] donde se le asigna un modelo contínuo en el tiempo para las no linea-
les, y basándose en el procedimiento para los observadores lineales se logra un modelo
adecuado.
También se crearon observadores específicos no lineales para un tipo especial de sistemas
no lineales, entre los cuales tenemos observadores para sistemas con nolinealidad bilineal
[10] y observadores basados en métodos geométricos diferenciales [11, 1].
Relaciones de Paridad
Este método fue introducido por Willsky [7] , en donde las ecuaciones de paridad son
reorganizaciones y usualmente variantes transformadas de plantas tipo entrada-salida
o estado espacio. La esencia es el revisar la paridad o consistencia de la planta usando
sensores a la salida y conociendo las entradas al proceso. En la figura 1.5, se muestra
las ecuaciones de paridad y metodología utilizada, tanto para el modelo de entrada -
salida , así como para el modelo estado espacio.
r(t) = W
(
YF (t) −QUF (t)
)
r(s) = AM(s)y(s) −BM(s)u(s)
Figura 1.5: Detección de fallas con ecuaciones de paridad en Procesos Dinámicos [1]
12
La evolución de este método fue desarrollada dándole la inclusión de nuevos aspectos
como el uso de promedios de términos cortos para el balance de las ecuaciones resi-
duales [12], la generación de residuos ortogonales para diferentes tipos de fallas [13],
la determinación de un aislamiento garantizado bajo condiciones ideales [14] así como
bajo condiciones de bajo ruido[15], pero aun así todavía están limitados a fallas don-
de no ocurre una total caída de los parámetros del proceso, ni toman en cuenta las
significativas incertidumbres de las fallas paramétricas multiplicativas [1].
Filtros de Kalman
Las perturbaciones en plantas son fluctuaciones aleatorias y solamente en algunas oca-
siones podemos tener acceso a sus parámetros estadísticos, es debido a este inconvenien-
te que un correcto diagnóstico de fallas implica monitorear las predicciones del error o
el proceso de innovación.
El objetivo es el diseño de un estimador de estado con el mínimo error de estimación,
los filtros de Kalman son un tipo de ellos, siendo diseñado sobre la base del modelo del
sistema en su modo de operación normal.
El filtro de Kalman es un algoritmo recursivo para la estimación del estado, es debido
a ello que en un modelo de espacio estado es equivalente a un predictor óptimo en
un sistema lineal estocástico de entrada salida. En la figura 1.6 se muestra los ciclos
del filtro de Kalman, el primero de predicción donde estima la salida del sistema y
posteriormente el ciclo de filtrado donde minimiza el error de prediccion aposteriori.
Figura 1.6: Dinámica de ciclos de predicción consecutiva y filtrado en Filtros de Kalman
[3]
El Filtro de Kalman, genera una ganancia que es dependiente del tiempo, la cuál
multiplicada con la estimación del error generará la estimación próxima de las variables
de estado. Para poder diferenciar las fallas, se considera un banco de filtros de Kalman
para todas las posibilidades de cambios[1].
Entre la variedad de filtros de Kalman, un filtro importante es el Filtro de Kalman Ex-
tendido (EKF), el cual es usado en sistemas no lineales designando detecciones mediante
filtros locales, basándose en aproximaciones lineales en sistemas no lineales alrededor
de su última estimación.
En la figura 1.7 se muestra la utilizacion de los ciclos de predicción y filtrado del filtro
de Kalman para un proceso donde se toma un rango lineal alrededor del último punto
de estimación.
13
Figura 1.7: Concepto Dinámico de los EKF [3]
Además de los EKF, encontramos nuevos métodos de reducción del orden de los filtros
basándose en un algoritmo que identifica las entradas desconocidas como funciones de
una variable, mientras que los demás parámetros son independientes de dicha variable.
[2]
Métodos cualitativos basados en modelos de proceso
Las relaciones de los modelos cualitativos son expresadas en términos de funciones
cualitativas centradas alrededor de unidades diferentes en el proceso. Los modelos cua-
litativos pueden ser desarrollados a través de modelos cualitativos causales o jerarquías
de abstracción. En la figura 1.8, se muestran las principales metodologías presentes en
la clasificación de los modelos basados en métodos cualitativos, teniendo 2 principales
clasificaciones en métodos causales y en jerarquías de abstracción.
Figura 1.8: Formas de conocimiento cualitativo basados en el modelo del proceso[4]
El desarrollo de conocimiento basado en sistemas expertos, fue el primer intento de
capturar conocimiento para plasmar conclusiones usando una metodología formal. Un
sistema experto es un programa de computadora que imita el comportamiento cognitivo
de un ser humano experto resolviendo problemas en un dominio particular.
Dicho sistema experto consiste en una base de conocimiento, esencialmente un conjunto
de reglas “if – then - else”, que varían con la complejidad del sistema, y una máquina
14
de inferencias, la cual busca a través del conocimiento base para crear conclusiones de
los hechos dados. El problema con este tipo de representación de conocimiento es que
no posee ningún entendimiento de la base física del sistema, por lo que falla cuando
nuevas condiciones son encontradas y no fueron definidas en la base al conocimiento.
[4]
En el razonamiento simbólico, existen tres clases diferentes de razonamiento, que son
abductivo, inductivo y predeterminado. El razonamiento abductivo es la generación de
una explicación hipotética o la causa para lo que ha sido observado. A diferencia de la
deducción simple lógica, podemos conseguir más que una respuesta en el razonamiento
abducido. Debido a que no existe una forma general de decidir entre varias alternativas,
lo más adecuado es encontrar la hipótesis más probable, por lo que sería un razona-
miento donde sopesamos las evidencias en la presencia de incertidumbre. La búsqueda
de la causa de una anormalidad en un sistema de proceso es un razonamiento abductivo.
El razonamiento abductivo provee además explicaciones de cómo la causa podría haber
producido la anormalidad observada, dicha facilidad es útil, debido a que proporciona
sustento a las decisiones de los operadores de planta. El razonamiento inductivo está
basado en la generalización o especialización de una definición de un concepto apren-
dido mediante la unión de todas las experiencias pertenecientes a dicho concepto, y
excluyendo a las que no pertenecen. Por ello, no se puede obtener una definición clara
de un concepto, debido a la gran variedad de experiencias e incertidumbre (datos ruido-
sos u observaciones). Por esta razón, se prefiere un esquema de aprendizaje adaptable,
un ejemplo es el aprendizaje por fracasos, el cual refina el concepto del fracaso como
expectativas de como uno ha relacionado sus experiencias.
La importancia del razonamiento predeterminado está basada en su característica de
ser no monotónico, debido a que no considera las deducciones hechas anteriormente
totalmente válidas para el resto del razonamiento. Sin embargo, es necesario revisar
las deducciones anteriormente hechas según vayan apareciendo nuevos cambios, por lo
que el razonamiento predeterminado se convierte en una herramienta necesaria para
casos donde toda la información no está disponible a tiempo o cuando es necesario un
razonamiento de variada información simultáneamente.[4]
Diagramas basados en modelos causales
Los diagramas basados en modelos causales fueron desarrollados por Iri [16], los cua-
les son capaces de describir el comportamiento del sistema en términos de relaciones
de causa-efecto entre las entidades del sistema siendo representadas mediante gráficos
dirigidos.[17]
El diagnóstico, al revés de la simulación busca la deducción del modelo o estructura
adecuada a un comportamiento específico, para lo cual necesita reflexionar acerca de
las relaciones causa –efecto en el proceso. En los primeros principios de los métodos
basados en el modelo, se comienza con la descripción de sistema con las observaciones
15
hechas sobre el mal funcionamiento del proceso. Luego, se procede al razonamiento de
identificar los cambios funcionales que resultaron en el mal funcionamiento del proceso.
Las relaciones causa-efecto o los modelos pueden ser representados en la forma de
gráficos con signo (SDG), siendo el diagrama un gráfico con arcos dirigidos entre los
nodos, el SDG es un gráfico en donde los arcos dirigidos poseen un signo positivo o
negativo agregado. Los arcos dirigidos conducen de los nodos ’de causa’ a los nodos
’de efecto’. Cada nodo en el SDG corresponde a la desviación del estado estable de
la variable. Los SDG tienen nodos que representan eventos o variables y bordes que
representan las relaciones entre los nodos. Los SDG son más compactos que las tablas
de verdad, las tablas de decisiones o los modelos de estado finito.[4]
Una gran innovación en los diagramas causales fueron las funciones de transferencia
lineales con elementos acertivos (QTF) por Leyval [18], por lo cuál era necesario nuevos
métodos de razonamiento basados en residuos. Uno de ellos, las ecuaciones de diferencia
algebráica por Montmain & Gentail [19], los cuáles permitían un mejoramiento de los
resultados de diagnóstico siendo capaces de detectar diferentes tipos de fallas, como
sensores, actuadores y fallas de proceso.
Sin embargo, la habilidad de este método en detección de fallas es limitada, el método
asume que una falla primaria es un cambio en una variable (representada por un nodo en
el diagrama) en vez de un cambio en la consistencia entre las variables (representada
como un arco en el diagrama). En la industria se busca conocer el componente del
proceso que causa la falla, pero esto sólo es aplicable para fallas de lectura, debido a
que los nodos en el diagrama del modelo representan el sensor del proceso, mientras
que los nodos solos que representan fallas no puede proveer suficiente información para
identificar los arcos en el diagrama.[17]
Árbol de fallas
Los Arboles de Fallas son usados para analizar la fiabilidad y seguridad de los sistemas,
fue desarrollado por los laboratorios Bell en 1961. Un árbol de fallas es un árbol lógico
que propaga acontecimientos primarios o defectos al acontecimiento de nivel supe-
rior. Cada árbol usualmente tiene capas de nodos, y en cada nodo son desarrolladas
operaciones lógicas para la propagación.[4]
El análisis del árbol de fallas consiste en 4 etapas: definición del sistema, construcción
del árbol de fallas, evaluación cualitativa y evaluación cuantitativa. La creación de árbol
de fallas se produce analizando las causas que provocarían un evento de mayor nivel,
conectándose mediante nodos, asi se expande el árbol hasta encontrar un elemento
primario o elemental. Luego de la construcción, se procede a la evaluación cualitativa
que busca el desarrollo de una mínima colección de fallas primarias que son necesarias
y suficientes para causar una falla de sistema, con lo que podemos identificar las fallas
críticas de los componentes[20]. Para la evaluación cuantitativa, el conocimiento sobre
la probabilidad de la ocurrencia de los eventos primarios es usado para calcular la
probabilidad de fallas de los eventos de nivel más elevado.
16
El árbol de fallas provee un significado computacional de las combinaciones lógicas para
analizar las fallas de sistemas. Dichas combinaciones lógicas (OR, AND, XOR) ayudan
a reducir las falsas soluciones y la representación del sistema.
El problema más grande con árboles de fallas, es que el desarrollo es propenso a errores
en etapas diferentes, por lo que dependen de la persona que creó el modelo mental y
no hay ningún método formal de verificar la exactitud del árbol de fallas desarrollado.
Para realizar el diagnóstico constante de árboles de fallas, los árboles comprensivamen-
te deben representar el proceso mediante relaciones causales que expliquen todas las
razones de fallas.[4]
Física Cualitativa
El conocimiento de física cualitativo en el diagnóstico de fallas, ha sido representado
en dos caminos. El primer acercamiento es sacar ecuaciones cualitativas de las ecua-
ciones diferenciales llamadas ecuaciones de confluencia. Un factor importante de notar,
consiste en que el comportamiento cualitativo puede ser sacado incluso si un modelo
matemático exacto no puede ser desarrollado. Los modelos cualitativos no requieren in-
formación detallada tales como expresiones exactas y valores numéricos sobre el proceso.
La información de la magnitud sobre los valores normales de operaciones de parámetros
de proceso y variables es a menudo suficiente.[4]
Un método existente, fue el método de ordenamiento causal, que es usado para con-
seguir las relaciones causales por una reducción conveniente de las relaciones funcio-
nales conocidas del proceso[21]. El método de ordenamiento causal establece a priori
al diagnóstico, un ordenamiento parcial o completo entre las variables en un sistema
de ecuaciones. Existe otro método, llamado ordenamiento de preferencia , que ha sido
usado para ordenar las variables del punto de vista de flujo de la información entre
ellos.
La idea central es que el flujo de la información entre estas ecuaciones no es simultá-
neo un reconocimiento de la presencia de asimetría (el orden de preferencia parcial o
completa entre las variables) en las ecuaciones. Esta asimetría muestra los canales de
flujo de la información y así representa la causalidad.[4]
Otro acercamiento en la física cualitativa es la derivación de comportamiento cualitativo
de las ecuaciones ordinarias diferenciales (ODEs). Estos comportamientos cualitativos
de fallas diferentes pueden ser usados como una fuente de conocimiento. En Sacks[20], se
examina las aproximaciones lineales de elementos acertados para ecuaciones no lineales
diferenciales por el empleo de un razonamiento cualitativo matemático para deducir
las propiedades cualitativas del sistema. En Kuipers[21], se predice el comportamiento
cualitativo usando ecuaciones cualitativas diferenciales (QDEs) que es una abstracción
de las ODEs que representan el estado del sistema.
Los objetivos de estas metodologías son de relacionar de descripciones cualitativas físi-
cas y descripciones de ecuaciones a comportamientos cualitativos y proporcionar expli-
17
caciones del comportamiento, basado en observaciones de proceso y la descripción de
sistema. La ventaja de estos simuladores cualitativos, es su capacidad de crear conclu-
siones parciales del conocimiento incompleto y a menudo de conocimiento incierto del
proceso.[4]
Jerarquía de abstracción de conocimiento de proceso
Otra forma de modelar el conocimiento, es el desarrollo de jerarquías de abstracción
basadas en la descomposición, la cual debe ser cápaz de dibujar inferencias sobre el
comportamiento del sistema total basándose únicamente de las leyes que gobiernan el
comportamiento de sus subsistemas. En la descomposición, las leyes del subsistema no
pueden suponer el funcionamiento del sistema entero. En una descripción jerárquica,
una podría representar una descripción genérica de una clase de partes del proceso. Por
lo cual las ecuaciones gobernantes que describen una clase entera de partes de proceso
pueden hacer suposiciones sobre la clase como un todo, pero no pueden hacer ninguna
suposición sobre el comportamiento de partes particulares del proceso.[21]
Otro principio importante para la descomposición de sistemas, es el principio de lu-
gar: las leyes para una parte expresamente no pueden referirse a ninguna otra parte. El
principio de lugar permite predecir el comportamiento basado sólo sobre la información
local. Las descomposiciones del proceso de sistemas más comunes son las siguientes: es-
tructural, la cual especifica la información de conectividad de una unidad y funcional, la
cual especifica la salida de una unidad como una función de sus entradas y posiblemen-
te de la información del estado. Dichas descomposiciones permiten una representación
de la funcionalidad de un sistema en términos de relaciones de entrada-salida de sus
partes o unidades, por lo cual no es determinante si fue hecho de forma cualitativa o
cuantitativa.[4]
La descomposición de un proceso de un sistema a varios subsistemas puede ser desa-
rrollada en varios niveles de abstracción. Existen 2 dimensiones en la cual la abstracción
en diferentes niveles es posible, estructural y funcional. La jerarquía estructural repre-
senta la información de conectividad entre el sistema y sus subsistemas, mientras que
la jerarquía de abstracción funcional representa las relaciones de significado-propósito
entre un sistema y sus subsistemas.[22, 4]
La búsqueda funcional busca diagnosticar sistemas de procesos complejos que tienen
subsistemas con las funciones específicas que son individualmente reconocibles en la
respuesta de sistema total. Estos subsistemas son descritos en un nivel inferior como
unidades de proceso, sensores, reguladores, actuadores y elementos de control. La idea
central es que la falla del subsistema de nivel más alto nivel es debido a la falla del
mal funcionamiento de una o varias de estas unidades y utilizar esta descripción del
nivel más alto para rápidamente identificar el subsistema que es la fuente de ese mal
funcionamiento. Debido a ello, este método tiene la virtud de evitar el detalle inne-
cesario en las tempranas etapas de diagnóstico y rápidamente enfocar a las áreas del
problema.[22]
18
1.3.5. Método a emplear
Para el desarrollo de la presente tesis, se utilizó el Filtro de Kalman como un observador
de estado, debido principalmente a ser un método extensamente aplicado en sistemas
de navegación, y control aeroespacial, entre otros. Es aplicable a sistemas lineales como
el motor de corriente continua estudiado, asi mismo el filtro de Kalman minimiza el
error de estimación ante ruidos gaussianos y genera el parámetro innovación el cual
provee de las estadísticas necesarias para la correcta determinación de la falla.
1.4. Objetivos de la Tesis
1.4.1. Objetivo General
Diseñar un sistema de detección e identificación de fallas para un motor DC, basa-
do en filtros de Kalman haciendo uso de simulaciones en el software Matlab para la
identificación de fallas de sensor.
1.4.2. Objetivos Específicos
Identificar el modelo del sistema del motor de corriente continua, mediante la
metodología de Ziegler-Nichols en lazo abierto y confirmar su función de transfe-
rencia mediante la herramienta de Identificación de Sistemas de Matlab.
Investigar sobre las metologías para la detección y determinación de fallas (FDI).
Diseñar el sistema de detección y determinación de fallas para el motor estudiado
haciendo uso del filtro de Kalman.
Realizar pruebas mediante el software Matlab sobre el sistema diseñado para
comprobar su aplicabilidad al motor estudiado.
19
Capítulo 2
Detección de Fallas en Motores
de Corriente continua
2.1. Características de los Motores de Corriente Contínua
El motor de corriente continua o DC es una máquina eléctrica que transforma energía
eléctrica en energía mecánica. El motor DC, así como el motor AC se basan en el
principio de repulsión magnética, debido a las corrientes que circulan por las espiras,
generando campos electromagnéticos y pares de fuerzas inducidas obligándolas a girar.
Las aplicaciones de los motores de corriente continua se han mantenido en aplicaciones
especialmente en máquinas, herramientas y en procesos industriales. A pesar de las
mejoras que han sido desarrolladas en su diseño, la máquina de corriente continua es
constructivamente más compleja que las máquinas de corriente alterna debido al empleo
de escobillas, colector, etc.
La complejidad del motor de corriente continua frente a las máquinas de corriente al-
terna, las convierte comparativamente en menos robusta, además requiere mayor man-
tenimiento y a la vez tiene un mayor volumen y peso para la generación de la misma
potencia. No obstante, el motor DC. tiene múltiples aplicaciones, especialmente como
motor, debido principalmente a:
• Amplio rango de velocidades (ajustables de modo continuo y controlable con alta
precisión).
• Característica de torque-velocidad variable, constante o bien una combinación ideada
por tramos.
• Rápida aceleración, desaceleración y cambio de sentido de giro.
• Posibilidad de frenado regenerativo.
Entre las grandes aplicaciones de los motores DC, encontramos los grandes motores
de corriente continua , los cuáles se utilizan en prensas de impresión, transporte de
los ventiladores, bombas, elevadores, grúas, fábricas de papel, textiles, etc. Mientras
20
que, los pequeños motores de corriente continua, que están fraccionados en potencia,
se utilizan en dispositivos de control tales como taco-generadores para sensores de
velocidad y servomotores para el posicionamiento y seguimiento. [23]
2.2. Motor de Corriente Continua de excitación indepen-
diente
Entre las principales características de los motores DC de exitación independiente en-
contramos:
•Ambos bobinados del estator y rotor son excitados por corriente continua.
•El rotor tiene el colector o conmutador.
•El voltaje continuo a los devanados de armadura se suministra a través de los cepillos
eléctricos que establecen contacto con el colector.
•Los cepillos se fijan en relación con el estator y se colocan para obtener un desfasa-
miento angular específico.
•Para aprovechar al máximo el par electromagnético, los ejes magnéticos del estator y
rotor están desfasados uno del otro en 90 grados mediante un colector
2.2.1. Modelo Matemático del Motor de Corriente continua de exci-
tación independiente
Las ecuaciones dinámicas que describen el comportamiento del motor de corriente con-
tinua de excitación independiente, son:
Va = Raia + La
dia
dt
+Kbifωm (2.1)
Vf = Rf if + Lf
dif
dt
(2.2)
Donde Ra es la resistencia de armadura, Rf es la resistencia de campo, if es la corriente
de campo, ia es la corriente de armadura, La es la inductancia de armadura, Lf es la
inductancia de campo y ωm la velocidad del motor.
Las ecuaciones están relacionadas con la operación de un motor conectado rígidamente
a una carga con momento de inercia (J) y las pérdidas de fricción en la carga son
representadas con un coeficiente viscoso (B), por lo que el torque desarrollado por el
motor esta representado por la ecuación 2.3.
Te = Ti +Bωm + J
dωm
dt
(2.3)
21
Donde ωm es la velocidad angular, Ti es el torque de carga y Bωm representa las
pérdidas del torque rotacional en el sistema. Generalmente el torque es relacionado con
la corriente de armadura (ia) y con el flujo de campo (φ) mediante la ecuación 2.4[23]
Te = Ka ∗ φ ∗ ia (2.4)
Para un motor DC de excitación independiente el flujo de campo esta expresado por la
ecuación 2.5.
φ = Nf ∗ if
S
= Kf if (2.5)
Donde Nf es el número de vueltas en el bobinado de campo y S es la reluctancia de la
estructura. Uniendo las ecuaciones el torque generado queda expresado por la ecuación
2.6.
Te = Ka ∗Kf ∗ if ∗ ia (2.6)
Denominaremos una constante Kb = Ka ∗Kf y reemplazamos en la ecuación 2.6.
Te = Kb ∗ if ∗ ia (2.7)
Definimos Km = Kb ∗ if para una if constante, para simplificar las ecuaciones 2.4 , 2.3
y 2.1.[23]
Te = Km ∗ ia (2.8)
Va = Raia + La
dia
dt
+Kmωm (2.9)
Km ∗ ia = Ti +Bωm + J dωm
dt
(2.10)
2.3. Identificación del Sistema
Para la modelamiento del sistema estudiado, se ha considerado un sistema que consta
de un actuador, el motor de corriente continua y el sensor de velocidad.
Siendo el actuador una fuente continua de voltaje variable que controla el voltaje de
armadura del motor, específicamente esta formado por un medio puente de tiristores
que son controlados mediante una salida analógica de la tarjeta de adquisición NI 6221
de 37 pines, para generar un voltaje continuo a partir de una fuente de voltaje alterna.
22
El sensor es la entrada del canal análogico de la tarjeta de adquisión de datos NI 6221
de 37 pines de la compañia National Instruments, la cual está conectada a un modulo
de Lucas-Nülle el cual extrae los valores de velocidad del motor y los convierte a señales
analógicas de rango de 0 a 10 voltios.
En la figura 2.1, se muestra las conexiones necesarias para poder efectuar una identifi-
cación del motor de corriente continua.
Figura 2.1: Conexiones del Motor DC
2.3.1. Método de Ziegler-Nichols en lazo abierto
Para la identificación del modelo del motor de corriente continua de excitacion indepen-
diente, primero se deberá encontrar el rango lineal del modelo según la curva estática
generada.
Posteriormente, según el rango lineal obtenido se realiza la prueba dinámica, donde se
analiza la respuesta transitoria de la salida obtenida aplicando un escalón a la entrada
23
del sistema logrando determinar el comportamiento de la salida del sistema. A partir
de su respuesta, se obtiene una función de transferencia de entrada y salida del modelo
que se adecue a dicho comportamiento.
2.3.1.1. Prueba Estática
Para el desarrollo de la prueba estática se trabaja con la planta a lazo abierto como
se muestra en la figura 2.2, en la cual vamos variando de forma gradual la entrada del
sistema desde 0v hasta su máximo nivel de trabajo, en este caso es 10v; generando en
la salida del sistema los datos yout_escalon para cada variación gradual de la entrada.
Figura 2.2: Herramienta de Simulación del Motor DC
Tomando ambos parámetros, la entrada al sistema representada por la señal ¨step¨ y
la salida ¨yout_escalon¨ se forma una curva demonimada curva estática. Esta curva
estática, nos da el rango lineal o zona lineal de trabajo de la planta. Para nuestra
prueba estática, la entrada step es la representación escalada del voltaje de armadura,
la entrada al sistema varia de 0 a 10 VDC, siendo este rango la representación de la
variación real del voltaje de armadura del motor. Y nuestra salida es la velocidad del
motor, cuyo rango es de 0 a 2000 RPM aproximadamente.
En la figura 2.3, se muestra la curva estática del motor DC, cuyos resultados obtenidos
muestran que el rango lineal del motor DC de excitación independiente fue de 0 a
2000 RPM, significando que en todo momento nuestra planta, el motor DC tiene un
comportamiento lineal.
24
Figura 2.3: Curva estática del Motor DC
2.3.1.2. Prueba Dinámica
Posteriormente a la obtención del rango lineal de trabajo del motor DC, se desarrolla la
prueba dinámica del motor. La cual se realiza a lazo abierto y su objetivo es encontrar
el comportamiento dinámico del proceso mediante en análisis de la respuesta transitoria
de la salida, que se obtiene al introducir una entrada tipo escalón del sistema. Para la
realización de la prueba dinámica nos basaremos en el rango lineal obtenido de la curva
estática, siendo este rango la medida del tamaño del escalón a la entrada del sistema
para la generación de la respuesta transistoria del sistema. En la figura 2.4, se muestran
la entrada al sistema tipo escalón y la respuesta transitoria del sistema obtenida a la
salida.
Basándose en la respuesta transistoria del sistema, se determinará la función de trans-
ferencia del sistema.
3.1 3.105 3.11 3.115 3.12 3.125 3.13 3.135 3.14 3.145 3.15
x 10
4
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
Tiempo (s.)
Ve
lo
ci
da
d 
(R
PM
)
Figura 2.4: Respuesta Transitoria ante entrada tipo escalón
2.3.1.3. Determinación de la Función de Transferencia
Del análisis de la respuesta transitoria de la salida ante una estrada tipo escalón se
obtiene una aproximación de la función de transferencia del sistema que representa dicha
25
respuesta ante una misma entrada tipo escalón. Para lo cual se ha tomado 3 puntos
en el tiempo de la curva generada. El primer punto es el origen del escalón denotado
como t0, el segundo punto es el origen de la respuesta transitoria denotado como tδ y el
tercer punto, es el tiempo para el cual la medida de la respuesta transitoria sea el 63%
de la magnitud total del valor de establecimiento (2000 RPM), es decir el punto en el
tiempo en el cual la salida del sistema tiene un valor 1260 RPM aproximadamente ,
siendo este punto denotado como t63.
En la figura 2.5, se aprecia el retardo de la respuesta transitoria de la salida ante una
entrada tipo escalón, en el cual se encuentra los puntos t0 y tδ, cuyos valores son 0.28
segundos y 0.4 segundos respectivamente. De su diferencia se obtiene el tiempo τˆ para
el modelamiento de la función de transferencia.
20 40 60 80 100 120 140
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
X: 40
Y: 0.05562
Tiempo (ms)
Ve
lo
ci
da
d 
(R
PM
)
Retardo de la respuesta del Sistema ante entrada escalón
X: 28
Y: 0.3897
Figura 2.5: Retardo de la respuesta transitoria ante una entrada escalón
En la figura 2.6, se aprecia la diferencia de tiempo entre el punto t63 y el punto tδ.
De su diferencia se ha obtenido el tiempo Tˆd para el modelamiento de la función de
transferencia.
0 100 200 300 400 500
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
X: 40
Y: 0.05562
Tiempo (ms)
Ve
lo
ci
da
d 
(R
PM
)
X: 93
Y: 1254
Figura 2.6: Punto t63
Con la determinación de ambas diferencias de tiempo se procede a calcular la función
de transferencia con las siguientes ecuaciones.[24]
26
kˆ = yf − y0
uf − u0 (2.11)
τˆ = t63 − tδ (2.12)
Tˆd = tδ − t0 (2.13)
Gˆ(s) =
kˆ
τˆ s+ 1 exp(−Tˆds) (2.14)
Debido al escalamiento de la entrada u para que se aprecie la llegada al punto final
(set point), el valor real de uf es aproximadamente 185 VDC. Es debido a ello, que en
la función de transferencia se ve representado el voltaje de armadura del motor como
parámentro de entrada y la velocidad como parámetro de salida.
Siendo el rango de variación del voltaje de armadura de 0 - 185 VDC y el rango de
velocidad de 0 - 2000 RPM, se genera la función de transferencia aproximada.
G(s) =
10,81
0,53s+ 1 exp(−0,12s) (2.15)
2.3.2. Identificación mediante la Herramienta de Identificación de Sis-
temas
El GUI es la interfaz gráfica de una herramienta del Matlab denominada Identificación
de Sistemas, la cual permite identificar sistemas hasta de tercer orden, en los cuales
puede ocurrir retardos, además de permitir la inclusión de un cero y un integrador al
sistema de ser requerido para poder determinar con mayor precisión el modelo. Siendo
la precisión del modelo determinada por la misma herramienta según la función de
transferencia obtenida y los datos ingresados.
Mediante este método de corroboración, se logra calcular de forma más precisa la
función de transferencia que corresponde según la respuesta transitoria de la salida ante
una entrada tipo escalón. Para determinar la función de transferencia, la herramienta de
identificación de sistemas minimiza la diferencia entre la salida teórica del modelo y la
salida medida en cada instante. El criterio de minimización es una norma ponderada de
los errores obtenidos en cada instante de tiempo. Para ello se ha tomado los datos de la
respuesta transitoria obtenida de manera experimental, para comprobar los resultados
obtenidos anteriormente, generando los siguientes resultados.[25]
27
2.3.2.1. Aproximación del Modelo a un Sistema de Primer orden con re-
tardo
En la figura 2.7, mediante la interfaz gráfica de la herramienta de Identificación de
sistemas podemos escoger las características de la función a aproximar según los datos
obtenidos de entrada y salida. Para nuestro caso, se aproxima primero a un modelo de
primer orden con retardo y los resultados se muestran en las figuras 2.8 y 2.9 .
Figura 2.7: Modelamiento de la Respuesta Transitoria Modelo del Proceso a una función
de primer orden
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550
0
500
1000
1500
2000
2500
Time (ms)
Ve
lo
ci
da
d 
(R
PM
)
Modelo de la salida simulada vs medida 
 
 
Medida
Estimada
Figura 2.8: Aproximación del sistema una función de Primer orden con retardo
28
0 1 2 3 4 5 6
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
X: 0.37
Y: 0.3897
Tiempo (s)
 
 
Ve
lo
ci
da
d 
(R
PM
)
Salida FT1 
Entrada
Salida Real
Figura 2.9: Respuesta transitoria del sistema ante una entra tipo escalón
De los resultados obtenidos mediante la herramienta, se obtuvo un índice de adecua-
ción o porcentaje de aproximación proporcionado por la herramienta de 98.91% de la
respuesta transitoria en la salida ante una entrada tipo escalón generada por la función
de transferencia aproximada para un sistema de primer orden con retardo. Además
de contar con un elevado índice de adeacuación también existe una notoria similitud
gráfica de ambas respuestas.
A partir de la estimación del sistema a una función se transferencia de primer orden
con retardo se encontró la siguiente función de transferencia aproximada:
G(S) =
10,7
0,499s+ 1 exp(−0,1476s) (2.16)
2.3.2.2. Aproximación del Modelo a un Sistema de Segundo orden con
retardo
En la figura 2.10 se muestra la selección del modelo a aproximar, basándose en la
respuesta transitoria de la salida ante una entrada tipo escalón. Generándose un modelo
de segundo orden con retardo , cuyos resultados de la aproximación se muestran en la
figura 2.11.
29
Figura 2.10: Modelamiento de la respuesta transitoria del proceso a una función de
segundo orden
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
Tiempo (s)
Ve
lo
ci
da
d 
(R
PM
)
 
 
Medida
Estimada
Figura 2.11: Aproximación del sistema a una función de Segundo orden con retardo
De los resultados obtenidos mediante la herramienta de identificación, se obtuvo un
índice de adecuación o porcentaje de aproximación proporcionado por la herramienta
de identificación de 83.76% para la respuesta transitoria en la salida ante una entrada
tipo escalón generada por la función de transferencia aproximada para un sistema de
segundo orden con retardo. Dicho índice es inferior en comparación al obtenido en la
estimación del sistema para una función de primer orden, así mismo existe una falta
de similitud gráfica entre la respuesta real y la estimada.
Apartir de la aproximación del sistema a una función de transferencia de segundo orden
se obtiene la siguiente función de transferencia:
30
G(s) =
10,736
(0,46063s+ 1) (0,45901s+ 1) exp(−0,11807s) (2.17)
2.3.2.3. Aproximación del Modelo a un Sistema de Segundo orden con
retardo y un cero.
En la figura 2.12, se muestra la selección de un modelo de segundo orden con un cero
y retardo, al cual se va a estimar la respuesta transitoria de la salida ante una entrada
tipo escalón. Generándose los siguientes resultados de la aproximación, los cuales se
muestran en las figuras 2.12, 2.13 y 2.14.
Figura 2.12: Modelamiento de la respuesta transitoria del proceso a una función de
segundo orden con un cero
31
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
Tiempo (s)
Ve
lo
ci
da
d 
(R
PM
)
 
 
Estimada
Medida
Figura 2.13: Aproximación del sistema a una función de segundo orden con retardo y
un cero
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
Tiempo (s)
Ve
lo
ci
da
d 
(R
PM
)
 
 
Salida FT2Z
Entrada
Salida Real
Figura 2.14: Respuesta transitoria ante entrada escalón real y la estimada
De los resultados, se obtuvo un índice de adecuación o porcentaje de aproximación
proporcionado por la herramienta de identificación de 99.12% para una función de
tranferencia de segundo orden con cero, la cual relaciona la respuesta transitoria en
la salida con su entrada tipo escalón. Dicho índice de adecuación, es el mas elevado
obtenido, así mismo existe una notoria similitud gráfica entre la respuesta real del
sistema y la respuesta estimada. Generándose a partir de la aproximación, la siguiente
función de transferencia aproximada:
G(s) =
10,77(0,35923s+ 1)
(0,55021s+ 1) (0,31005s+ 1) exp(−0,15681s) (2.18)
2.3.2.4. Modelo del motor DC a emplear
Para el diseño del sistema de identificación de fallas, se seleccionó la función de trans-
ferencia de segundo orden y un cero mostrada en al ecuación 2.19, debido tener un
índice de adecuación del 99.12% cuyo valor es mayor en comparación con los demás
índices obtenidos, 83.76% y 97.97%, para los modelos de segundo orden y primer orden
respectivamente, obtenidos mediante la herramienta de identificación de sistemas.
G(s) =
10,77(0,35923s+ 1)
(0,55021s+ 1) (0,31005s+ 1) exp(−0,15681s) (2.19)
32
2.4. Escenario de Fallas
Los orígenes de las fallas en cualquier planta o proceso son diversos, lo mismo ocu-
rre en un motor de corriente contínua. Entre los principales orígenes encontramos las
fallas estructurales, que ocurren debido principalmente a la acción del contacto entre
elementos propios del motor asi como mala ubicación de elementos del motor, como
inclinación del eje del motor o mal posicionamiento del colector, generándose un des-
gaste continuo con el uso. Un ejemplo adecuado de falla estructural seria el desgaste en
las escobillas, al estar en contacto permanente con el colector tienen un desgaste mas
perceptible en tiempos cortos, lo cual genera fallas como cortocircuito en el colector.
Pero las fallas estructurales no solamente son internas, sino también se consideran las
fallas del controlador o ley de control que determina su correcto funcionamiento, un
ejemplo sería un control de velocidad de un motor, en el cual se pueden manifestar
fallas debido a errores humanos o problemas internos del controlador, lo que originan
un mal funcionamiento general del motor.
Además de las fallas estructurales, encontramos las fallas aditivas por lectura de los
sensores, para el caso del motor de corriente continua sería la lectura de velocidad
mediante un tacómetro u otro elemento de lectura de velocidad, debido que al ser
elementos los cuales se gastan con el transcurso del tiempo debido a rozamiento de
componentes internos, generan lecturas erroneas que conllevan a la aplicación de una
incorrecta ley de control u otra acción que modifica el correcto comportamiento del
motor.
Asi mismo, encontramos fallas aditivas en el actuador, por ejemplo entre los principales
actuadores en plantas industriales, encontramos gruas, montacargas, compresores y
como unidades de emergencia o de espera que requieren de servicios de baterías energía
de reserva para obtener una alta fiabilidad.
Para ejemplificar un caso de falla en el actuador en un motor de corriente continua, se
considera a una faja transportadora, la cual falla debido a problemas de rodamientos,
haciendo que la velocidad de trabajo normal descienda, por consiguiente la ley de
control se ve modificada generándose una alteración al trabajo normal del motor el
cual puede sobreexceder las características máximas de trabajo del motor, conllevando
a fallas internas del motor.[26]
Fallas a detectar e identificar
En el desarrollo de la presente tesis, se ha considerado analizar las fallas aditivas pre-
sentes en el sensor del sistema del modelo lineal e invariante en el tiempo del sistema
obtenido , el cual está compuesto por el motor de corriente continua de excitación in-
dependiente, su actuador y sensor. Por ello el sistema de detección a diseñar analizará
la presencia de sólo una falla a la vez durante el desarrollo o ejecución del sistema.
Entre las fallas aditivas a considerar se encuentran las fallas tipo escalón y tipo rampa,
las cuales son representadas como una entrada desconocida en el sistema.
33
Así mismo, una perturbación es también una entrada desconocida actuante en la plan-
ta, por ello físicamente no existe diferencia entre una perturbación y una falla aditiva
certera. La distinción es más bien subjetiva, debido a que ante una entrada aditiva
desconocida, se considera como falla aditiva a las entradas cuya presencia queremos de-
tectar e identificar. Sin embargo, se considera como perturbaciones a aquellas entradas
que deseamos ignorar y que el sistema no sea afectado por ellas. Considerando de esta
manera una falla aditiva como una perturbación que deseamos detectar e identificar.[27]
34
Capítulo 3
Diseño de un sistema de
Detección y Aislamiento de fallas
3.1. Filtro de Kalman
En 1960, R.E. Kalman publicó un artículo describiendo un método recursivo de solución
para problemas de filtrado lineal en datos discretos. Desde ese momento, debido prin-
cipalmente a los avances tecnológicos en el procesamiento digital, el filtro de Kalman
ha sido sujeto de extensas investigaciones y aplicaciones, particularmente en el área de
navegacion autónoma o asistida.[28]
En forma teórica, un filtro de Kalman es una herramienta que puede estimar las varia-
bles en un buen rango del proceso. En términos matemáticos, el filtro de Kalman estima
de forma precisa los estados en sistemas dinámicos lineales. El filtro de Kalman es un es-
timador estadísticamente óptimo con respecto de cualquier función cuadrática de error
de estimación.
En la figura 3.1, se muestra el proceso de estimación del filtro de Kalman para un
proceso lineal.
Figura 3.1: Dinámica de ciclos de predicción consecutiva y filtrado en Filtros de Kalman
[3]
El filtro de Kalman no sólo funciona bien en práctica, también teóricamente es atractivo
porque se puede demostrar que de todos los posibles filtros, es el que mejor minimiza
la varianza de la estimación del error. Los filtros de Kalman suelen aplicarse en los
sistemas de control embebidos porque al controlar un proceso, como paso previo se
requiere una estimación precisa de las variables del proceso.[28]
35
3.1.1. El Filtro de Kalman Discreto
El proceso a estimar
El filtro de Kalman apunta a resolver el problema general de estimar el estado x ∈ Rn de
un proceso controlado discreto el cual es gobernado por una ecuación lineal estocástica
diferencial.
xk = Fxk−1 +Gu+ wk−1 (3.1)
con una lectura de estado y ∈ Rn
yk = Hxk + vk (3.2)
donde las variables aleatorias wk y vk representan el ruido de proceso y el ruido de
lectura respectivamente. Ambos ruidos son asumidos como ruidos blancos gaussianos e
independientes uno del otro.
p(w) ∼ N(0, Q) (3.3)
p(v) ∼ N(0, R) (3.4)
La matriz de F de dimensines nxn en la ecuación 3.1 describe el estado anterior en el
tiempo k− 1 con respecto al estado actual k, la matriz G de dimensiones nx 1 describe
la entrada control opcional u ∈R1 para el estado x y la matriz H de dimensiones mxn
en la ecuación de lectura 3.2 describe el estado de la lectura de yk.[29, 28]
Origen computacional del filtro
Definimos x como la estimación previa del estado al tiempo k teniendo conocimiento
del proceso previo al tiempo k, y la estimación posterior del estado dado la lectura
yk. Podemos definir un error de estimación tanto previo como posterior de la siguiente
manera:
error de estimación previo:
e−k = Xk − Xˆk|k−1 (3.5)
error de estimación posterior:
ek = Xk − Xˆk|k (3.6)
36
La covarianza del error de estimación previo esta definida como
Pk|k−1 = E
[
e−k e
−T
k
]
(3.7)
y la covarianza del error de estimación posterior esta definida como
Pk = E
[
eke
T
k
]
(3.8)
En las derivadas de las ecuaciones para el filtro de Kalman, se busca encontrar una
ecuación que calcula una estimación posterior de estado Xˆk como una combinación
lineal de una estimación previa Xˆk|k−1 y una diferencia ponderada entre una medición
actual yk y una medida de la predicción HXˆk|k−1 se muestra en la ecuación 3.9
Xˆk|k = Xˆk|k−1 +K
(
yk −HXˆk|k−1
)
(3.9)
La diferencia (yk - Hxˆ−k ) en la ecuación 3.9 es llamada la innovación de la lectura, o
el residuo. El residuo refleja la discrepancia entre la medición prevista Hxˆ−k y la actual
lectura yk. Un residuo de cero significa que ambas estan en completo acuerdo.[29, 28]
La matriz K de dimensiones nxm en la ecuación 3.9 es elegida para ser la ganancia o
mezcla de factores que minimiza la covarianza posterior del error Pk mostrada en la
ecuación 3.9. La minimización puede ser realizada sustituyendo la ecuación 3.9 en la
definición del error ek, sustituyendolo en la ecuación 3.8, posteriormente tomando la
derivada con respecto a K e igualandola a cero, y entonces generándose la solución para
K.
Una de las formas que minimiza K esta dada por
KK = Pk|k−1HT
(
HPk|k−1HT +R
)−1
(3.10)
De la función de K, se puede apreciar que cuando la covarianza del error de lectura se
acerca a cero (R→ 0), la ganancia Kk tiende a H−1.
l´ım
Rk→0
Kk = H−1 (3.11)
De otro lado, cuando la covarianza del error de estimación previo se acerca a cero
(Pk|k−1 → 0) , la ganacia Kk tiende a cero.
l´ım
P−k→0
Kk = 0 (3.12)
Otra forma de entender el valor de la ganancia Kk es que mientras la covarianza del
error de lectura R se acerca a 0, la lectura actual yk se vuelve mas confiable, mientras
que la lectura de medición prevista HXˆk|k−1 es cada vez menos confiable. De otro lado,
37
cuando la covarianza del error de estimación previo Pk|k−1 se acerca a cero, la lectura
actual yk se vuelve cada vez menos confiable, mientras que la lectura de medición
prevista HXˆk|k−1 es cada vez mas confiable.[29, 28]
El modelamiento del filtro de Kalman en un modelo de espacio estado en el cual se
considera la entrada Uk se representa mediante las siguientes ecuaciones:
Xˆk+1|k = FXˆk|k +GUk (3.13)
Xˆk|k = Xˆk|k−1 +Kkεk (3.14)
εk = Yk −HXˆk|k−1 − JUk (3.15)
donde Kk es la ganancia de Kalman, que proviene matemáticamente de la covarianza
de la estimación del error Pk|k−1 y la covarianza de la innovación o residuo Σk y es
dado de la siguiente manera:
Kk = Pk|k−1HTΣ−1k (3.16)
Pk|k−1 = FPk|kF T +Q (3.17)
Pk|k = (In −KkH)Pk|k−1 (3.18)
Σk = HPk|k−1HT +R (3.19)
Estas formulas pueden ser demostradas por inducción usando la distribucion condicional
de (XTk+1, Y Tk )Tdadas las observaciones pasadas y
k−1
1 . Siendo la innovación ortogonal a
las observaciones pasadas, es decir: [29, 28]
E(εk|yk−11 ) = 0 (3.20)
3.1.1.1. Estabilidad del Filtro de Kalman
El tiempo de invarianza asintótica y la estabilidad del filtro de Kalman son importantes
para las aplicaciones, además de ser utilizado en el cálculo de la función de verosimilitud
de las observaciones en un modelo de estado-espacio.
Debido a las ecuaciones, el filtro de Kalman se puede resumir como:[29, 28]
Xˆk+1|k = F¯ Xˆk|k +GUk + FKkYk (3.21)
F¯k = F (In −KkH)
38
Kk = Pk|k−1HT (HPK|K−1HT +R)−1
Suponiendo que el error de covarianza Pk|k−1 converge a un estado de equilibrio cuyo
valor es P, donde P es la solución de la llamada ecuación algebraica Riccati:
P − FPF T + FPHT (HPHT +R)−1HPF T −Q = 0 (3.22)
Suponemos aquí que HPHT +R es invertible; las condiciones suficientes para ello son:
R no singular, o P no singular y H es de un rango completo. En este caso, la matriz
del filtro en estado de transición FK y la ganancia Kalman Kk también convergen a los
valores de estado estable F¯ y K, dados por:
F¯ = F (In −KH) (3.23)
K = PHT (HPHT +R)−1
Una solución real positiva, simétrica, semidefinida de la ecuación algeraica de Riccati
3.22 se dice que es una fuerte solución si la correspondiente matriz de transición de
estado del filtro H tiene todos sus autovalores dentro o sobre el círculo unitario. [29, 28]
Ahora Ps es una fuerte solución única de la ecuación 3.22 y también Ks y F sean las
correspondientes ganancia y matriz de transición de estado del filtro en estado estable
dados por la ecuación 3.23, dando el siguiente resultado:
Teorema de Estabilidad: Dada la condición de que (H,F ) es observable y (P0−Ps) > 0
o P0 = Ps, entonces
l´ım
k→∞
Pk|k−1 = Ps (3.24)
l´ımk→∞ Kk = Ks
l´ımk→∞ F¯k = F¯s
Note que si Q = DDT , y si (F,D) tienen modos incontrolables en el circulo unita-
rio luego Fs tendrá las mismas raices en el circulo unitario, pero la convergencia y
estabilidad del filtro de Kalman se mantienen asegurados en este caso. [29, 28]
Función de Probabilidad:
39
La función de probabiliad de una secuencia de observaciones gaussianas Y1, . . . , YN ,
modelado por el modelo de estado-espacio. La probabilidad de las observaciones es la
probabilidad de las innovaciones, dado que la secuencia del parámetro innovación es
tambien un proceso Gaussiano, entonces tenemos:
− 2lN =
N∑
k=1
[
ln(det Σk) + εkΣ−1k ε
T
k
]
(3.25)
el cual asintóticamente para un N grande se conviente en:
− 2lN = N ln det(HPHT +R) + trace
[
(HPHT +R)−1
N∑
k=1
εkε
T
k
]
(3.26)
donde P es el estado de equilibrio de la solución de la ecuación 3.22.[29, 28]
3.1.2. Modelo gráfico del Filtro de Kalman
Teniendo en cuenta las ecuaciones del Filtro de Kalman, se presenta en la figura 3.2,
un diagrama del procesamiento de las matrices para el filtro de Kalman.
Figura 3.2: Modelamiento del Filtro de Kalman[5]
3.2. Cambios Aditivos en Modelos Lineales
Los cambios aditivos considerados, son cambios que son sumados a las ecuaciones del
modelo lineal invariante en el tiempo, es por ello que son básicamente cambios en el
valor medio de la distribución de las señales observadas. Precisando, se considera a
(Yk)1≤k≤n una secuencia de observaciones con dimension r.
Los cambios aditivos pueden ser representados de diferentes maneras, según el modelo
lineal seleccionado, entre los cuales tenemos: cambios en modelos ARMA, cambios en
modelos de regresión, cambios en modelos de estado-espacio, etc.
40
En un proceso físico, las fallas aditivas se asocian generalmente a desviaciones en las
mediciones de sensores o actuadores, mientras que las fallas multiplicativas se asocian
a averias de componentes, fallas en la escala de sensores o la variación de parámetros
físicos del proceso.[5]
3.2.1. Cambios Aditivos en Modelos de estado espacio
Se considera el sistema lineal dinámico descrito mediante una representación de estado
espacio de las señales observadas (Yk)k
Xk+1 = FXk +GUk +Wk (3.27)
Yk = HXk + JUk + Vk (3.28)
donde el estado X, las lecturas Y y el control U tienen dimensiones n, r y m respec-
tivamente, y donde (Wk)k y (Vk)k son dos ruidos blancos gaussianos e independientes,
con matrices de covarianza Q y R respectivamente.
Los cambios aditivos sucitados en un tiempo desconocido t0 pueden ser formalmente
definidos de la siguiente manera:
Xk+1 = FXk +GUk +Wk + ΓΥx (k, t0) (3.29)
Yk = HXk + JUk + Vk + ΞΥy (k, t0) (3.30)
donde Γy Ξ son matrices de dimensiones n x n˜ y r x r˜ respectivamente, y donde
Υx (k, t0) y Υy (k, t0) son los perfiles dinámicos de los cambios asumidos de dimensio-
nes n˜ ≤ n y r˜ ≤ r respectivamente. Estas matrices y perfiles no son necesariamente
completamente conocidos de antemano. El instante t0 es el cambio desconocido en el
tiempo, por lo cual Υx (k, t0) = Υy (k, t0) = 0 para k < t0
Los cambios aditivos en un modelo de estado espacio, pueden ser representados me-
diante la figura 3.3
41
Figura 3.3: Cambios aditivos en un modelo de estado espacio[5]
Para obtener las ecuaciones recursivas y fórmulas explícitas, para el perfil dinámico
de la marca del cambio en la innovación en el caso general. Donde la innovación es la
salida el filtro de Kalman correspondiente al modelo sin cambio. Según la terminología
usada para determinar las ecuaciones del filtro de Kalman, esta salida del proceso es
exactamente la innovación del proceso antes del cambio y es el residuo después del
cambio en el proceso.[5]
Al igual que en el filtro de Kalman, la estimación del estado x se puede resumir de la
siguiente manera. De un paso por delante de predicción, la innovación εk y la estimación
de estado se dan en las ecuaciones 3.13, 3.14 y 3.15 mientras que la ganancia de Kalman
Kk, el estado de error de estimación de covarianzas Pk|k, y la covarianza de la innovación
Σk se dan en las ecuaciones 3.16, 3.17, 3.18 y 3.19. La función lineal del modelo está
expresada en las ecuaciones 3.27, 3.28 y el efecto aditivo del cambio ΞΥy,ΓΥx en
las ecuaciones 3.29 y tras llevar a la descomposición del estado, su estimación, y la
innovación:
Xk = X0k + α(k, t0) (3.31)
Xˆk|k = Xˆ0k|k + β(k, t0)
εk = ε0k + ρ(k, t0)
donde el exponente 0 es por las cantidades correspondientes al modelo que no ha
cambiado 3.27 , 3.28 donde el último término de cada ecuación representa el efecto
del cambio ΞΥy,ΓΥx, el cual ocurre a un tiempo t0 ≤ k. Las funciones α, β y ρ son pre
procesados con la ayuda de las siguientes recurrencias:
α(k, t0) = Fα(k − 1, t0) + ΓΥx(k − 1, t0) (3.32)
42
β(k, t0) = (I −KkH)Fβ(k − 1, t0) +Kk[Hα(k, t0) + ΞΥy(k, t0)]
β(k, t0) = Fβ(k − 1, t0) +Kkρ(k, t0)
ρ(k, t0) = H [α(k, t0)− Fβ(k − 1, t0)] + ΞΥy(k, t0)
con las condiciones iniciales:
α(t0, t0) = 0
β(t0 − 1, t0) = 0
Notar que la marca del cambio de innovación ρ(k, t0) depende tanto de k y t0 duran-
te el comportamiento transistorio del filtro de Kalman. Cuando el estado estable es
alcanzado, la marca depende solamente de la diferencia de k y t0 , es decir k − t0.
La forma cerrada de las expresiones α, β y ρ asumiendo el comportamiento estado
estable del filtro de Kalman y usando el dominio del tiempo y representaciones de
funciones de transferencia, se obtiene:
ρ(k, t0) = Σk−t0−1i=0 HF¯ iΓΥx(k−i−1, t0)−Σk−t0−1i=0 HF¯ iFΓKΞΥy(k−i−1, t0)+ΞΥy(k, t0)
(3.33)
En resumen, la innovación εk (salida del filtro de Kalman) tiene la siguiente distribución:[5]
L(εk) = N (0,Σk) cuando no ocurre cambio (3.34)
L(εk) = N (ρ(k, t0),Σk) luego del cambio
3.2.2. Innovación y Redundancia
3.2.2.1. Innovación
El concepto de innovación en procesos aleatorios, es el residuo de la proyección asociada
con la estimación condicional dadas las observaciones pasadas. La importancia del con-
cepto de la innovación en la detección de cambios aditivos es debido al efecto generado
por los cambios aditivos en la innovación, o de forma mas precisa en el residuo, en el
cual también se generan cambios en su valor medio.
En otras palabras, los cambios aditivos mantienen su efecto aditivo en virtud de la
transformación de las observaciones a las innovaciones. [5]
43
3.2.2.2. La redundancia
El concepto de redundancia es ampliamente utilizado en aplicaciones de teoría de con-
trol y se relaciona básicamente con la disponibilidad de varias medidas verdaderas o
artificiales de las mismas cantidades físicas.
La redundancia directa cobra importancia cuando varios sensores miden las mismas
cantidades. Mientras, que la redundancia analítica refiere al uso de ambas medidas
tanto físicamente disponibles como de medidas procesadas. Las medidas artificiales
procesadas se construyen con la ayuda de relaciones dinámicas disponibles. Siendo
las relaciones de redundancia o también llamadas vectores de paridad, las cuales son
combinaciones lineales de valores de salidas actuales o presentes y valores pasados de
entradas y salidas. Pueden ser obtenidas a través de proyecciones sobre el complemento
ortogonal de la gama de la observación o de la matriz de la observabilidad. [5]
3.3. Diseño del Sistema de Detección de Fallas
El diseño del sistema de detección de fallas, tiene como objetivo la correcta detección de
una falla a la vez, a pesar de los ruidos al sistema generados por ruido blanco gaussiano
del proceso, así como también el ruido de la lectura del sensor.
Para el diseño del sistema, se determina su modelo, basándonos en el rango lineal del
sistema, para poder determinar su función de transferencia como función de la entrada y
salida del sistema, basándonos en su respuesta transitoria. Es debido, a que el sistema a
identificar fisicamente contempla al actuador, el motor de corriente continua y el sensor
de velocidad, que es considerado un modelo total y no puede disgregarse en sistemas
elementales reales básicos tales como los antes mencionados.
Consideraciones de Diseño
En el diseño del sistema de detección de fallas se han considerado la presencia de una
sola falla presente en el sistema debido a que el sistema sólo compempla una salida con
valores accesibles a ser leidos. En cambio, si el sistema presentara salidas accesibles a
la lectura, se podria analizar la precedencia de la falla, haciendo uso de otros elementos
como un banco de filtros de Kalman para cada salida del sistema, debido a que cada
filtro de Kalman es diseñado para determinar la existencia de una falla presente en
cada una de las diferentes salidas del sistema. [27]
Así mismo, se ha considerado la existencia de ruido blanco gaussiano en el proceso y en
la lectura del sensor, basándose en el teorema del límite central para poder demostrar
la presencia de los ruidos gaussianos.
Teorema del Limite Central Se considera un grupo de variables aleatorias x1 (t),
x2 (t) . . .xn (t). Se asume independencia entre ellas, idénticamente distribuidos con
media µx y desviación estandar σx.
44
Definiendo una nueva variable como zn = x1 (t) +x2 (t) + . . .+xn (t) . La forma básica
del teorema de límite central formula que:
l´ım
n→∞P
(
Zn − nµx
σx
√
n
)
< β = 1√
2pi
βˆ
ξ
exp
[
−ξ2
2]
dξ
Esto es la distribución del promedio de Zn/n, normalizada con su media µxy la desvia-
ción estándar σx/
√
n se aproxima a una distribución normal estándar N (0, 1) cuando
n → ∞. Nótese que, no se ha asumido sobre la distribución de la variable x , sólo su
independencia mutua y la existencia de su media y desviación estándar.[27]
En la figura 3.4, se muestra el esquema general de detección y diagnóstico de fallas,
en el cual la señal de falla f(k) actua sobre el sistema determinando diferentes modos
de operación (modo de operación normal y modo de operación con falla). Siendo las 2
etapas presentes para la determinación de la falla son: una etapa de generación de los
residuos y una etapa posterior de evaluación de residuos.
El bloque de generación de residuos realiza el cálculo del vector de residuos r(k) mientras
tanto el bloque de evaluación de residuos determina las fallas presentes en el sistema,
de acuerdo a la información obtenida anteriormente acerca de las posibles fallas, pro-
cesando el vector de residuos. El resultado de la evaluación se representa mediante una
señal de diagnóstico d(k) la cual es una estimación del vector f(k).
Figura 3.4: Esquema general de detección y diagnóstico de fallas
45
Generación de residuos
La generación de residuos tiene como base la comparación de las salidas entre 2 modelos
diferentes con una misma entrada, un modelo sin fallas o modo de operación normal y
otro con fallas o modo de operación con fallas, ambos basados en el modelamiento ma-
temático del comportamiento del sistema. Mediante la comparación de ambos modelos
en el tiempo se generan diferencias en la salida entre el modelo con fallas y el modelo
sin fallas. Estas diferencias en el tiempo serán los patrones que se procesarán para la
determinación de la existencia de la falla.
Evaluación de Residuos
La identificación de la fallas tiene como objetivo el análisis o procesamiento de las di-
ferencias o residuos generados por la etapa de generación de residuos para la correcta
determinación de la existencia de la falla basándose en información obtenida previa-
mente sobre las características que determinan la presencia de la falla.
3.3.1. Generación de Residuos
Para la generación de los residuos se hará uso de 2 modelos , uno con fallas aditivas
y otro sin fallas, ambos afectados por ruidos blancos gaussianos en el proceso y en la
lectura. Mediante la revisión del comportamiento actual del sistema frente al modelo
esperado o normal del sistema se buscará que ambos modelos sean consistentes, en caso
de no ser consistentes, esa inconsistencia es expresada como un residuo a analizar.
En un esquema de FDI, los residuos corresponden a variables de análisis encargadas de
representar información crucial para la detección y el diagnóstico. Entre las propiedades
deseables para una variable residuo son las siguientes:
Tener valores cercanos a cero para modos de operacion normal, es decir modos
donde no ocurre una falla.
Que algún residuo alcance valores diferentes a cero para los modos de operación
con fallas.
Ser poco sensibles a errores de modelación.
Ser muy sensibles a fallas
Responder rápidamente a fallas.
Estocásticamente, un residuo se puede caracterizar como una variable aleatoria que en
modo de operación normal posee media cero y que en un modo de operación con falla
posee media diferente de cero.
En el modelo a analizar, se le agregarán fallas aditivas, estas fallas harán variar el
comportamiento normal del sistema, al cual se le aplicará el filtro de Kalman discreto,
mediante el cual se estimarán de manera óptima las variables internas del sistema y su
46
respectiva salida del sistema en función de las variables internas del sistema, aún cuando
estas sean afectadas por ruido blanco gaussiano tanto en el proceso como en la lectura.
Generándose una variable interna en el filtro de Kalman, denominada innovación, que
determinará la existencia de fallas en el sistema.
3.3.1.1. Aplicación del filtro de Kalman discreto
Para la aplicación del filtro de Kalman, debemos modificar el modelo obtenido de su
función de transferencia a un modelo de estado espacio.
El criterio de selección de la función de transferencia que representa al sistema es
determinado por el índice de adecuación obtenido experimentalente mediante la he-
rramienta de identificación de sistemas, obteniéndose el máximo índice de adecuación
para la siguiente función de transferencia:
G(s) =
10,77(0,35923s+ 1)
(0,55021s+ 1) (0,31005s+ 1) exp(−0,15681s) (3.35)
Haciendo uso del código presentado en el algoritmo 3.1, se convierte a la función de
transferencia del motor DC del sistema continuo en un sistema discreto en espacio
estado con un tiempo de muestreo de 0.1 segundos. Generándose las siguientes matrices
en estado espacio:
F=

0,0415 −0,3998 −0,0986
0,3230 0,7856 −0,0545
0,0893 0,3672 0,9916

G=

0,3230
0,1786
0,0276

H=
[
−2,8349 3,7384 3,2882
]
J=
[
0
]
Posteriormente a la identificación de las matrices para el sistema discreto que definen el
comportamiento del sistema, estas mismas matrices serán utilizadas como parámetros
en el filtro de Kalman para su elaboración y utilización, logrando poder estimar el
comportamiento del sistema frente a los ruidos blancos gaussianos de proceso y de
lectura.
47
Modelamiento del Filtro de Kalman para el motor de corriente contínua
El modelamiento presentado del filtro de Kalman, es para un sistema general SISO en
donde intervienen las 4 matrices que definen el comportamiento del sistema. En la figura
3.5, se representa el proceso matemático recursivo que realiza el filtro de Kalman para
poder realizar la estimación óptima del estado del proceso, mediante la minimización
de la covarianza de la innovación o residuo haciendo uso de la ganancia de Kalman.
Figura 3.5: Representación gráfica del modelamiento del filtro de Kalman
Mediante este modelamiento recursivo y discreto del filtro de Kalman, se estimará la
dinámica del comportamiento del sistema del motor de corriente contínua, variando
según los valores de las covarianzas de los ruidos blancos gaussianos, tanto del proceso
Q, como de lectura R.
3.3.2. Evaluación del Residuo
El residuo generado mediante la comparación o incongruencia de los sistemas con falla
y sin falla, es analizado o procesado para poder determinar con certeza la presencia
de la falla en el sistema, basándose en características obtenidas previamente sobre el
comportamiento de las fallas.
Para una determinación de la presencia de falla, se analizará la innovación proveniente
48
del filtro de Kalman εk en el estacionario del sistema. Donde la innovación en el filtro
de Kalman en el sistema se define mediante las ecuaciones 3.36 , 3.37 y 3.38.[5]
Xˆk+1|k = FXˆk|k +GUk (3.36)
Xˆk|k = Xˆk|k−1 +Kkεk (3.37)
εk = Yk −HXˆk|k−1 − JUk (3.38)
Los parámetros estadísticos a analizar de la innovación εk serán la media y la desvia-
ción estándar, dichos parámetros serán utilizados para poder determinar con certeza
la presencia de la falla, ante cambios generados por ruido gaussiano blanco tanto para
lectura , como del proceso.
Definiendo la salida de la innovación como un desviación normal mediante las ecuaciones
3.39, tanto para el proceso sin fallas así como el proceso donde existe presencia de
falla.[5]
L(εk) = N (0,Σk) cuando no ocurre cambio (3.39)
L(εk) = N (ρ(k, t0),Σk) luego del cambio
Esta definición es valida cuando el filtro de Kalman ha llegado a su estado estable o
constante, donde la covarianza del error Pk|k−1 converge a un estado estable P, y se
comprueban las ecuaciones 3.40:
l´ım
k→∞
Pk|k−1 = Ps (3.40)
l´ımk→∞ Kk = Ks
l´ımk→∞ F¯k = F¯s
Mediante el análisis de la media de la innovación, se determina un residuo el cual
cumple con las caracteristicas deseables de ser cero o cercano a este valor para procesos
donde no se encuentra la falla y tener un valor diferente de cero en el proceso donde se
encuentra la falla, siendo la expresión ρ(k, t0) la cual se definió previamente mediante
las ecuaciones 3.33.[5]
3.3.2.1. Diagnóstico por Ratio de Verosimilitud Generalizado
El diagnóstico de residuos en la detección de fallas usualmente envuelve el diagnóstico
basándose en 2 hipótesis, la primera donde el residuo presenta una media igual a 0,
49
representando el caso donde no existe falla, mientras que la segunda hipótesis, donde
la media es distinta a 0 y es representada como la presencia de falla.[30, 5]
H1 : µr = 0 no falla
H0 : µr = 1 falla
Este método de diagnóstico depende de la magnitud de la media del residuo y es
afectado también por la distribución del ruido inducido al sistema y las entradas. El
diagnóstico se diseñará mediante el ratio de la función logarítmica de verosimilitud
(log-likelihood ratio) , el cual permite generar una función, a partir de la innovación
proveniente del filtro de Kalman para poder realizar una desición entre ambas hipótesis
H1 y H0 [27][30, 5]
El diagnóstico está basado en la función de densidad gaussiana de probabiliadad, ob-
tenida de la observación de los residuos obtenidos del parámetro innovación, siendo su
función:
p(µ,σr) =
1√
2piσr
exp
[
−(y − µ)
T (y − µ)
2σ2r
]
donde µ es la media de y, y σ2r es la varianza de los residuos y − µ.[30, 5]
Función Logarítmica de Verosimilitud
La función de verosimilitud de una sola observación y de una variable aleatoria es igual
a su densidad de probabilidad, por lo que la función logarítmica de verosimilitud es el
logaritmo natural de la función de verosimilitud:
lθ (y) = ln pθy
Donde la secuencia de observaciones yk es agrupada en el vector Y N1 , siendo su función
logarítmica de verosimilitud [30, 5]
lθ
(
Y N1
)
= ln
N∏
i=1
pθ
(
yi| Y i−11
)
lθ
(
Y N1
)
=
N∑
i=1
ln pθ
(
yi| Y i−11
)
donde pθ
(
y1| Y 01
)
, pθ (y1).
Si las observaciones son independientes, la función se puede denotar como:
50
lθ
(
Y N1
)
=
N∑
i=1
ln pθ (yi)
Ratio de Función Logarítmica de Verosimilitud (LLR)
El ratio de función logarítmica de verosimilitud es una importante medida en la teoría
de detección estadística, es usado para hacer una desición entre 2 hipótesis, H1 y H0
acerca de la distribucion de y caracterizado por θ.[30, 5]
H0 : pθ = pθ0
H1 : pθ = pθ1
El ratio logarítmico de verosimilitud s (y)esta denotado por:
s (y) = ln
pθ1 (y)
pθ0 (y)
= lθ1 (y)− lθ0 (y)
Siendo la medida de s (y) positiva cuando H1 es mas parecido a H0.
Para un conjunto de observaciones Y N1 el LLR esta dado por:
s
(
Y N1
)
= lθ1
(
Y N1
)
− lθ0
(
Y N1
)
Por consiguiente, el LLR de una observación y de un vector aleatorio con distribución
gaussiana con una matriz de covarianza Σ, con una media de 0 para la hipótesis H0 y
con una media µ para la hipótesis H1está dado por:[30, 5]
s (y) = µTΣ−1y − 12µ
TΣ−1µ
donde se ha utilizado la simetria de la matriz de covarianza Σ = ΣT ⇔ Σ−1 = (Σ−1)T
Detección de saltos desconocidos en una variable aleatoria con distribución
gaussiana
Considerando una variable aleatoria con distribucción gaussiana y , con una matriz de
coviarianza constante Σ, pero con una media variable µ. Antes de tiempo de cambio t0
la media es igual a µ0 y desde el tiempo t0 la media toma el valor de µ1. Suponiendo
que µ0 es un valor conocido, entonces el tiempo de cambio t0 y el tamaño del salto
ν=µ1 − µ0 son desconocidos.[30, 5]
Dadas las observaciones Y N1 se consideran 2 hipótesis:
(no cambio) H0 : µ = µ0
51
(cambio) H1 : µ = µ0 para k < t0 y µ = µ1 para k > t0
Usando el LLR de las variables observadas almacenadas Y N1 esta dado por:[30, 5]
s
(
Y N1
)
=
N∑
k=t0
yTk Σ−1 (µ1 − µ0)−
1
2 (µ1 + µ0)
T Σ−1 (µ1 − µ0)
s
(
Y N1
)
= (N − t0 + 1)
(
µˆT1 Σ−1 −
1
2 (2µ0 + ν)
T Σ−1ν
)
Siendo µˆ1 = 1N−t0+1
∑N
k=t0 yk, la media de y desde el tiempo k = t0 hasta k = N , se
considera como la estamación de µ1 .
La máxima estimación de verosimilitud del salto ν es deducido mediante la derivación
de la ecuación e igualandola a 0.
νˆ (t0)=
1
N − t0 + 1
N∑
k=t0
yk − µ0 = µˆ1 − µ0
El ratio de función logarítmica de verosimilitud es calculado maximizándose con res-
pecto a t0.[30, 5]
sˆ
(
Y N1
)
=
N∑
k=t0
yTk Σ−1νˆ (to)−
1
2 (2µ0 + νˆ (t0))
T Σ−1νˆ (t0)
3.3.2.2. Implementación del Sistema de evaluación de la Innovación
3.3.3. Simulación de Filtro de Kalman para la detección de Fallas
En la figura 3.6, se muestra el diagrama general desarrollado para la detección de fallas
aditivas presentes en un sistema SISO de un motor de corriente continua, haciendo uso
de la herramienta de simulación Simulink de Matlab. Se ha discretizado el sistema con
un tiempo de muestreo de 0.1 segundos. Mediante este diagrama, se visualiza salida
de cada uno sistemas estudiados, motor sin fallas, motor con falla escalón y con falla
rampa. Asi mismo, permite la realización del proceso de estimación mediante el filtro de
Kalman, y su variable denominada “innovación” mediante la cual se genera un análisis
estático de sus parámetros a fin de ser utilizados para la correcta identificación de la
falla.
52
Figura 3.6: Herramienta de Simulación General para la detección de fallas
Para poder hacer uso del detector de fallas, es necesario hacer uso del algoritmo 3.1,
el cual permite inicializar las condiciones iniciales del filtro de Kalman, así mismo las
matrices que definen el comportamiento dinámico del proceso, las cuales son utilizadas
como parámetros del diseño del filtro de Kalman para estimar correctamente el proceso
.
53
Algorithm 3.1 Inicialización del Sistema de Detección de Fallas
% Tiempo de muestreo de señal discreta
Ts = 100e-3;
%Función de transferencia del retardo del sistema
[num_d,den_d] = pade(0.15,1);
%Función de transferencia del sistema continuo
num=[3.8689071 10.77]; den=[0.1705926 0.86926 1];
%Generación de la función de transferencia del sistema con retardo
num_sys=conv(num_d,num); den_sys=conv(den_d,den);
Gm=tf(num_sys,den_sys);
State= ss(Gm);
%% Diseño discreto
% Transformación del sistema continuo a discreto
dsys = c2d(State, Ts,’zoh’);
%%% Disgregación de las matrices en estado espacio
A = dsys.a;
B = dsys.b;
C = dsys.c;
D = dsys.d;
%Parámetros del ruido gaussiano del proceso y del sensor
Q1 = 0.16;% Varianza del ruido de proceso
R1 = 16;% Varianza del ruido del sensor
Q=Q1; R=R1;
Qm=sqrt(Q);
Rm=sqrt(R);
% Estado inicial
x0 = zeros(3,1);
x1 = zeros(3,1);
% Parámetros de Filtro de Kalman siendo los mismos parámetros del modelo del motor
% Covarianza inicial del estado X
P1 = 0.5*eye(3);
P0 = 0.5*eye(3);
%Parámetros de la falla
step_v=100;
falla=0.010*step_v*10.77;% representa al 0.1 de magnitud de falla en condiciones nor-
males
fault_time=75;% tiempo de la falla
% Selector de tipo de fallas a analizar:
% canal 1 = SIN FALLA
% canal 2 = FALLA TIPO ESCALÓN
% canal 3 = FALLA TIPO RAMPA
canal=1;
El sistema general de detección mostrado, es representado mediante subsistemas para
un mayor entendimiento y claridad de las acciones de detección de fallas. Mediante este
sistema de simulación, se puede simular 3 tipos diferentes de fallas aditivias seleccio-
nando adecuadamente la variable denominada canal.
Existen un conjunto de esquemas de fallas a analizar, las cuales pueden ser seleccionadas
eligiendo el canal adecuado de análisis, el cual se define en la inicialización del sistema
54
.canal 1, proceso sin fallas
canal 2, proceso con falla aditiva tipo escalón
canal 3, proceso con falla aditiva tipo rampa
Se muestran a continuación los subsistemas creados
El esquema del sistema sin fallas, es representado mediante la figura 3.7, el cual re-
presenta un modelo idealizado del motor de corriente continua, en el cual existe ruido
blanco gaussiano sin presencia de falla alguna.
Figura 3.7: Modelo del Sistema sin Fallas
El primer esquema del sistema con fallas es representado mediante la figura 3.8, donde
la falla aditiva tipo escalón es representada mediante la señal tipo escalón. Mientras que
el ruido gaussiano blanco es agregado al sistema como un factor aditivo presente en el
sistema y es representado mediante la multiplicación del bloque denominado random
number con un factor multiplicativo según la magnitud del ruido presente.
55
Figura 3.8: Modelo del sistema con fallas tipo escalón
El segundo esquema del sistema con fallas es representado mediante la figura 3.9, donde
la falla aditivia tipo rampa es representada medante la señal tipo rampa. Siendo también
este modelo afectado por ruido gaussiano blanco tanto en el proceso, como en la lectura.
Figura 3.9: Modelo del sistema con fallas tipo rampa
56
El subsistema para el cálculo estadístico de los residuos generados del sistema en el
transcurso del proceso de detección de falla, se representa mediante la figura 3.10.
Siendo, el subsistema para el análisis estadístico de la innovación procedente del filtro
de Kalman, el mismo utilizado para el cálculo estadístico de los residuos, mediante el
cual se supervisan patrones estadísticos tales como media y desviación de la innovación
procedente del filtro de Kalman.
Figura 3.10: Subsistema para el cálculo estadístico del proceso
Para la correcta detección de la falla fuera de linea (off-line) se hace uso del algoritmo
3.2 de ratio logarítmico de verosimilitud implementado en código matlab, previamente
se ha generado los datos necesarios mediante la simulación del motor DC ante las fallas
aditivas.
57
Algorithm 3.2 Implementación de FDI fuera de linea
%Inicializacion
S_est=[];
t_est=[];
v_est=[];
u0=0;%media de la innovacion antes de falla
for i=30/Ts:100/Ts
sli=[];
for j=30/Ts:i
vj=1/(i-j+1)*sum(Innovacion.signals.values(j:i))-Media.signals.values(j);
sji=0;
for k=j:i
sji=sji+vj/Desviacion.signals.values(k)^2*(Innovacion.signals.values(k)-
Media.signals.values(k)-vj/2);
end;
sli=[sli;sji];
end;
% Determinacion de los valores de máxima verosimilitud
[s_max,t0_e]=max(sli);
v_e=1/(i-t0_e+1)*sum(Innovacion.signals.values(t0_e:i))-u0;
S_est=[S_est;s_max];
t_est=[t_est;t0_e];
v_est=[v_est;v_e];
end;
% Convirtiendo en una estructura con tiempo
S_est1.signals.values=double(S_est);
S_est1.time=double(Tiempo(300:1000));
figure;plot(S_est1.time,S_est1.signals.values);
%Convirtiendo en una estructura
t_est1.signals.values=double(30+t_est/10);
t_est1.samples=double(Tiempo(300:1000)*10);
figure;plot(t_est1.samples,t_est1.signals.values);
figure;plot(Diferencia.time,Diferencia.signals.values);
figure;plot(Media.time,Media.signals.values);
figure;plot(Desviacion.time,Desviacion.signals.values);
figure;plot(Innovacion.time,Innovacion.signals.values);
58
Capítulo 4
Pruebas y Análisis de Resultados
4.1. Introducción
Para el análisis de la efectividad de la generación de la innovación en la detección de
fallas haciendo uso del algoritmo del Filtro de Kalman aplicado al motor de corriente
continua, se ha tomado como base la comparación entre los resultados obtenidos al
realizar un sistema de detección de fallas mediante el uso del ratio generalizado de
verosimilitud (GLR) aplicado a los cambios aditivos en sistemas lineales, como el motor
DC estudiado.
Se analizarán 2 tipos de fallas aditivas teoricas para la verificación de la efectividad del
algoritmo de Kalman. Las fallas aditivas son tipo escalones y tipo rampas.
4.2. Resultados y Análisis de la Innovación
Mediante simulación se generaron diferentes comparaciones del modelo del sistema con
falla y sin falla, con su respectivo filtro de Kalman para estimar las variables del sistema
ante presencia de ruido blanco gaussiano.
Para el análisis del sistema de diagnóstico de presencia de fallas, se ha considerado
tomar desde los 30 segundos debido a que es el tiempo en que se demora el filtro de
Kalman en estabilizarse y el sistema se encuentra en estado estable. Generando los
siguientes resultados:
4.2.1. Modelamiento sin Falla
Se generó los resultados siguientes en un sistema sin presencia de fallas para poder
tomar como referencia.
59
4.2.1.1. Innovación del Filtro de Kalman
En la figura 4.1, se muestra el parámetro innovación proveniente del filtro de Kalman
el cual es afectado por ruido gaussiano.
Figura 4.1: Innovación proveniente del Filtro Kalman sin presencia de falla
4.2.1.2. Media de la Innovación
En la figura 4.2, se muestra la media de la innovación proveniente del filtro de Kalman
para un modelamiento sin presencia de falla de los 30s hasta los 100s. Se comprueba
que la media del parámetro innovación es en promedio 0 ó con tendencia a 0.
Figura 4.2: Media de la Innovación proveniente del Filtro Kalman sin presencia de falla
4.2.1.3. Desviación de la Innovación
En la figura 4.3, se muestra la desviación de la innovación proveniente del filtro de
Kalman para un modelamiento sin presencia de falla de los 30s hasta los 100s. Se
comprueba que la desviación del parámetro innovación se mantiene constante en el
tiempo con un grado de error menor al 3%.
60
Figura 4.3: Desviación de la Innovación proveniente del Filtro Kalman sin presencia de
falla
4.2.2. Modelamiento con Falla
Mediante simulación se generaron diferentes modelos de sistemas con fallas aditivas ,
haciendo uso del filtro de Kalman para estimar las variables del sistema ante presencia
de ruido blanco gaussiano de lectura y proceso.
4.2.2.1. Modelamiento de Falla Aditiva tipo escalón
En este modelo se generó una falla aditiva tipo escalón de magnitud 10,7 RPM (1% de
velocidad de trabajo normal) a los 75 segundos de iniciado el sistema. Generándose los
siguientes resultados:
Salida del modelo del motor DC
En la figura 4.4, se muestra el parámetro de salida del modelo del motor DC, específi-
camente la velocidad del motor DC. Donde se aprecia la falla aditivia tipo escalón a los
75 segundos tomando como comparación la salida del sistema sin presencia de falla. Sin
embargo este comportamiento del sistema ante una falla aditiva no seria identificable
si no tomamos como comparación la salida del modelo sin presencia de falla. Es debido
a ello, el uso del parámetro innovación que nos provee de las parámetros estadísticos
necesarios para su correcta identificación de la falla.
Figura 4.4: Comparación en la salida para modelos sin falla y con falla escalón
61
Innovación del Filtro de Kalman
En la figura4.5, se muestra el parámetro innovación proveniente del filtro de Kalman el
cual es afectado por el ruido gaussiano.
Figura 4.5: Innovación proveniente del Filtro Kalman en presencia de falla escalón
Media de la Innovación
En la figura 4.6, se muestra la media de la innovación con la presencia de una falla
tipo escalón a los 75 segundos de iniciado el sistema. Siendo esta falla no sólo percep-
tible visualmente, además es facilmente identificable mediante el método estadístico
propuesto.
Figura 4.6: Media de la Innovación proveniente del Filtro Kalman en presencia de falla
escalón
Desviación de la Innovación
En la figura 4.7, se muestra la desviación de la innovación con la presencia de una falla
a los 75 segundos de iniciado el sistema. Siendo la diferencia entre la desviacion de la
innovación en un modelo sin fallas y a la desviación para un proceso sin falla nula o
casi nula, verificándose la teoría aplicada para fallas aditivas presentada.
62
Figura 4.7: Desviación de la Innovación proveniente del Filtro Kalman en presencia de
falla escalón
4.2.2.2. Modelamiento de Falla Aditiva tipo rampa
En este modelo se generó un falla tipo aditiva tipo rampa cuya pendiente es 1 RPM/s y
su punto de partida o referencia es a los 75 segundos de iniciado el sistema. Obteniéndose
los siguientes resultados:
Salida del modelo del motor DC
En la figura 4.8, se muestra el parámetro de salida del modelo del motor DC, específi-
camente la velocidad del motor DC. Donde se aprecia la falla aditivia tipo rampa a los
75 segundos tomando como comparación la salida del sistema sin presencia de falla. Sin
embargo este comportamiento del sistema ante una falla aditiva no seria identificable
si no tomamos como comparación la salida del modelo sin presencia de falla. Es debi-
do a ello, el uso del parámetro innovación que nos provee de las variables estadísticas
necesarias para su correcta identificación de la falla.
Figura 4.8: Comparación en la salida para modelos sin falla y con falla rampa
Innovación del Filtro de Kalman
En la figura,4.9, se muestra el parámetro innovación proveniente del filtro de Kalman
el cual es afectado por el ruido gaussiano.
63
Figura 4.9: Innovación proveniente del Filtro Kalman en presencia de falla rampa
Media de la Innovación
En la figura 4.10, se muestra la media de la innovación con la presencia de una falla tipo
rampa a los 75 segundos de iniciado el sistema. Siendo esta falla no sólo perceptible
visualmente, además es identificable mediante el método estadístico propuesto.
Figura 4.10: Media de la Innovación proveniente del Filtro Kalman en presencia de falla
rampa
Desviación de la Innovación
En la figura 4.11, se muestra la desviación de la innovación con la presencia de una
falla a los 75 segundos de iniciado el sistema. Siendo la diferencia entre la desviacion
de la innovación en un modelo sin fallas y a la desviación para un proceso sin falla nula
o casi nula, verificándose la teoría aplicada para fallas aditivas presentada.
64
Figura 4.11: Desviación de la Innovación proveniente del Filtro Kalman en presencia
de falla rampa
4.2.3. Análisis de los Resultados
Analizando los resultados obtenidos para el modelamiento con falla y sin fallas, se
aprecia que haciendo solo uso de la innovación del filtro de Kalman no es suficiente
para la determinación de las fallas aditivas por lo que es necesario hacer uso de los
parámetros media y desviación de la innovación.
Por ello, realizando una comparación de la media de la innovación para el modelo con
falla y sin falla, se aprecia el cambio en el media para cada falla aditiva presentada, lo
cual permite la determinación de la falla basándose en los cambios de la media de la
innovación haciendo uso del sistema de diagnóstico de fallas.
Analizando posteriormente la desviación de la innovación se aprecia que el cambio
en el tiempo es casi nulo para el modelo con y sin falla, esto confirma el criterio de
diseño expuesto, mediante el cual ante una falla aditiva, la innovación proveniente
del filtro de Kalman conserva los valores de la desviación en el tiempo, mientras que
genera un cambio aditivo distinguible en la media de la innovación. Permitiendo asi la
determinación, tanto del tiempo de ocurrencia de la falla, asi como la magnitud de la
misma, siendo el análisis de la innovación el método mas confiable del uso del filtro de
Kalman para la determinación de la falla.
Es debido a la minimización de la presencia del ruido blanco gaussiano en el proceso de
la innovación del filtro de Kalman y la disminución de la dependencia de la magnitud
de la falla aditiva, que el análisis de la innovación generada por el filtro de Kalman es
un método con mejores prestaciones para la correcta determinación de las fallas que
hacer uso de la comparación de los residuos o diferencias existentes en las salidas de
los sistemas con fallas aditivas y sin fallas.
65
4.3. Resultados y Análisis del GLR
Mediante el algoritmo de Ratio generalizado de verosimilitud (GLR) se generán las
variables estadísticas suficientes para la correcta determinación de la falla, haciendo
uso de los valores de innovación, media de la innovación y desviación de la innovación
en el transcurso del tiempo.
Haciendo uso de los parámetros estadísticos de la innovación, se logra estimar la magni-
tud de los saltos en cada instante del tiempo de la innovación del sistema, siendo dichos
saltos usados para el cálculo de la máxima verosimilitud determinando de manera con-
fiable la presencia de falla en el sistema
Se presentan los resultados para los modelos sin presencia de falla, con falla aditiva
tipo escalón y falla aditiva tipo rampa.
4.3.1. Modelamiento sin Falla
En las figuras 4.12 y 4.13, se presentan los resultados obtenidos al aplicar el método de
detecion de fallas fuera de línea haciendo uso del ratio generalizado de verosimilitud.
Figura 4.12: Ratio generalizado de verosimilitud en modelo sin fallas
66
Figura 4.13: Estimación del tiempo de falla en modelo sin fallas
4.3.2. Modelamiento con Falla
4.3.2.1. Modelamiento con Falla aditiva tipo escalón
En las figuras 4.14 y 4.15, se presentan los resultados obtenidos al aplicar el método de
detección de fallas fuera de línea haciendo uso del ratio generalizado de verosimilitud
para la detección de la falla escalón.
Figura 4.14: Ratio generalizado de verosimilitud en modelo con falla escalón
67
Figura 4.15: Estimación del tiempo de falla en modelo con falla escalón
En el cuadro 4.1, se muestran los resultados obtenidos con diferentes amplitudes de
falla aditiva tipo escalón bajo un mismo tiempo de falla. Donde las variables mostradas
representan:
Falla (%), incremento instantáneo de la falla en el sistema.
m (t=75s), media de la innovación a los 75 segundos de iniciado el sistema, antes de la
presencia de falla.
m (t=100s), media de la innovación a los 100 segundos de iniciado el sistema, despues
de la presencia de falla.
GLR (t=75s), ratio de verosimilitud a los 75 segundos de iniciado el sistema, antes de
la presencia de falla.
GLR (t=100s), ratio de verosimilitud a los 100 segundos de iniciado el sistema, despues
de la presencia de falla.
Falla (%) m (t=75s) m (t=100s) GLR (t=75s) GLR (t=100s) Detección
0.1 0.0689 0.1216 2.0534 0.3461 NO
0.2 0.0689 0.1787 2.0534 0.7256 NO
0.3 0.0689 0.2359 2.0534 1.3060 NO
0.4 0.0689 0.2931 2.0534 2.0519 NO
0.5 0.0689 0.3502 2.0534 3.0913 NO
0.6 0.0689 0.4074 2.0534 4.4576 NO
0.7 0.0689 0.4645 2.0534 6.0679 NO
0.8 0.0689 0.5217 2.0534 7.9188 SI
0.9 0.0689 0.5780 2.0534 10.0069 SI
1 0.0689 0.6360 2.0534 12.3280 SI
2 0.0689 1.2076 2.0534 47.2167 SI
Cuadro 4.1: Resultados obtenidos para detección de fallas tipo escalón
68
4.3.2.2. Modelamiento con Falla aditiva tipo rampa
En la figura 4.16 y 4.15, se presentan los resultados obtenidos al aplicar el método de
detecion de fallas fuera de línea haciendo uso del ratio generalizado de verosimilitud
para la detección de la falla rampa.
Figura 4.16: Ratio generalizado de verosimilitud en modelo con falla rampa
Figura 4.17: Estimación del tiempo de falla en modelo con falla rampa
En el cuadro 4.2, se muestran los resultados obtenidos con diferentes pendientes de
falla aditiva rampa bajo un mismo tiempo de falla generándose diferentes incrementos
totales para fallas aditivas tipo rampa. Donde las variables mostradas representan:
Falla (%), incremento total de la falla en el sistema.
m (t=75s), media de la innovación a los 75 segundos de iniciado el sistema, antes de la
presencia de falla.
m (t=100s), media de la innovación a los 100 segundos de iniciado el sistema, despues
de la presencia de falla.
69
GLR (t=75s), ratio de verosimilitud a los 75 segundos de iniciado el sistema, antes de
la presencia de falla.
GLR (t=100s), ratio de verosimilitud a los 100 segundos de iniciado el sistema, despues
de la presencia de falla.
Falla (%) m (t=75s) m (t=100s) GLR (t=75s) GLR (t=100s) Detección
0.1 0.0689 0.0984 2.0534 0.3504 NO
0.2 0.0689 0.1224 2.0534 0.4604 NO
0.3 0.0689 0.1514 2.0534 0.7792 NO
0.4 0.0689 0.1803 2.0534 1.1806 NO
0.5 0.0689 0.2093 2.0534 1.6644 NO
0.6 0.0689 0.2383 2.0534 2.2304 NO
0.7 0.0689 0.2673 2.0534 2.8785 NO
0.8 0.0689 0.2963 2.0534 3.6082 NO
0.9 0.0689 0.3252 2.0534 4.4193 SI
1 0.0689 0.3542 2.0534 5.3113 SI
2 0.0689 0.6440 2.0534 18.5634 SI
Cuadro 4.2: Resultados obtenidos para detección de fallas tipo rampa
4.3.3. Análisis de los Resultados
En la figura 4.13, se aprecia la estimación del tiempo de falla para un sistema sin presen-
cia de falla, considerándose como tiempo de falla aquel valor de tiempo que permanezca
estable o constante ante el incremento de las muestras de innovación procesadas. Sin
embargo, para la estimación del tiempo de falla en el sistema sin presencia de falla
no tiende a un valor constante en el rango de muestras procesadas por el algoritmo,
significando la no presencia de falla en el tiempo de procesamiento del algoritmo de
detección de fallas fuera de linea.
Sin embargo, las figuras 4.15 y 4.17, se muestra como ante el aumento de muestras
procesadas de innovación, las estimacioes del tiempo de falla aditiva escalón y ram-
pa tienden a un valor constante, siendo dichos tiempos 75 segundos y 81.5 segundos
respectivamente.
Esto evidencia que el sistema de detección fuera de linea ante fallas escalones puede
detectar la falla aditiva con un mayor grado de rapidez que el sistema de detección ante
fallas tipo rampa, debido a que la falla escalón es una falla instantantea que afecta al
sistema como se evidencia en la figura 4.14 , mientras que la falla tipo rampa es una
falla que va aumentando su valor de manera progresiva. Por lo que a los 81.5 segundos
el incremento sucesivo de la falla rampa afecta al sistema como se evidencia en la figura
4.16.
Analizando los resultados obtenidos para el modelamiento con falla tanto escalón y
rampa resumidos en los cuadros 4.1 y 4.2, donde haciendo uso de los parámetros media y
desviación de la innovación del filtro de Kalman se ha generado el ratio de verosimilitud,
70
el cual permite la correcta determinación de la presencia de falla aditiva en el sistema.
Detectando correctamente, fallas aditivas tipo escalón, cuya amplitud de falla supere
el 0.8% del valor de la variable de salida del sistema y fallas aditivas tipo rampa, cuya
incremento total supere el 0.9% de la variable de salida del sistema.
De igual manera, se aprecia la relación directa existente entre el del ratio de verosimi-
litud y de la media de la innovación ante cambios de la amplitud de la falla.
Comprobando que el método de Ratio de Verosimilitud es una método confiable para
la correcta determinación de las fallas aditivas presentadas, debido a que permite la
determinación del tiempo de falla.
71
Conclusiones
Se diseñó un sistema de detección e identificación de fallas fuera de linea que permite una
correcta determinación de fallas aditivas presentes en el sensor de velocidad de un motor
de corriente continua con excitación independiente, empleando las propiedades estadís-
ticas del parámetro “innovación” proveniente del filtro de Kalman para la creación del
ratio generalizado de verosimilitud, el cual permite la correcta detección de la falla.
El sistema de detección de fallas desarrollado incluye un procedimiento de análisis de
residuos denominado Ratio generalizado de verosimilitud basado en las estadísticas de la
“innovación” provenientes del filtro de Kalman, que permite detectar satisfactoriamente
fallas aditivas tales como: escalones y rampas.
Se desarrollaron tareas de identificación del motor de excitación independiente, llegando
a la conclusión de que este dispositivo se representa como un sistema de segundo orden
con un retardo de tiempo de 0.15 segundos, cuyo modelo fue discretizado y utilizado
para el diseño de los parámetros utilizados en el filtro de Kalman.
Desarrollando once pruebas con diferentes magnitudes de fallas para cada una de las
fallas aditivas propuestas, para el sistema diseñado se concluye que es capaz de detectar
fallas aditivas tipo escalón superiores al 0.8% de la magnitud de la velocidad de trabajo
del motor estudiado y fallas aditivas tipo rampa cuyo incremento total supera el 0.9%
de la magnitud de la velocidad de trabajo del motor estudiado.
72
Recomendaciones
La cantidad y variedad de técnicas de detección e identificación de fallas son abun-
dantes y aplicables bajo diferentes consideraciones de diseño y a diferentes modelos de
sistemas. Por consiguiente es recomendable el análisis y la comparación en eficiencia de
la metodología de detección presentada con otras metodologías aplicables para modelos
de fallas aditivas.
El sistema presentado a analizar en un sistema SISO el cual contempla solo una entrada
y una salida del sistema, sin embargo es recomendable analizar la factibilidad de la
aplicación del filtro de Kalman para diferentes sistemas entre ellos SIMO, MISO y
MIMO. Asi mismo, analizar la viabilidad del uso del filtro de Kalman en sistemas
variantes en el tiempo y en sistemas no lineales.
Se recomienda que toda planta industrial de gran envergadura posea uno o varios
sistemas de detección e identificación de fallas, mediante los cuales se disminuya riesgos
humanos, pérdidas materiales y disminuir tiempos de parada.
Una recomendación es revisar e investigar metodologías de detección e identificación
de fallas aplicables a fallas de origen multiplicativo, las cuales afectan a la función de
transferencia del sistema modificando sus parámetros internos y por consiguiente su
respuesta a diferentes entradas.
Las perturbaciones como uno de los elementos presentes en un sistema real no ha sido
considerado en el diseño del sistema de detección e identificación de fallas, por lo que
se recomienda hacer su inclusión en el modelamiento del sistema conviertiendose en un
sistema mas próximo a la realidad.
73
Bibliografía
[1] K. Y. S. N. K. Venkat Venkatasubramanian, Raghunathan Rengaswamy, “A review
of process fault detection and diagnosis part i: Quantitative model-based methods,”
Computers and Chemical Engineering, vol. 27, pp. pp 293–311, 2003.
[2] R. Iserman, “Model-based fault detection and diagnosis status and applications,”
IFAC, 2004.
[3] M. I. Ribeiro, “Kalman and extended kalman filters: Concept, derivation and pro-
perties,” Institute for Systems and Robotics, 2004.
[4] K. Y. S. N. K. Venkat Venkatasubramanian, Raghunathan Rengaswamy, “A review
of process fault detection and diagnosis part ii: Qualitative models and search
strategies,” Computers and Chemical Engineering, vol. 27, pp. pp 313 – 326, 2003.
[5] I. V. Michele Basseville, Detection of Abrupt Changes: Theory and Application.
Prentice-Hall, 1993.
[6] P. Frank, “On-line fault detection in uncertain nonlinearsystems using diagnostic
observers: a survey,” International Journal Systems Science, vol. 25, pp. 2129–
2154, 1994.
[7] A. Willsky, “A survey of design methods for failure detection in dynamic systems,”
Automatica, vol. 12, pp. 601–611, 1976.
[8] R. Clark, “The dedicated observer approach to instrument fault detection,” In
Proceedings of the 15th IEEE-CDC, pp. pp 237–241, 1979.
[9] M. Massoumnia, “A geometric approach to the synthesis of failure detection fil-
ters,” IEEE Transactions on Automatic Control AC, vol. 31, pp. 839–846, 1986.
[10] D. S. D. W. . K. D. Y. Dingli, J.B. Gomm, “Fault diagnosis for a gas-fired fur-
nace using bilinear observer method,” in In Proceedings of the American control
conference, 1995.
[11] H. Y. . M. Saif, “Nonlinear adaptive observer design for fault detection,” in In
Proceedings of the American Control Conference, pp. pp. 1136–1139, 1995.
[12] V. Vaclavek, “Gross systematic errors or biases in the balance calculations,” Prague
Institute of technology, 1984.
74
[13] Y. Ben-Haim, “An algorithm for failure location in a complex network,” Nuclear
Science and Engineering, vol. 75, pp. pp 191–199, 1980.
[14] Y. Ben-Haim, “Malfunction location in linear stochasticsystems-application to nu-
clear power plants,” Nuclear Science and Engineering, vol. 85, pp. pp 156 – 166,
1983.
[15] . S. D. J.Gertler, “A new structural framework for parity equation-based failure
detection and isolation,” Automatica, vol. 26, pp. pp 381 – 388, 1990.
[16] K. A. E. O. Iri, M. and M. . H., “An algorithm for diagnosis of system failures in
the chemical process,” Computer & Chemical Engineering, vol. 3 (1-4), pp. pp.489–
493, 1979.
[17] S.-L. J.-J. Hui Cheng, Mats Nikus, “Enhanced causal digraph reasoning for fault
diagnosis with application on the paper machine short circulation process,” Mas-
ter’s thesis, Helsinki University of Technology Laboratory of Process Control and
Automation Kemistintie, 2003.
[18] S. G. Leyval, L. and F.-b. S., “Model-based causal reasoning for process supervi-
sion,” Automatica, vol. 30, pp. pp. 1295–1306, 1994.
[19] J. Montmain and G. S., “Dynamic causal model diagnostic reasoning for online
technical process supervision,” Automatica, vol. 36, pp. pp. 1137–1152, 2000.
[20] J. B. Fussell, “Fault tree analysis - state of the art,” IEEE Transactions on Relia-
bility, vol. 23 (1), pp. 51 – 53, 1974.
[21] . B.-S. de Kleer, J., “A qualitative physics based on confluences,” Artificial Inte-
lligence, vol. 24 (1-3), pp. 7–83, 1984.
[22] . K.-M. A. . . Finch, F. E., “Narrowing diagnostic focus using functional decom-
position,” American Institute of Chemical Engineers Journal, vol. 34 (1), pp. pp
130 – 140, 1987.
[23] S. J. Chapman, Maquinas Electricas. Mc Graw Hill, 3era edicion ed., 2000.
[24] K. Ogata, Modern Control Engineering. Prentice-Hall, 1998.
[25] Mathworks, “System identification toolbox user’s guide,” 2010.
[26] I. BECHTEL GROUP, Electric Motor Predictive and Preventive Maintenance Gui-
de. Nuclear Maintenance Applications Center, 2006.
[27] J. J. Gertler, Fault Detection and Diagnosis in Engineering Systems. Marcel Dek-
ker, 1998.
[28] R.E.Kalman, “A new appoach to linear filtering and prediction problems.,” Journal
of Basic Engineering, p. 12, 1960.
75
[29] G. Welch and G. Bishop, “An introduction to the kalman filter,” Department of
Computer Science, 2006.
[30] R. Fraanje, “Model-based fault detection and isolation,” 1999.
[31] A. P. Andrews., Kalman Filtering: Theory and Practice using MATLAB. John
Wiley & sons, third edition ed., 2008.
[32] G. C. Charles K.Chui, Kalman Filtering with Real-Time Applications. Spring,
fourth edition ed., 1987.
[33] D. P. . S. Kroupa, “Reduced bank of kalman filters,” in Proceedings of the 17th
World Congress, IFAC, pp. pp. 7245–7250, 2008.
76