PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ ESCUELA DE POSGRADO PROPUESTA DIDÁCTICA PARA SUPERAR LAS DIFICULTADES QUE PRESENTAN LOS ESTUDIANTES DE INGENIERÍAS AL ARTICULAR LAS REPRESENTACIONES SEMIÓTICAS EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN TESIS PARA OBTENER EL GRADO DE MAGISTER EN ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS PRESENTADO POR: ERNALDO CARUAJULCA MUÑOZ ASESOR DE TESIS: MG. MARIANO ADÁN GONZÁLEZ ULLOA MIEMBROS DEL JURADO: DRA. NORMA VIOLETA RUBIO GOYCOCHEA MG. MARIANO ADÁN GONZÁLEZ ULLOA DRA. JESÚS VICTORIA FLORES SALAZAR LIMA-PERÚ 2013 2 DEDICATORIA A Ximena Nicole, mi hija, por ser la fuerza que me impulsa seguir adelante. A Noribel, mi esposa, por ser mi apoyo constante y gran compañera. A mis queridos padres: Clemencia Muñoz Medina y Julio Caruajulca Tirado (en memoria) quienes me inculcaron los valores y el espíritu de seguir con mis estudios. 3 AGRADECIMIENTOS Agradezco enormemente al Mg. Mariano González Ulloa, mi asesor de tesis, por dedicar su tiempo, orientar y ser un guía en el desarrollo de esta investigación. Especial agradecimiento a la Dra. Jesús Flores Salazar por sus valiosas sugerencias en la elaboración del plan de tesis. Especial agradecimiento a la Dra. Norma Rubio Goycochea por sus valiosas sugerencias en la parte metodológica del desarrollo de esta investigación. Un reconocimiento especial a todos los profesores de la Maestría en Enseñanza de las Matemáticas de la Pontificia Universidad Católica del Perú, por la enseñanza recibida de ellos en las aulas de la PUCP. 4 RESUMEN En este trabajo de investigación, se propone el tratamiento de los problemas de optimización mediante el uso del software Cabrí-Géomètre II y Cabrí 3D, para articular los tipos de representaciones semióticas que producen los estudiantes de la Facultad de Ingeniería, de la Universidad Privada del Norte (UPN)- Lima, matriculados en el curso de Cálculo 1 en el semestre académico 2013-1, al resolver problemas de optimización enunciados en el lenguaje verbal y cuyos modelos matemáticos resultan ser funciones cuadráticas o cúbicas. Para esta investigación se ha tomado como marco teórico la Teoría de Registros de Representación Semiótica de Duval, la cual sirvió como referencia para el diseño de las actividades a ser trabajadas con los estudiantes, solo usando lápiz y papel; así poder detectar las dificultades que presentan al resolver los problemas de optimización enunciados en el lenguaje verbal. Dichas actividades fueron diseñadas de tal manera que se induzca al estudiante a articular el registro verbal, el registro gráfico y el registro algebraico. La planificación y elaboración de este trabajo de investigación se hizo teniendo como marco metodológico a la Ingeniería Didáctica de Artigue, la que sirvió para los análisis preliminares, la concepción y análisis a priori, la experimentación; para el análisis a posteriori y validación de las producciones de los estudiantes, al confrontar los supuestos o comportamientos esperados con los resultados observados. Luego de recoger la información y analizar las dificultades de los estudiantes, presentamos una propuesta didáctica para tratar los mismos problemas desarrollados con lápiz y papel, pero esta vez usando como recurso didáctico el software Cabrí- 5 Géomètre II y Cabrí 3D con la finalidad de mejorar la articulación entre los registros de representación semiótica. Con esta investigación queremos contribuir en la mejora de la enseñanza y aprendizaje de los problemas de contexto real, enunciados en el lenguaje verbal, relacionados con la optimización de funciones cuadráticas y cúbicas, para los estudiantes de la UPN. También contribuir con el modelo educativo de la UPN, el cual apunta a la enseñanza basado en competencias, con el uso de las TIC y centrado principalmente en el estudiante, promoviendo la experimentación e innovación. 6 ÍNDICE CAPÍTULO 1: LA PROBLEMÁTICA ............................................................................................... 9 1.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA……………………………………………....……....... 9 1.2. ANTECEDENTES………………………………………………………………………………11 1.3. JUSTIFICACIÓN DEL TEMA DE INVESTIGACIÓN……………………………………...…14 1.4. DELIMITACIÓN DEL PROBLEMA……………………………………………………….…..16 1.5. PREGUNTA DE INVESTIGACIÓN…………………………………………………………....17 1.6. OBJETIVO GENERAL………………...……………………………………………..….……...17 1.7. OBJETIVOS ESPECÍFICOS……………………………………………………………….…...17 CAPÍTULO 2: MARCO TEÓRICO Y METODOLÓGICO .............................................. …………..19 2.1. TEORRÍA DE REGISTROS DE REPRESENTACIÓN SEMIÓTICA……………………….....19 2.2. INGENIERÍA DIDÁCTICA COMO METODOLOGÍA DE INVESTIGACIÓN….....................22 CAPITULO 3: ANÁLISIS PRELIMINAR ...................................................................................... .27 3.1. ALGUNOS ASPECTOS HISTÓRICOS………….………………………………………….…..27 3.2. ANÁLISIS COGNITIVO………………..……………………………………………………….32 3.3. ANÁLISIS DIDÁCTICO………………..………………………………………………………..42 CAPITULO 4: CONCEPCIÓN Y ANÁLISIS DE LA INVESTIGACIÓN ......................................... 47 4.1. DISEÑO DE LAS ACTIVIDADES…………………………………………..………………….47 4.2. COMPORTAMIENTOS ESPERADOS....……………………………………………………….48 CAPITULO 5: FASE EXPERIMENTAL, ANÁLISIS APOSTERIORI Y VALIDACIÓN ................. 69 CAPITULO 6: PROPUESTA DIDÁCTICA USANDO EN EL SOFTWARE CABRI II ..................... 84 6.1. DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD 1, DISEÑADA EN EL SOFTWARE CABRI II……….…84 6.2. DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD 2, DISEÑADA EN EL SOFTWARE CABRI II…..……...89 6.3. DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD 3, DISEÑADA EN EL SOFTWARE CABRI II-Y CABRI 3D………………………………………………………………………………………………….93 7 CAPITULO 7: CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES .......................................................... 98 REFERENCIAS ............................................................................................................................ 104 ANEXOS ...................................................................................................................................... 107 LISTA DE FIGURAS Figura n°1: Imagen de la escalera…………………………………………………….48 Figura n° 2: Imagen de la Hoja rectangular……………………………………….…..58 Figura n° 3: Imagen de la Actividad n°3……………………………………………....63 Figura n° 4: Imagen de la Actividad n°3……………………………………………....63 Figura n° 5: Imagen de la Actividad n°3…………………………………………..…..63 LISTA DE TABLAS Tabla n°1: Clasificación de la optimización según Campero (2010) ………………..17 Tabla n°2: Registros que se utilizarán en esta investigación………………………………..…..21 Tabla n°3: Características de la Ingeniería Didáctica………………………………………... ..23 Tabla n°4: Evolución y gestación histórica de las ramas de la Matemática…..……………......39 Tabla n°5: Encuesta relativa a temas de optimización. ……………….. ….……………............85 Tabla n°6: Libros de Cálculo elegidos para el Análisis Didáctico ……………..……………....44 Tabla n°7: Análisis Didáctico de los tres Libros textos considerados para el tema de optimización ……………………………………………………………………………….85 Tabla n°8: Cronograma de actividades desarrolladas con los estudiantes.………..……….…....70 8 CAPÍTULO 1: LA PROBLEMÁTICA 1.1 Planteamiento del problema Con respecto a las Matemáticas, uno de los primeros cursos que enfrentan los ingresantes a las carreas de ingeniería dela Universidad Privada del Norte (UPN)- Lima es el Cálculo1 o Cálculo Diferencial, el cual sirve como herramienta para el estudio de otros cursos más avanzados, en los que se desarrollan la modelación y la resolución de problemas matemáticos. En esta investigación se presenta una propuesta basada en una secuencia didáctica para la enseñanza de las aplicaciones de la derivada, específicamente la resolución de los problemas contextualizados de optimización de funciones, cuyo modelo matemático resulte ser una función cuadrática o cúbica. El interés de realizar esta propuesta nace a partir de nuestra experiencia docente en las aulas de la UPN, en la cátedra del curso de Cálculo1; donde la motivación y los conocimientos matemáticos de los estudiantes, matriculados en dicho curso no son los esperados y esto se ha puesto en evidencia durante las evaluaciones sobre los contenidos del curso, en las cuales hemos podido comprobar las dificultades que presentan los estudiantes al tratar de resolver problemas matemáticos enunciados en el lenguaje verbal (ver Anexo 1) y sobre todo cómo usar la derivada de una función para dar solucionar problemas relacionados con el ámbito real y del entorno de los estudiantes. Además, la enseñanza de este contenido matemático se realiza siguiendo una estructura o secuencia algorítmica lo que hace más difícil aún el entendimiento por parte de los estudiantes del por qué es que la función alcanza su valor óptimo en determinado punto, y el estudiante ve esta situación en forma abstracta ya que no se hace uso de ninguna herramienta tecnológica para mostrar 9 cómo dicha función se comporta de forma dinámica, de tal manera que se pueda apreciar, de forma visual y manipulando el objeto, en qué puntos la función alcanza su máximo o mínimo valor. Además, lo expuesto anteriormente también lo hemos corroborado en otras investigaciones en el campo de la Educación Matemática, por ejemplo: de acuerdo con Contreras (2000), los profesores al desarrollar un tema de Análisis Matemático, nos enfrentamos a conceptos que por su propia naturaleza son problemáticos en sí mismo, como por ejemplo el tema de límites o derivadas, lo que nos conduce a optar posturas algorítmicas de modo que los problemas matemáticos sean mucho más fáciles de resolver, dejando de lado las diferentes representaciones e interpretaciones que se pudieran encontrar. De manera análoga Artigue (1995) afirma que la enseñanza tradicional del Análisis Matemático, por lo general tiende a centrarse en una práctica algorítmica, algebraica, repetitiva y que la evaluación se hace sobre las competencias adquiridas en este dominio. De este modo, los diferentes temas que se desarrollan en el curso de Cálculo 1, dependen de las definiciones de los objetos matemáticos, dejando de lado la importancia que tienen las transformaciones entre los registros de representación semiótica, debido a que no se tratan dichos objetos matemáticos a través de actividades que favorezcan las transformaciones de sus registros ni tampoco la articulación de los mismos mediante otros medios de expresión y representación como por ejemplo el uso de las tecnologías de la información y comunicación (TIC). Por las razones expuestas en los párrafos anteriores, en esta investigación presentamos los resultados de haber aplicado una secuencia didáctica de actividades, diseñadas en base al marco teórico de la Teoría de Registros de Representación 10 Semiótica de Duval (1993) y teniendo como marco metodológico a la Ingeniería didáctica de Artigue (1995), las cuales detallaremos más adelante. Además, se sugiere el uso de la tecnología de la información y comunicación como recurso para la parte correspondiente a la representación del modelo matemático. Para este fin hemos considerado como recurso didáctico el software Cabrí-Géomètre II y Cabrí 3D. 1.2 Antecedentes Motivados en plantear una propuesta para resolver problemas de optimización enunciados en el lenguaje verbal, emprendimos la pesquisa sobre investigaciones en Didáctica de las Matemáticas relacionadas con la solución de problemas de optimización, que nos sirva de aporte al desarrollo de nuestra investigación. A continuación, presentamos los resultados de nuestra búsqueda: Villegas, Castro y Gutiérrez (2009) hacen un estudio de caso sobre la solución de problemas de optimización enunciados en el lenguaje verbal, con estudiantes de licenciatura de matemáticas de la Universidad de Granada (España). Dichos investigadores están convencidos de que las representaciones juegan un papel fundamental en el pensamiento matemático, favorecen la comprensión de los conceptos matemáticos y estimulan el desarrollo de un pensamiento flexible y versátil en la resolución de problemas. Además, enfatizan que los problemas de optimización son de gran interés en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, puesto que muestran aplicabilidad y utilidad para el análisis y la resolución de cuestiones prácticas de carácter muy variado. Además, generan una motivación adicional basada en su poder aplicado y en la creatividad que requiere el uso múltiple de representaciones semióticas. Esta investigación fue la que 11 determinó el inicio para realizar nuestro estudio sobre la solución de problemas de optimización con los estudiantes de Ingenierías que estuvieron matriculados en el curso de Cálculo 1. También encontramos que Dávila, Grijalva y Bravo (2011) proporcionan una propuesta didáctica apoyada en el software GeoGebra, para la enseñanza de la derivada como la pendiente de la recta tangente, en el curso Cálculo Diferencial e Integral del área de Ingeniería de la Universidad de Sonora. El objetivo de este estudio es promover la construcción pragmática del significado de la derivada y otros objetos matemáticos del Cálculo, resolviendo problemas de optimización. Este estudio realmente nos muestra que los problemas de optimización se pueden tratar en ambientes interactivos de geometría dinámica y nos sirve de base para orientar nuestra investigación en esa dirección, por lo que en nuestro caso usaremos como recurso didáctico el software Cabri II Plus y Cabri 3D. Como también necesitábamos indagar sobre el marco teórico y metodológico para poner en marcha nuestra investigación, encontramos que Encinas y Ávila (2011) presentan parte de una investigación sobre la comprensión y competencias que estudiantes de ingeniería muestran al resolver problemas de optimización en un curso de Cálculo; dicha investigación está apoyada en el Enfoque Ontosemiótico del Conocimiento e Instrucción Matemática; los resultados muestran un bajo desempeño de los estudiantes ante esos problemas. Esta investigación es muy importante para nosotros puesto que tomaremos como un prototipo de cómo un objeto matemático puede ser abordado desde diferentes perspectivas. En nuestro caso trataremos con problemas de optimización de funciones cuadráticas y cúbicas, pero abordadas desde el punto de vista de la teoría de Registros de Representación Semiótica desarrollada por Duval. Si bien es cierto no hay muchas 12 investigaciones sobre solución de problemas de optimización tratados en ambientes interactivos de geometría dinámica y que estén apoyadas en la Teoría de Registros de Representación Semiótica de Duval, se encontraron algunas investigaciones que no necesariamente tratan el tema de optimización pero sí sustentadas en el mismo marco teórico que nos interesa, como por ejemplo los investigadores Gutiérrez y Aparicio (2007) en su tesis de maestría caracterizan las transformaciones (tratamientos y conversiones) que realiza un grupo de estudiantes de la Escuela Colombiana de Ingeniería, cuando se proponen situaciones de variación que se modelan mediante la función afín, para lo cual se estudian las producciones escritas por los alumnos. Esta tesis se fundamenta en la Teoría de Registros de Representación de Raymond Duval, de donde se toman algunos elementos que definen el marco conceptual a partir del cual se diseñan las actividades propuestas a los estudiantes y se construyen las categorías de análisis de los resultados. Esta investigación nos permite tener un panorama de cómo adaptar la Teoría de Registros Representación Semiótica en el desarrollo de los problemas de optimización enunciados en el lenguaje verbal. Consideramos como nuestro principal antecedente, al estudio realizado por Campero (2010) quien, en su tesis doctoral, proporciona una propuesta didáctica en Optimización Dinámica específicamente relacionada al caso del Cálculo de Variaciones y la Teoría de Control. Esta investigación nos sirvió para delimitar nuestro problema y para el análisis preliminar de nuestra investigación, puesto que presenta un gran análisis epistemológico con respecto al tema de optimización. 13 1.3 Justificación del tema de investigación Luego de presentar investigaciones relacionados con la optimización de funciones, y de comprobar en nuestra práctica docente las dificultades del tipo traducción verbal, algebraica y gráfica que muestran nuestros estudiantes al tratar de representar un objeto matemático en general y las funciones cuadráticas y cúbicas en particular, consideramos que es muy importante saber representar el modelo matemático obtenido de los problemas enunciados en el lenguaje verbal, relacionados con el entorno de los alumnos de ingenierías, en los que se pueda aplicar la optimización de funciones cuadráticas y cúbicas. Por tal razón, creemos que la concepción de dicho modelo matemático sería más significativa si se muestra en sus diferentes representaciones y que no solo se realicen con lápiz y papel, sino que valiéndose de las tecnologías de la información y comunicación (TIC) se muestre la representación gráfica en un ambiente de geometría dinámica en el cual se pueda apreciar el efecto que se produce en la imagen la variación de la variable independiente de la función a tratar. De acuerdo a Saiz & Acuña (2006), la inclusión de la tecnología en los ambientes educativos de educación superior como también de secundaria, están contribuyendo enormemente a la enseñanza y aprendizaje de las ciencias en general y de las matemáticas en particular. Una de las ventajas del uso de la tecnología en los procesos de enseñanza y de aprendizaje es la posibilidad de tratar dinámicamente los objetos matemáticos en diversas formas de representación dentro de ambientes interactivos, como el Cabri-Géomètre II y Cabri 3D. Estas representaciones difícilmente se pueden lograr con los medios tradicionales, como el lápiz y el papel, debido a que las construcciones geométricas en estas condiciones son estáticas. En este tipo de ambientes 14 interactivos, los objetos matemáticos se pueden manipular directamente y explorar sus propiedades y la relación entre sus elementos. Según Duval (1993), los objetos matemáticos son por naturaleza abstractos y que solo se puede acceder a ellos por intermedio de sus representaciones, por lo que su conceptualización se fundamenta en la capacidad del estudiante para identificar un concepto en diferentes registros. Por lo tanto, creemos que usar las tecnologías en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, ayuda a articular las diferentes representaciones alrededor de un objeto matemático en particular. Para tal efecto, se ha escogido el software Cabri-Géomètre II y Cabri 3D no solo por su adaptación al tratamiento y exploración de las propiedades de este tipo de problemas, relacionados con las funciones cuadráticas y cúbicas, sino porque esta investigación se realizó con alumnos de la Universidad Privada del Norte(UPN) - Lima, la cual cuenta con la licencia de funcionamiento de dicho software. Con esta investigación queremos contribuir en la mejora de la enseñanza y aprendizaje de los problemas de contexto real, enunciados en el lenguaje verbal, relacionados con la optimización de funciones cuadráticas y cúbicas, para los estudiantes de la UPN. También contribuir el modelo educativo de la UPN, el cual apunta a la enseñanza basada en competencias, con el uso de las TIC y centrado principalmente en el estudiante, promoviendo la experimentación e innovación. 15 1.4 Delimitación del problema La optimización es una rama bastante amplia dentro de las matemáticas por lo que Campero (2010), afirma de una manera muy general y esquemática, que la optimización puede clasificarse de acuerdo al siguiente cuadro: Tabla nº1: Clasificación de la optimización Fuente: Campero (2010, p.11) Campero (2010) señala que: La optimización estática busca optimizar en un instante, por lo que el tiempo no juega un rol relevante. Este tipo de optimización se inició de manera formal con los griegos y en la actualidad, está relacionada con los problemas de optimización que se tratan en los cursos de Cálculo Diferencial de una variable y en el de Cálculo de Varias Variables. Mientras que la optimización dinámica, tal como lo indica su nombre, está relacionada con la optimización de sistemas cambiantes en el tiempo, por lo tanto, no se trata de encontrar soluciones de puntos óptimos, sino de trayectorias óptimas. Su estudio se profundiza en los cursos de Cálculo de Variaciones, la Teoría Clásica de Control; la Programación Lineal y no Lineal. 16 Desde la perspectiva sobre la clasificación de los problemas de optimización señalados líneas arriba, en esta investigación queremos ser específicos delimitando el estudio solo de aquellos problemas correspondientes a la línea de la optimización estática, enunciados en el lenguaje verbal cuyos modelos matemáticos resulten ser funciones cuadráticas o cúbicas; de una variable independiente. 1.5 Pregunta de investigación Las anteriores consideraciones permiten plantear la siguiente interrogante: ¿Qué propuesta ayudaría a superar las dificultades que presentan los estudiantes, para articular los registros de representación semiótica, en la solución de problemas de optimización cuyos modelos matemáticos son funciones cuadráticas o cúbicas? 1.6 Objetivo general Proponer el tratamiento de los problemas de optimización mediante el uso del software Cabri-Géomètre II y Cabri 3D, para articular los registros de representación semiótica. 1.7 Objetivos específicos Para alcanzar el objetivo general pretendemos lograr los siguientes objetivos específicos: i. Analizar las representaciones con lápiz y papel producidas por un grupo de estudiantes de las carreras de ingeniería, matriculados en el curso Cálculo 1 de 17 la Universidad Privada del Norte-Lima en el semestre 2013-1, para identificar las dificultades que presentan al resolver problemas de optimización enunciados en el lenguaje verbal cuyos modelos matemáticos resulten ser funciones cuadráticas o cúbicas. ii. Proponer, en base a los resultados obtenidos y considerando los resultados esperados, una secuencia didáctica para el tratamiento de las actividades que se aplicaron y desarrollaron los estudiantes, usando como recurso didáctico el software Cabri-Géomètre II y Cabri 3D con la finalidad de mejorar la articulación de los registros de representación semiótica. 18 CAPÍTULO 2: MARCO TEÓRICO Y METODOLÓGICO En este capítulo presentamos algunos aspectos de la Teoría de Registros de Representación Semiótica desarrollada por Duval (1993), la cual hemos seleccionado como marco teórico de esta investigación, dado que este marco, permite explicar el nivel de conceptualización de los objetos matemáticos, en base a los distintos registros de representación, exigiendo el conocimiento, el tratamiento y la conversión, que los estudiantes muestran en la solución de los problemas de optimización enunciados en el lenguaje verbal. También presentamos la Ingeniería Didáctica de Michel Artigue (1995) como metodología de investigación que nos permitirá diseñar, aplicar, analizar las secuencias de enseñanza y validar la presente investigación. 2.1 Teoría de Registros de Representación Semiótica. Para el desarrollo de esta investigación se ha tomado como referencia un enfoque cognitivo basado en el análisis de los Registros de Representación Semiótica y su efecto en el aprendizaje y concepción de los objetos matemáticos. Este enfoque ha sido desarrollado por Duval (1993) y se fundamenta en la noción de sistemas de representaciones semióticas, definidas por él mismo como aquellas producciones en las que se muestra el empleo de signos, que pertenecen a un sistema semiótico; que tiene sus propias reglas de significado y funcionamiento. El mismo autor afirma que los objetos matemáticos, a diferencia de los objetos tratados en las otras disciplinas, son abstractos y que solo se puede tener acceso a ellos mediante las representaciones semióticas. Es decir, la idea de un objeto matemático solo existe en nuestra mente, de modo que, para exteriorizarlo y comunicarlo se necesita de alguna representación 19 basada en signos, que pertenezca a un sistema de representación, el cual puede ser considerado, según el investigador, como un registro de representación siempre y cuando se cumplan tres actividades cognitivas, a saber: • La presencia de alguna representación, la cual pueda ser identificada como una representación de un registro dado. Por ejemplo: El enunciado de una frase o la escritura de una fórmula matemática. • El tratamiento de una representación, consiste en la transformación de la representación dentro del mismo registro donde ha sido formada. Siendo considerada como transformación interna. Así por ejemplo, se realiza un tratamiento cuando se tiene una ecuación y se hace una simplificación de la misma. • La conversión de una representación, que es la transformación de la representación en otra representación de otro registro en la que se conserva la totalidad o parte del significado de la representación inicial. Esta transformación es considerada como externa. Así por ejemplo, se hace una conversión cuando al tener una ecuación construimos su gráfica. Por lo tanto, creemos que es conveniente abordar los problemas de optimización, no solo siguiendo una serie pasos, a manera de receta, que se proporcionan en la mayoría de los libros texto recomendados para el curso de Calculo Diferencial, sino centrándose principalmente en las representaciones semióticas, y que el estudiante esté en la capacidad de trasladarse de una a otra representación. Según Duval (1993), los tipos de registros más apropiados para representar a los objetos matemáticos son: El registro verbal o lengua natural, el registro algebraico y el registro gráfico. En este trabajo de investigación se pretende analizar los tipos de registros que producen los estudiantes de ingenierías, al enfrentarse a problemas de optimización 20 cuyos modelos matemáticos resulten ser funciones cuadráticas o cúbicas. Además, presentamos una propuesta para articular los registros de representación mediante el software Cabri. A continuación, proporcionamos un ejemplo con la intención de evidenciar las representaciones que se puede producir para un mismo objeto matemático, pero en diferentes registros de representación: Tabla n°2: Registros que se utilizarán en esta investigación Registro Verbal Registro Algebraico Registro Gráfico Si a  0 Si a  0 La parábola con vértice en el origen de 2 coordenadas, cuyo eje y  ax , a  0 focal coincide con el eje de las ordenadas. Fuente: Propia Según Duval (1995), el traslado entre registros no se efectúa de manera instantánea salvo que se trate de representaciones congruentes entre el registro de partida y el de llegada. El proceso de resolución se hace más complejo cuando no hay congruencia. Entendiéndose por congruencia y no congruencia al fenómeno que resulta de la confrontación entre representaciones de naturaleza diferente de un mismo objeto matemático. Guzmán (1998), trata el tema de congruencia y no congruencia definido por Duval, asegura que, Cuando hay congruencia, el traslado puede ser trivial, por ejemplo: Dada la gráfica de la función f (x) = x, se ve en el gráfico una recta que es bisectriz del 21 primer cuadrante. Ante una pregunta sobre la monotonía de esta función, se responde que se trata de una función creciente y la mayoría de los estudiantes tienen éxito, pues hay aquí un fenómeno de congruencia entre la representación gráfica de la función dibujada y la percepción de la noción de crecimiento asociada con el hecho de que la gráfica sube. Pero cuando no hay congruencia, la tarea puede ser muy difícil y no accesible para muchos estudiantes. Por ejemplo, si pensamos que una función f(x) = x2 cuya representación gráfica es una parábola, con vértice en el origen de coordenadas, y se pide dibujar la parábola que representa a la función f (x) = (x+1)2, muchos estudiantes fracasan debido a que se trata de una parábola que está trasladada a la izquierda de la dada y con vértice en el punto de coordenadas (-1,0). El estudiante ve el signo más de la expresión y dibuja la parábola a la derecha de la dada. Este ejemplo es de las tareas fáciles relativas a fenómenos de no congruencia, pues contempla un traslado de registro algebraico al gráfico. (p.6) De acuerdo con Duval (1993), se podrá asegurar que un estudiante ha comprendido íntegramente un contenido conceptual, cuando demuestre la coordinación espontánea entre, por lo menos, dos registros de representación semiótica. De ahí nuestro interés en analizar los registros de representación semiótica y a la vez proponer la articulación de los mismos mediante el uso de la tecnología, como el Cabri II y Cabri 3D. 2.2 Ingeniería Didáctica como metodología de investigación. Según Artigue (1995), la noción de Ingeniería Didáctica se originó en Francia, en el seno de la didáctica de las matemáticas a inicios de la década de los ochenta. Se denominó Ingeniería Didáctica, a una forma de trabajo semejante al que realiza un ingeniero quien, para realizar y poner en marcha un determinado proyecto, se fundamenta en sus estrictos conocimientos científicos, aceptando auditorías de corte científico. Como metodología de investigación, la ingeniería didáctica se caracteriza: 22 Tabla n°3: Características de la Ingeniería Didáctica Primero Segundo Por un esquema experimental basado en las Por el registro en el cual se ubica y por las formas “realizaciones didácticas” en clase, las cuales de validación a la que está asociada, es decir, implican realizar la planeación, el desarrollo, la generalmente las investigaciones que recurren a la observación y el análisis de las secuencias de experimentación en clase se sitúan dentro de un enseñanza. Allí se distinguen por lo general dos enfoque comparativo con validación externa, niveles: basada en la comparación estadística del • El de la micro-ingeniería, el cual es más rendimiento de grupos experimentales y grupos de fácil de llevar a la práctica puesto que control. Este no es el caso de la ingeniería permite tener en cuenta de manera local la didáctica que se ubica, por el contrario, en el complejidad de los fenómenos de clase. registro de los estudios de caso y cuya validación • El de la macro-ingeniería, el cual es un es esencialmente interna, basada en la tanto más complicado llevar a la práctica confrontación entre el análisis a priori y a por tratarse de los fenómenos globales de la posteriori de los conocimientos puestos en juego y enseñanza y aprendizaje. de las variables de control de la situación experimental diseñada. Fuente: Adaptado de Artigue (1995, pp. 36-37) 2.2.1 Fases de La ingeniería didáctica En la metodología de la Ingeniería Didáctica según Artigue (1995), considera cuatro fases: • El Análisis preliminar. • La Concepción y análisis a priori de las situaciones didácticas de la ingeniería. • La Experimentación. • El Análisis a posteriori y validación. A continuación, describimos brevemente cada una de estas fases: 23 El análisis preliminar De acuerdo con la investigadora, esta etapa tiene como objetivo realizar un conjunto de análisis correspondientes al objeto matemático en estudio y es el punto de partida para la fase de concepción. En esta fase se realiza el análisis epistemológico de los contenidos contemplados en la enseñanza, el análisis de la enseñanza tradicional y sus efectos, el análisis de las concepciones de los estudiantes, de las dificultades y obstáculos que determinan su evolución y el análisis del campo de restricciones donde se va a situar la realización didáctica efectiva. Específicamente estos análisis se presentan en tres dimensiones: ✓ En la dimensión epistemológica: aquí se analizan las características del saber en juego. En este caso se hará un estudio epistemológico del objeto matemático en estudio. ✓ En la dimensión cognitiva: aquí se analizan las características cognitivas del público al cual se dirige la enseñanza, en este estudio se analizará como los estudiantes, resuelven e interpretan los problemas de optimización de funciones, también las dificultades y errores comunes en los procesos de resolución. ✓ En la dimensión didáctica: se analizan las características del funcionamiento del sistema de enseñanza. En este estudio, se analizará la forma como se desarrolla el proceso de enseñanza de los problemas de optimización en la institución donde se realiza la investigación, los recursos didácticos y estrategias de enseñanza. 24 También Artigue (1995), afirma que es necesario realizar un análisis del campo de restricciones donde se va a situar la realización didáctica, describiendo al grupo de estudiantes con los que se experimentará tal situación, así como los recursos de la institución. La concepción y el análisis a priori “En esta segunda fase, el investigador toma la decisión de actuar sobre un determinado número de variables del sistema no fijadas por las restricciones. Estas son las variables de comando que él percibe como pertinentes con relación al problema estudiado” (Artigue, 1995, p.42). Además, Artigue (1995) también argumenta que: Tradicionalmente, el análisis a priori comprende una parte descriptiva y una predictiva, se centra en las características de una situación a-didáctica que se ha querido diseñar y que se va a tratar de llevar a los estudiantes: • Se describen las selecciones del nivel local (relacionándolas eventualmente con las selecciones globales) y las características de la situación didáctica que de ellas se desprenden. • Se analiza qué podría ser lo que está en juego en esta situación para un estudiante en función de las posibilidades de acción, de selección, de decisión, de control y de validación de las que él dispone, una vez puesta en práctica en un funcionamiento casi aislado del profesor. • Se prevén los campos de comportamientos posibles y se trata de demostrar cómo el análisis realizado permite controlar su significado y asegurar, en particular, que los comportamientos esperados, si intervienen, sean resultado de la puesta en práctica del conocimiento contemplado por el aprendizaje. (p.45). En el análisis a priori se presentarán las posibles estrategias que podrían producir los estudiantes en la resolución de las actividades sobre problemas de optimización, 25 enunciados en el lenguaje verbal. Es decir, se detallará los comportamientos esperados de los estudiantes, al resolver los problemas de optimización mencionados líneas arriba. Experimentación En esta fase se pone en funcionamiento la secuencia didáctica diseñada en el paso anterior. También se implementan las condiciones de control de las actividades y el registro de los sucesos, pues la información recopilada servirá para la calidad y la fidelidad de la siguiente etapa. Análisis a posteriori y validación De acuerdo al Marco Teórico considerado, se conforma el análisis a posteriori a partir del conjunto de datos recabados durante la experimentación; por medio de las observaciones realizadas de las secuencias de enseñanza y las producciones de los alumnos. Este análisis es confrontado con el análisis a priori para validar la investigación que se hayan formulado. 26 CAPITULO 3: ANÁLISIS PRELIMINAR En esta fase preliminar se hace un análisis sistémico del objeto matemático optimización de funciones cuadráticas o cúbicas, teniendo en cuenta, las tres componentes: Epistemológica, Cognitiva; Didáctica. 3.1 Algunos aspectos históricos Campero (2010), afirma que: La cumbre del saber matemático encuentra una de sus máximas expresiones en la Teoría de la Optimización. Esta Teoría, estudia el cómo describir y cómo definir lo que es mejor, una vez que se conoce algún criterio que sirva de base de comparación. La Optimización tiene, por decirlo así, dos enfoques, uno “optimista” y otro “pesimista”. En el punto de vista optimista se desea maximizar algún objetivo, mientras que, desde el punto de vista pesimista el objetivo sería minimizar las pérdidas o minimizar los costos. La Optimización se ha vuelto un término técnico que tiene que ver con medidas cuantitativas y análisis matemático, mientras que decir “mejor”, permanece como un término con menor precisión. El verbo técnico “optimizar” se refiere al acto de optimizar y no solamente a llegar a ese óptimo. Muchas decisiones en nuestros días se toman escogiendo medidas cuantitativas de efectividad y optimizándolas bajo algún criterio. Decidir cómo diseñar, construir, regular, operar un sistema físico o económico involucra idealmente tres etapas: primero, uno debe conocer cualitativa y cuantitativamente cómo interactúan las variables, segundo, uno requiere de una medida sencilla sobre la efectividad de un sistema expresable en términos de las variables de dicho sistema. Finalmente, uno debe escoger aquellos valores del sistema de variables que nos conduzcan a una efectividad óptima. Así, la optimización y la elección están estrechamente relacionadas. (p.13) Además, el mismo autor se refiere a que tanto en el curso de Cálculo de una variable, así como en el de varias variables, se aborda el tema de Optimización desde un punto de vista estático. En dichos cursos se estudian los teoremas de: 27 • Condición necesaria de primer orden. Este teorema afirma que si una función de una variable, derivable, alcanza un extremo relativo en un punto perteneciente a su dominio, entonces la derivada evaluada en dicho punto vale cero. La generalización de dicho teorema a funciones de varias variables afirma lo mismo para cada una de las derivadas parciales en dicho punto de su dominio. • Condición suficiente de segundo orden. Para funciones de una variable está estrechamente ligado con el concepto de concavidad o convexidad de una función y que está determinado por la derivada de segundo orden. Mientras que la generalización a funciones de varias variables se hace a través del análisis de la matriz Hessiana, la cual está formada por las derivadas parciales de segundo orden. También cabe recalcar, según Campero (2010), que en el curso de Cálculo de varias variables se plantea el problema de optimizar una función objetivo, sujeta a restricciones en forma de igualdad, por lo que el problema de optimización permanece generalmente estático. En este caso se utiliza el método de los Multiplicadores de Lagrange, el cual se fundamenta desde un punto de vista geométrico, por lo que obliga a considerar funciones que dependen solo de dos variables independientes. Tal como señalamos en los antecedentes de nuestra investigación, es Campero (2010), a quien hemos elegido como principal antecedente, dado que este autor hace un extensivo análisis de los aspectos históricos relacionados con la optimización de funciones, lo cual consideramos muy importante para nuestro estudio. Por lo tanto, todo lo relativo a los aspectos históricos de la optimización de funciones, han sido resumidos de los estudios realizados por Campero. Siguiendo a este autor, empieza mostrando aspectos históricos de la optimización, vista desde un punto de vista filosófico, a saber: 28 “En 1710 Leibniz usa la palabra óptimo en su Teodicea: Ensayo sobre las bondades de Dios, la libertad del hombre y el origen del pecado, citado en Beighter., Douglass, (1967)” (Campero, 2010, p. 15). También Campero (2010), hace mención que: El matemático Leonhard Euler (1707-1783) también manifestó puntos de vista filosóficos optimistas, como por ejemplo cuando escribe: “El mundo es la fábrica más perfecta que se haya establecido por el Creador” y continúa: “No sucede nada en este mundo en que por alguna razón no aparezcan los conceptos de máximo y de mínimo. Beighter, et al. (1967, p.5). (p. 16) De las afirmaciones de Euler, Campero hace una comparación relacionándolo en el lenguaje moderno y con los cursos tradicionales de Cálculo: El Cálculo es la parte de las Matemáticas que estudia el cambio y la razón de cambio” y por otro lado continua: “y el cambio es la única constante en la vida”, para concluir: “Los máximos y mínimos aparecen en todos los contextos humanos. (p. 16) Con respecto a la historia de las Matemáticas, ésta ha ido evolucionando y gestándose en el tiempo, por lo que a continuación presentamos cada una de las etapas, en orden cronológico, sobre la evolución de las Matemáticas. Tabla n°4: Evolución y gestación histórica de las ramas de la Matemática LOS EGIPCIOS LOS GRIEGOS LOS ROMANOS LOS HINDÚES Y LOS ÁRABES Desarrollaron una Se distinguieron por ser Este pueblo que dio Luego de la caída del Geometría primitiva un pueblo de excelentes juristas, imperio romano (siglos que les permitía pensadores profundos, artistas y guerreros, se V y VI, d.c.), la resolver algunos de que no se conformaban caracterizaba por ser tradición matemática sus problemas con resolver problemas, pragmático, por lo que pasó a estos pueblos, cotidianos como, por sino querían conocer el matemáticamente que eran también ejemplo, el deslinde porqué de las cosas. No hablando, lo más pragmáticos, pero con de tierras, pues con es de extrañar entonces, grande que hicieron fue inclinaciones hacia el cierta frecuencia el río que la Geometría se llevar la cultura comercio y los Nilo o el Tigris y llegara a desarrollar matemática griega a negocios, le dieron más Éufrates (en “plenamente” en el todo el mundo conocido importancia al Mesopotamia) se sentido de quedar hasta entonces. desarrollo del Álgebra desbordaban. axiomatizada, desde que al de la Geometría. Euclides (siglo III a.c.). Fuente: Adaptado de Campero (2010, pp. 16-17). 29 Campero (2010), afirma que: Después del invento de la imprenta por Gutenberg y la aparición de las primeras universidades (Padua, Cambridge, Oxford, París) a lo largo del siglo XII, la humanidad se preparaba para un cambio global que “se destapa” a partir del siglo XV en la ciudad italiana de Florencia. A esta época, que abarca los siglos XV y XVI se le conoce con el nombre de Renacimiento. La imprenta y las universidades globalizan el conocimiento. A fines del siglo XVI, con los trabajos de los matemáticos italianos Tartaglia, Cardano y Ferrari que encuentran las fórmulas para resolver las ecuaciones de tercer y cuarto grados. Así el Álgebra llegó a un gran nivel de desarrollo. (Nunca se pudo axiomatizar como la Geometría, pese a los intentos del gran matemático francés Galois). (p. 17) El autor, también señala que, una vez evolucionada la Geometría y el Álgebra, fue Descartes (siglo XVII) quien unió potencialmente ambas disciplinas, fundando la Geometría Analítica, la cual marcó la línea divisoria en la historia de las matemáticas, puesto que, gracias a ello, años más tarde se hizo posible la aparición del Cálculo (Newton y Leibniz). A este suceso se le consideró como la cima del pensamiento matemático. El investigador afirma también que, al revisar la historia de la Optimización se aprecia que antes del surgimiento del Cálculo en el siglo XVII, se carecía de instrumentos dinámicos para medir el cambio y la razón de cambio. Cuando surge el Cálculo, se desarrollan los conceptos de derivada e integral los que se consideran como instrumentos dinámicos, puesto que sirven para medir la razón de cambio y el cambio respectivamente. Por lo tanto, los problemas de optimización que aparecieron antes del siglo XVII, solo se podían resolverse con los instrumentos proporcionados por la Geometría y el Álgebra desarrolladas hasta ese entonces. Es evidente que el desarrollo o soluciones de los problemas de optimización fue bastante limita. A partir del siglo XVII, a pesar de que ya se contaban con herramientas adecuadas para resolver problemas de optimización, su desarrollo siguió siendo limitado, hasta que en 30 el siglo XVIII, Lagrange establece un nuevo método para resolver problemas de optimización, sujetos a restricciones definidas por ecuaciones. Este método es conocido como “Método de los multiplicadores de Lagrange” y que actualmente se trata en el curso de Cálculo varias variables. Desde luego, con la aparición de este método, se amplía el campo de estrategias y métodos para la resolución de los problemas de optimización. Resumiendo los estudios de Campero (2010), podemos enumerar los momentos o saltos cruciales, relacionados con la evolución de los problemas de optimización, de la siguiente forma: • Un primer salto cualitativo, ocurre con la aparición del Cálculo y el uso de la derivada como un instrumento para medir la razón de cambio instantánea, entre dos variables relacionadas funcionalmente. • Un segundo salto cualitativo, Se da con la aparición del método de los multiplicadores de Lagrange. • El gran salto cualitativo, se da a mediados del siglo XX, con la revolución tecnológica (principalmente en computadoras). A partir de entonces, las técnicas de optimización han evolucionado aceleradamente. Creemos haber proporcionado un alcance, de manera generalizada, sobre la evolución de las técnicas para resolver problemas de optimización, las cuales Campero los determina cuando se refiere a los tres saltos cualitativos vistos líneas arriba, y que en la actualidad aún siguen vigentes. 31 3.2 Análisis Cognitivo Esta investigación, se ha realizado con un total de 58 estudiantes, matriculados en el curso de Cálculo 1 de la Facultad de Ingeniería de la UPN- Lima, en el semestre académico 2013-1. Dichos estudiantes accedieron a la Universidad en su gran mayoría sin preparación alguna, otros por examen de admisión y algunos por traslado externo, quienes convalidaron el curso de Matemática Básica, el cual es prerrequisito para el curso de Cálculo 1. Por lo tanto, en esta fase, estamos interesados en rescatar conocimientos previos de los estudiantes, relativos al tema de optimización de funciones, así como identificar los tipos de registros que producen al resolver problemas propuestos en uno de los exámenes que rindieron en dicho curso. Para lograr estos propósitos, hemos utilizado dos herramientas: 1º) Una pequeña encuesta, en la que se hacen preguntas generales sobre el tema de optimización de funciones. A saber: Tabla n°5: Encuesta relativa a temas de optimización En relación a los problemas de optimización de funciones justifique cada respuesta No me enseñaron Me enseñaron y no lo aprendí Me enseñaron y lo aprendí Fuente: Adaptado de Núñez (2012, pp. 139) 2º) El Examen Final del curso de Cálculo 1, en el cual analizamos los tipos de Representaciones Semióticas que ellos hicieron, identificando las dificultades y errores comunes en el proceso de resolución de los problemas propuestos. 32 En cuanto a la encuesta, se aplicó a dos grupos diferentes de estudiantes de ingenierías matriculados en el curso de Cálculo 1, cada grupo de 29 estudiantes y diferente docente. A continuación, se presenta las justificaciones de 6 de los 58 estudiantes que participaron de la encuesta y que justificaron debidamente su respuesta. A saber: Estudiante 1. Estudiante 2. Estudiante 3. 33 Estudiante 4. Estudiante 5. Estudiante 6. Obviamente, la encuesta fue aplicada después que de que sus respectivos docentes le enseñaron en clase el tema de optimización, como aplicación de la derivada. Las respuestas a estas preguntas no fueron las que esperábamos, la mayoría de los estudiantes se inclinaron por la segunda premisa, es decir, me enseñaron y no lo aprendí. 34 En cuanto al análisis cognitivo, en relación a la modelación de funciones, las dificultades que presentan los estudiantes al resolver dichos problemas se han venido comprobando en todas las evaluaciones escritas que se han tomado en dicho curso, en las cuales se ha comprobado la gran dificultad en cuanto al tránsito entre los registros de representación semiótica. A continuación, presentamos las respuestas de 6 de los 58 estudiantes, distribuidos en dos grupos de 29 estudiantes cada uno, que participaron en el desarrollo de nuestra investigación y que rindieron el examen final de Cálculo 1. Cabe mencionar que estos 6 estudiantes no necesariamente son los mismos de los que se habló en la encuesta, sino que se han considerado aquellos estudiantes que hicieron su mejor esfuerzo para contestar las preguntas del examen. A estos estudiantes se les ha denominado como: E1, E2, E3, E4, E5; E6. Como a cada grupo de 29 estudiantes, se le tomó un examen diferente, los estudiantes E1, E2; E3, pertenecen al primer grupo. Se consideran con las notaciones E1, E2; E3 para proteger la identidad de los mismos. Estudiante (E1) 35 • En la parte (a) se observa que el estudiante utiliza la tabulación para pasar la función lineal del registro algebraico al gráfico. Mientras que para la función cuadrática usa el criterio de hallar el vértice y también tiene éxito al pasar dicha función dada del registro algebraico al gráfico. Sin embargo, presentó errores al encontrar los puntos donde se intersectan ambas gráficas. • En la parte (b) se puede observar que el estudiante tiene dificultades en pasar del registro verbal al algebraico, y no puede encontrar el modelo matemático que se le pide. 36 Estudiante (E2) • En la parte (a) a diferencia de E1, el estudiante E2 también tiene éxito en las representaciones algebraicas y gráficas, siguiendo las mismas estrategias de E1, y demostrando el tránsito entre el registro algebraico y gráfico. sin embargo, también presenta errores al encontrar las intersecciones de ambas gráficas. • En la parte (b) se puede observar que el estudiante presenta dificultades en pasar del registro verbal al algebraico, a pesar de hacer el intento por hallar el modelo matemático pedido, trata de dar una solución numérica. 37 Estudiante (E3) • En la parte (a), el estudiante intenta representar gráficamente ambas funciones, pero no es explícito en indicar los puntos de intersección de las mismas. Además, realiza una operación que no tiene nada que ver con lo pedido, es decir, presenta la suma algebraicamente las reglas de correspondencia de ambas funciones. • En la parte (b), se puede observar que dicho estudiante también tiene dificultades en pasar del registro verbal al algebraico, su error consiste en confundir el volumen del envase con el costo de fabricación del mismo. 38 A continuación, presentamos la solución por parte de los estudiantes E4, E5 y E6, de una pregunta de optimización de funciones, tomada en el examen final del curso de Cálculo 1, estos estudiantes pertenecen al segundo grupo con quienes se puso en marcha el desarrollo de las actividades propuestas. Estudiante (E4) Se puede apreciar el intento fallido que tiene el estudiante E4 al tratar de hallar la solución del problema. A pesar de que se le proporciona el modelo matemático que representa a la función altura del objeto, dicho estudiante presenta errores de concepción y las representaciones algebraicas que utiliza lo hace de manera errónea. 39 Estudiante (E5) Al igual que el estudiante E4, E5 presenta dificultades al tratar de dar solución a cada una de las partes del problema. Este estudiante intenta representar gráficamente la trayectoria parabólica que describiría el objeto al ser lanzado al espacio, pero no lo relaciona con el modelo matemático proporcionado para la altura. Además, las representaciones algebraicas que produce dicho estudiante no tienen coherencia lógica con lo que se pide en el problema. 40 Estudiante (E6) Este estudiante, a diferencia de los anteriores, sí tiene éxito en la solución de dicho problema. Él usa el registro algebraico de forma correcta, sin embargo, se podía haber pedido en la pregunta que también realice la representación gráfica del modelo matemático proporcionado. En cuanto al puntaje asignado a dicha pregunta, podemos observar que el docente del curso le ha puesto la máxima calificación. 41 Tal como lo habíamos señalado anteriormente, en este análisis, demostramos las serias dificultades que presentan la mayoría de los estudiantes al transitar por los registros de representación semiótica. Los tres primeros estudiantes, mostraron gran dificultad al pasar del registro verbal al algebraico, esta dificultad relacionada con la comprensión lectora es la que consideramos como un denominador común en la mayoría de los estudiantes. Por lo tanto, nuestra investigación está orientada en presentar una propuesta para tratar los problemas de optimización enunciados en el lenguaje verbal, usando como recurso didáctico al software Cabri, la cual pueda ayudar articular el tránsito entre registros de Representación semiótica. 3.3 Análisis Didáctico En esta parte mostramos algunos aspectos encontrados tanto en la enseñanza (la práctica docente) como en los libros textos sugeridos y más utilizados en relación al tema de optimización de funciones. Empezamos por describir el quehacer didáctico de los docentes encargados del dictado del curso de Cálculo 1. Si bien es cierto el modelo educativo de la Universidad Privada del Norte está basado por competencias, con una educación centrada en el estudiante, no todos los cursos son adaptados de tal manera que con sus contenidos se puedan desarrollar en el estudiante las competencias generales como: • Liderazgo. • Trabajo en equipo. 42 • Comunicación efectiva. • Resolución de problemas. • Aprendizaje autónomo. • Responsabilidad social. • Pensamiento crítico. Se sabe que para lograr en el estudiante desarrollar los conocimientos, habilidades y actitudes, además de las competencias generales mencionadas líneas arriba, una de las metodologías del docente es promover los trabajos cooperativos en clase, utilizar la metodología del Aprendizaje Basado en Problemas (ABP), en general las metodologías activas de enseñanza y aprendizaje. Cosa que no ocurre con frecuencia para todos los temas del sílabo del curso Cálculo 1 (ver Anexo 4), lo mejor que se aproxima a estas metodologías es plantear los problemas contextualizados tratando de relacionar con las carreas de ingeniería dándole un contexto familiarizado con el estudiante y formando grupos de trabajo en el aula para el desarrollo de los problemas propuestos. Sin embargo, no todos los docentes están capacitados para realizar dicho trabajo por lo que tienden a seguir utilizando la metodología tradicional basada en algoritmos repetitivos y priorizando las representaciones algebraicas. Esta misma metodología se sigue en el curso de Cálculo 1 cuando se trata el tema de optimización de funciones que resulta ser un tema de aplicación de la derivada. Además, la restricción de la institución en el uso de los softwares de geometría dinámica no hace posible el tratamiento de los problemas de optimización por lo que los estudiantes al resolver dichos problemas imaginan el comportamiento de la función objetivo para tener la idea del valor óptimo. 43 A continuación, hacemos un análisis de 3 libros texto considerados por los profesores al tratar un problema de optimización en UPN. Tabla n°6: Libros de Cálculo elegidos para el Análisis Didáctico N° Autor Título Edición Año Ubicación Editorial 1 Ron Larson - Bruce H. Cálculo 1 de una 9 na 2010 México McGraw-Edwards Variable Hill 2 George B. Thomas, Jr. Cálculo de una Variable 11 va 2006 México Pearson Laurence D. Hoffmann 3 Gerald L. Bradley Cálculo Aplicado 8 va 2006 México McGraw- Kenneth H. Rosen Hill Fuente: Propia En cada uno de estos textos hacemos un análisis de los tipos Registros de Representación Semiótica desde el punto de vista de Duval (1993). Hemos organizado el análisis de cada texto en la siguiente tabla: Tabla n°7: Análisis Didáctico de los tres Libros textos considerados para el tema de optimización. Análisis desde el punto de vista de la Teoría de Registros de Libro texto Tema de estudio Representación Semiótica de Duval. Título: Cálculo de Problemas de En este texto se dan 5 ejemplos resueltos relativos a la una variable. Optimización. optimización de funciones. (Larson & En el Ejemplo 1, podemos observar, según la teoría de Autor: Ron Bruce, 2010, Registros de Representación Semiótica de Duval, que para Larson. pág. 218) enunciar el problema se hace uso del registro verbal y en la solución solo se da énfasis al registro algebraico. Solo hace Año: 2010 una representación gráfica para relacionar las variables que 9na. intervienen en el problema, no hace uso del registro gráfico Edición: correspondiente al modelo matemático obtenido. Página: 218 Si bien es cierto, da la sugerencia de usar una herramienta graficadora para la representación gráfica del modelo matemático obtenido en dicho problema, en la solución se ha dejado de lado el registro gráfico, creando una suerte de incertidumbre en los estudiantes. Por lo tanto, el registro gráfico, no es considerado relevante para este autor, puesto que no lo considera en ninguno de los 5 Ejemplos que él presenta. Enseguida el autor muestra las siguientes recomendaciones (a manera de receta) para abordar los problemas de optimización: 44 Cuando el autor hace mención a las técnicas de cálculo estudiadas en las sesiones 3.1 a 3.4 se refiere al uso de la primera y segunda derivada de una función para hallar sus valores extremos. Sin embargo, en ninguno de los pasos hace mención a la representación gráfica que se debe hacer del modelo matemático de la función objetivo. Esto se corrobora en las soluciones de los ejemplos que él proporciona para este tema de optimización de funciones. Título: Cálculo de En este texto, el autor presenta 7 ejemplos desarrollados una variable. relativos a la optimización de funciones. A diferencia del Problemas de autor anterior, en este texto los problemas de optimización Autor: Thomas Optimización están planteados usando el registro verbal, pero en la 2006 aplicados. resolución sí se da énfasis tanto al registro algebraico como Año: (George & al gráfico. Desde el punto de vista de la teoría de Registros Edición: 11 va. Thomas, 2006, de Representación Semiótica, se puede afirmar que, en este : 278 pág. 278) texto, la resolución de los problemas de problemas de Página optimización se presenta de una forma ordenada, articulando el registro verbal, algebraico y gráfico. También proporciona una lista de recomendaciones para enfrentar con éxito a los problemas de optimización, a saber: Sin embargo, en el paso 5 el autor recomienda que se debe tomar énfasis en la forma de la gráfica de la función objetivo. Título: Cálculo Aplicaciones En este texto, el autor empieza por hacer un tratamiento Aplicado. adicionales de la exclusivamente para los problemas de optimización, en los optimización. que claramente, utiliza el registro verbal, algebraico y (Hoffmann, gráfico, articulando los Registros de Representación 45 Autor: Laurence - Gerald L, & Semiótica. Hoffmann Kenneth H, En todos los ejemplos desarrollados que el autor presenta, 2006, págs. 231- sigue la misma estructura señalada líneas arriba. Año: 2006 275) En seguida, adjuntamos las recomendaciones que hace dicho : 8 va. autor, para resolver problemas de optimización. Edición Páginas: 31-275. Este autor, en el paso 5 de sus sugerencias, recomienda no solo quedarse con las representaciones, sino poner énfasis en la interpretación de los resultados. Fuente: Propia Durante el análisis de los tres textos, mencionados anteriormente, encontramos que todos ellos presentan una lista de sugerencias para tener en cuenta en el proceso de resolución de tales problemas. Sin embargo, los dos últimos textos serían los más apropiados y recomendados, desde el punto de vista de la teoría de Registros de Representación Semiótica de Duval, para el tratamiento didáctico sobre la resolución de problemas de optimización enunciados en el lenguaje verbal, puesto que, son estos dos autores quienes articulan, tanto el registro verbal, algebraico y gráfico. 46 CAPITULO 4: CONCEPCIÓN Y ANÁLISIS DE LA INVESTIGACIÓN En este capítulo diseñamos las actividades y prevemos los comportamientos de los estudiantes al enfrentarse a las actividades diseñadas. Es decir, proporcionamos la parte descriptiva y la predictiva. 4.1 Diseño de las actividades: En esta etapa se diseñó una secuencia didáctica para cada una de las tres actividades propuestas enseguida, tal secuencia está diseñada de tal manera que podamos guiar al estudiante a obtener los diferentes Registros de Representación Semiótica, en la solución de cada una de las partes correspondientes. • La actividad N°1 se trata de un caso real e inédito diseñado por el propio investigador y trata de optimizar el volumen de un tanque en forma de paralelepípedo que se pueda construir debajo de una escalera. • La actividad N°2 trata de la adaptación de un problema que ya ha sido publicado en una revista internacional de uno de los Congresos Iberoamericanos del Cabri. • La actividad N°3 ha sido adaptada, a un contexto real, una de las preguntas que está propuesta en uno de los libros texto. Como se puede apreciar, son actividades bastante relacionadas con la vida cotidiana y no son clásicas, pero sí accesibles y que se pueden solucionar utilizando los contenidos del sílabo del curso de Cálculo 1 de la UPN. 47 4.2 Comportamientos esperados: En esta etapa proporcionamos los supuestos o lo que esperamos que los estudiantes realicen en cada una de las tres actividades. A saber: Estrategia N°1 para resolver la Actividad 1: Actividad N°1 Un estudiante de ingeniería está interesado en construir un tanque de máxima capacidad debajo del primer plano inclinado de la escalera de su casa. Para tal efecto obtiene las medidas las cuales se muestran en la (Figura 1). Dicho tanque debe tener la forma de un paralelepípedo rectangular recto donde una de sus aristas debe tener longitud igual al ancho de la escalera (100 cm). Figura 1 1) A partir del enunciado, relacione con variables las aristas desconocidas del paralelepípedo y explique con sus propias palabras qué tendrá que hacer para hallar el volumen máximo de dicho tanque. 48 Esperamos que el estudiante, para relacionar las aristas del paralelepípedo, realice el siguiente gráfico. Y luego justifique: Como el volumen del tanque tiene una de las aristas de longitud igual al ancho de la escalera (100 cm), es decir permanece constante todo el tiempo, entonces para hallar el volumen máximo del tanque se tiene que hallar el área máxima del rectángulo PQRD, luego el volumen del tanque será: V 100xy cm3 2) Escriba una expresión algebraica que determine las restricciones del problema. Esperamos que el estudiante muestre las restricciones de las aristas variables del paralelepípedo a construir. Es decir: 0  x 110 ; 70  y 150 3) Halle el modelo matemático correspondiente a la función que se tendrá que optimizar. 49 Se espera que el estudiante halle la relación entre x e y para reemplazar en la fórmula correspondiente al área del rectángulo PQRD, a la que denotaremos como A(x). Es decir, que realice el siguiente procedimiento: Área  (base) (altura) A(x)  xy …………….. (1) Hallando la relación entre x e y mediante la semejanza de los triángulos BSC y QRC: 80 150 y  110 x y 150 8 x …….. (2) 11 Reemplazando (2) en (1): A(x) 8  x2 150x 11 4) Qué tipo de función real de una variable obtuvo en el paso anterior y cuál es el dominio de dicha función. Esperamos que el estudiante reconozca que la función obtenida en el paso anterior y que representa al área del rectángulo PQRD, es una función cuadrática de la forma A(x)  ax2 bx  c , con dominio 0  x 110 . Es decir: A(x) 8  x2 150x ; 0  x 110 11 5) Cuál cree que sería la forma del gráfico correspondiente a la función obtenida en el paso anterior. 50 Justifique su respuesta verbalmente:………………………………………….. Se espera que los estudiantes elijan la alternativa (b) puesto que el gráfico de A(x) es una parábola que se abre hacia abajo debido al coeficiente negativo de x2. 6) En qué punto alcanza su valor máximo la función obtenida en el paso 4. Se espera que los estudiantes contesten: Como la función A(x) 8  x2 150x es cuadrática de la forma 11 A(x) b ax2 bx  c , entonces dicha función alcanza su máximo en x   . 2a En este caso a 11  , b 150 ; c  0 . Luego 8 x 150 75   (11) 103.125 …… (3) 2( 8 ) 8 11 7) Cuál es el valor máximo de dicha función. Esperamos que el estudiante, escriba: El valor máximo de A(x) es: A(103.125) 8  (103.125)2 150(103.125)  7734.375 cm2 . 11 51 8) Represente gráficamente el modelo matemático obtenido para la función. Esperamos que el estudiante, ponga a prueba sus conocimientos para mostrar el registro gráfico del modelo matemático, correspondiente a la función área del rectángulo PQRD. Es decir, esperamos su respuesta sea: 9) Ubique el punto más alto de la gráfica del paso anterior e interprete cada una de sus coordenadas. La respuesta esperada sería: El punto más alto de la gráfica es el vértice de la parábola, esto es: (103.125; 7734.375) La primera coordenada representa a la longitud del lado PD del rectángulo de área máxima. La segunda coordenada representa al área máxima del rectángulo PQRD. 10) Cuáles deben ser las dimensiones del paralelepípedo para que su volumen sea el mayor posible y cuál es el volumen máximo. Se espera que el estudiante conteste: Las dimensiones del paralelepípedo de volumen máximo son: x 75 (11) 103.125 cm , y 150 8 [75    (11)]  75 cm ; 100 cm. 8 11 8 52 Por lo tanto, el volumen del tanque de mayor capacidad es: V 100xy 100(7734.375)  773437.5 cm3 53 Estrategia N°2 para resolver la Actividad 1: 1) A partir del enunciado, relacione con variables las aristas desconocidas del paralelepípedo y explique con sus propias palabras qué tendrá que hacer para hallar el volumen máximo de dicho tanque. Se espera que el estudiante, para relacionar las aristas del paralelepípedo, realice el siguiente gráfico Luego, justifique: Como el volumen del tanque tiene una de las aristas de longitud igual al ancho de la escalera (100 cm), entonces para hallar el volumen máximo del tanque se tiene que hallar el área máxima del rectángulo PQRD. Área  (base) (altura) A(x)  (110 x)y ... (1) 54 2) Escriba una expresión algebraica que determine las restricciones del problema. Esperamos que el estudiante muestre las restricciones de las aristas variables del paralelepípedo a construir. Es decir: 0  x 110 ; 70  y 150 3) Halle el modelo matemático correspondiente a la función que se tendrá que optimizar. Se espera que el estudiante halle la relación entre x e y mediante la ecuación de la recta que pasa por los puntos B(0;70) y C(110;150); escriba lo siguiente: Pendiente: m 150 70 8  110 0 11 Ecuación: y 8 x  70 ... (2) 11 Reemplazando (2) en (1): A(x)  (110 x)( 8 x  70) 11 A(x) 8  x2 10x 7700 …(3) 11 4) Qué tipo de función real de una variable obtuvo en el paso anterior y cuál es el dominio de dicha función. Esperamos que el estudiante reconozca que se trata de una función cuadrática, de la forma A(x)  ax2 bx  c , cuyo dominio es 0  x 110 . Es decir: A(x) 8  x2 10x 7700; 0  x 110 11 55 5) Cuál cree que sería la forma del gráfico correspondiente a la función obtenida en el paso anterior. Justifique su respuesta verbalmente:…………………………………………. Se espera que los estudiantes elijan la alternativa (b) puesto que el gráfico de A(x) es una parábola que se abre hacia abajo debido al coeficiente negativo de x2. Además que la curva corta al eje de las ordenadas en 7700. 6) En qué punto alcanza su valor máximo la función obtenida en el paso 4. Esperamos que los estudiantes utilicen sus conocimientos de derivadas para optimizar funciones, el procedimiento esperado sería: Hallando la primera y segunda derivada de A(x): A(x) 16  x 10 11 A (x) 16     0 (Se trata de un máximo) 11 Hallando los puntos críticos: A(x) 16  x 10  0 11 x 55  6.875 8 56 Es el único punto crítico. Es decir, la función A(x) alcanza su valor máximo cuando x 55   6.875 …(4) 8 7) Cuál es el valor máximo de dicha función. Se espera que los estudiantes reemplazando (4) en (3) obtengan el valor máximo de A(x). Es decir: A(6.875) 8  (6.8755)2 10(6.875)7700 7734.375 . 11 8) Represente gráficamente el modelo matemático obtenido para la función A(x). Se espera que la respuesta sea: 9) Ubique el punto más alto de la gráfica del paso anterior e interprete cada una de sus coordenadas. Se espera que el estudiante conteste: El punto más alto de la gráfica es el vértice de la parábola, esto es: (6.875; 7734.375) La primera coordenada representa el valor de x donde la función A(x) alcanza su máximo valor. La segunda coordenada representa al área máxima del rectángulo PQRD. 57 10) Cuáles deben ser las dimensiones del paralelepípedo para que su volumen sea el mayor posible y cuál es el volumen máximo. Esperamos que el estudiante conteste: Luego las dimensiones del paralelepípedo de volumen máximo son: 110 x 1106.875103.125 cm , y 8 [11(5)] 70  75 cm ; 100 cm. 11 8 Por lo tanto, el volumen del tanque de mayor capacidad es: V 100(110 x)y 100(7734.375)  773437.5 cm3 Actividad N°2 En el curso de dibujo técnico, el profesor les encarga a sus estudiantes la siguiente tarea: Considerar una hoja rectangular ABCD de lados a y b, 0 < a ≤ b (Figura 2). De tal manera que al doblar la hoja, el vértice B “caiga” sobre el lado opuesto AD en el punto B´ formando el triángulo rectángulo PAB´ (P es el punto de doblez del lado AB) cuya área sea la mayor posible. b a Figura 2 58 1) A partir del enunciado, relacione con variables los lados desconocidos del triángulo rectángulo PAB´. Esperamos que el estudiante, relacione con variables los lados del triángulo PAB´ 2) Escriba una expresión algebraica que relacione los tres lados del triángulo rectángulo PAB´. Esperamos que el estudiante use el Teorema de Pitágoras el triángulo rectángulo PAB´, y escriba lo siguiente: x2  y2  (b y)2 x2  y2  b2 2by  y2 y 1 (b2  x2 ) …(1) 2b 3) Halle el modelo matemático correspondiente a la función área del triángulo rectángulo PAB´. Esperamos que el estudiante, proporcione el registro algebraico correspondiente a la función f(x), que representa al área del triángulo rectángulo PAB´. Es decir: 59 f (x) 1 xy …(2) 2 Reemplazando (1) en (2): f (x) 1 (b2x  x3 ) …(3) 4b 4) Qué tipo de función real de una variable obtuvo en el paso anterior y cuál es el dominio de dicha función. Se espera que los estudiantes reconozcan que la función f (x) es cúbica cuyo dominio es 0  x  a . Es decir: f (x) 1 (b2x  x3 ); 0  x  a 4b 5) En qué punto alcanza su valor máximo la función obtenida en el paso anterior. Esperamos que los estudiantes utilicen sus conocimientos de derivadas para optimizar funciones, el procedimiento esperado sería: Hallando la primera y segunda derivada de f (x) : 1 f (x)  (b2  3x2 ) ……(4) 4b f (x) 3  x ……(5) 2b Hallando los puntos críticos: f (x)  0 1 (b2  3x2 )  0 4 x2 1 b2 ……(6) 3 60 x 3 b; x 3    b . 3 3 Observe que x 3  b  Dom( f ) 3 Entonces el único punto crítico es: x 3 b ……..(7) 3 Comprobando si se alcanza un máximo en x 3 b : 3 f ( 3 b) 3 ( 3   b) 3   0 3 2b 3 3 3 Por lo tanto f alcanza su máximo en x  b . 3 6) Cuál es el valor máximo de dicha función. Se espera que los estudiantes obtengan el valor máximo de f (x) haciendo el siguiente procedimiento: Reemplazando (6) en (1): y 1 (b2 1 b2 ) b …(8) 2b 3 3 Reemplazando (7) y (8) en (2): f (x) 1 xy 1 3 b (b 3    )  b2 (valor máximo) 2 2 3 3 18 7) Cuáles deben ser las dimensiones del triángulo rectángulo PAB´ para que su área sea la mayor posible y cuál es el área máxima. Esperamos que el estudiante proporcione como respuesta: 61 Las dimensiones de los catetos del triángulo rectángulo PAB´ de área máxima, son: x 3 b b ; y  . 3 3 El área máxima del triángulo rectángulo PAB´ es: f ( 3 b) 1 3 b (b   ) 3 b2 cm2 3 2 3 3 18 8) En el caso particular para: a = b = 6, represente gráficamente el modelo matemático obtenido en el paso 4. Se espera que los estudiantes reemplacen a = b = 6 en f (x) 1 (b2x  x3 ); 0  x  a . 4b Luego grafiquen la función: f (x) 1  x3 3 x ; 0  x  6 24 2 Gráficamente: 9) Ubique el punto más alto de la gráfica del paso anterior e interprete cada una de sus coordenadas. Se espera que el estudiante conteste: 62 El punto más alto de la gráfica es el vértice de la parábola, esto es: ( 2 3 ; 3.47) La primera coordenada representa el valor de x donde la función f(x) alcanza su máximo valor. La primera coordenada representa a la longitud del lado AB´ del triángulo PAB´ de área máxima. La segunda coordenada representa al área máxima del triángulo PAB´. Actividad Nº 3: Un estudiante de arquitectura observa que los granos en reposo (maíz, arroz, frijol, etc.) de manera natural forman una figura cónica regida por propiedades físicas. A raíz de esta situación está motivado en diseñar un silo para almacenar grandes cantidades de granos. El silo a diseñar debe tener altura H y constituido por una parte inferior cilíndrico y la parte superior de forma cónica similar al que se muestra en la figura 5. La parte inferior debe ser un cilindro circular recto inscrito en un cono circular recto de radio R y altura H igual al del silo (H > 2R) de tal manera que el volumen de dicho cilindro sea el máximo. Figura 3 Figura 4 Figura 5 63 1) A partir del enunciado, relacione con variables la altura y radio del cono, así como la altura y generatriz del cilindro inscrito en el cono circular recto. Para contestar esta parte, se espera que el estudiante realice el siguiente gráfico: B E A D C x : radiodelcilindro y : generatrizdelcilindro 2) Halle la relación entre la altura y radio del cono con la altura y generatriz del cilindro. Esperamos, que el estudiante, use la semejanza de triángulos rectángulos BAC y EDC; es decir: H  y H  x R y H (R  x) ………(1) R 3) Halle el modelo matemático correspondiente a la función volumen del cilindro circular recto inscrito en el cono. La respuesta esperada, sería: 64 Volumen del cilindro circular recto es: V  x2 y ……. (2) V (x)  x2 H (R x)     R  V (x) H (Rx2  x3) ….. (3) R 4) Qué tipo de función real de una variable se obtuvo en el paso anterior y cuál es el dominio de dicha función. Se espera que los estudiantes reconozcan que la función V (x) es cúbica con dominio: 0  x  R , es decir: V (x) H (Rx2  x3), 0  x  R R 5) En qué punto alcanza su valor máximo la función obtenida en el paso anterior. Esperamos que los estudiantes utilicen sus conocimientos de derivadas para optimizar funciones, el procedimiento esperado sería: Hallando la primera y segunda derivada de V (x) : V (x) H (2Rx 3x2) ….. (4) R V (x) H (2R 6x) …. (5) R Hallando los puntos críticos: 65 V (x)  0 V (x) H (2Rx 3x2)  0 R 2R  x  0; x  3 Si x  0 V (0)  0 y lo que se quiere es maximizar el volumen. Entonces solo nos quedamos con: x 2R …….. (6) 3 Reemplazando (6) en (5) se comprueba que se trata de un máximo puesto que: V (2R) H   2R 6( 2R)  2H  0 3 R  3  Por lo tanto V (x) alcanza su máximo en x 2R . 3 6) Cuál es el valor máximo de dicha función. Se espera que los estudiantes obtengan el valor máximo de V (x) haciendo el siguiente procedimiento: Reemplazando (6) en (1): y H (R 2R) H  …. (7) R 3 3 Reemplazando (6) y (7) en (2): V  2R 2  H    3  3 66 V 4 R2H (valor máximo) 27 7) Cuáles deben ser las dimensiones del cilindro circular recto inscrito en el cono para que su volumen sea el mayor posible y cuál es el volumen máximo del cilindro. Se espera como respuesta: Las dimensiones del cilindro de máximo volumen que se puede inscribir en el cono circular recto de radio R y altura H, son: x 2R ; y H 3 3 8) En el caso particular par H=12m y R=5m, represente gráficamente el modelo matemático obtenido en el paso 4. Esperamos que el estudiante proporcione la siguiente respuesta: En el caso particular para: H=12 y R=5: x 10 ; y  4 3 Y el modelo matemático de la función volumen es: V (x) 12 (5x2 x3) 12   x3 12 x2 , 0  x  5 5 5 Volumen máximo es: V 4  (5)212 1200  m3 27 27 V 139.63 m3 Gráficamente: 67 9) Ubique el punto más alto de la gráfica del paso anterior e interprete cada una de sus coordenadas. Se espera que el estudiante, conteste: Aproximadamente el punto más alto de la gráfica tiene coordenadas: (3.33; 139.63) La primera coordenada representa a la longitud del radio del cilindro de mayor volumen que se puede inscribir en el cono circular recto de altura H=12 m y radio R=5 m. La segunda coordenada representa el volumen máximo del cilindro de radio x 10 ; generatriz y  4 . 3 Por lo tanto, hemos presentado las posibles estrategias que podrían usar los estudiantes, al resolver los problemas de optimización propuesto en cada una de las actividades. Las respuestas que los estudiantes proporcionen, lo contrastaremos con los resultados esperados, esto se realizará en la siguiente Capítulo. 68 CAPITULO 5: FASE EXPERIMENTAL, ANÁLISIS APOSTERIORI Y VALIDACIÓN La fase experimental se desarrolló en las aulas de la Universidad Privada del Norte- Lima, con estudiantes de la Facultad de Ingeniería cuyas edades oscilan entre los 18 y 20 años de edad. Las actividades diseñadas en la etapa anterior se desarrollaron con dos grupos de estudiantes matriculados en curso de Cálculo 1, en el semestre 2013-1. Cada grupo consistió de 29 estudiantes y el desarrollo de tales actividades se hizo en la hora de clase que corresponde a cada grupo. Dichas actividades fueron desarrolladas por los estudiantes en forma individual (ver fotos-Anexo 3), no se les permitió apuntes. Se les permitió usar calculadora solo para las operaciones aritméticas. Los contenidos del curso Cálculo 1 de manera general son: Funciones reales de variable real, Límites y Continuidad funciones de una variable, Derivada de funciones de una variable y Aplicaciones de la Derivada. (Ver sílabo –Anexo 4). El desarrollo de tales actividades, obviamente fueron aplicadas después que los estudiantes hayan llevado los contenidos mencionados líneas arriba, es decir en la última etapa correspondiente a la aplicación de la derivada específicamente a desarrollar problemas de optimización. A continuación, presentamos la fecha y hora que se desarrollaron las actividades en mención. 69 Tabla n°8. Cronograma de actividades desarrolladas con los estudiantes Grupo Fecha Hora Lugar N° de estudiantes Aula 1 18/06/2013 3:00 pm-5:00 pm 29 C306 Aula 2 19/06/2013 5:00 pm-7:00 pm 29 C402 Fuente: Propia En el primer grupo cada una de las actividades fue dirigida por el investigador con el apoyo del docente del curso. Para el segundo grupo se contó como único colaborador al docente del curso quien observó y guio en el normal desarrollo de las actividades. Para el recojo de información se utilizaron guías (ver Anexo 2) o material impreso conteniendo cada una de las actividades, asimismo, se les facilitó hojas en blanco para que los participantes anoten sus respuestas. En cada guía o material impreso, se dieron las siguientes indicaciones generales: “A continuación se le proporciona tres problemas de optimización de funciones reales de una variable, los que serán resueltos de forma individual solo usando lápiz y evitando borrones. Este trabajo será considerado como parte de una investigación científica en aras de mejorar la enseñanza y aprendizaje de dichos problemas, por lo que le pedimos que demuestre la seriedad del caso y que haga su máximo esfuerzo”. Luego de recoger la información, hacemos la comparación entre los supuestos o comportamientos esperados, frente a las producciones que hicieron los estudiantes al desarrollar en cada una de las actividades propuestas. 70 Para este fin, mostramos como ejemplo las producciones que hicieron tres estudiantes, a quienes les denominaremos como A1, A2; A3. Si bien es cierto, las actividades se aplicaron a 58 estudiantes, la gran mayoría no logró desarrollar por completo ninguna actividad. Es por esta razón, que solo hemos considerado las producciones de los 3 estudiantes que trataron de aproximarse mejor a los resultados esperados, para cada actividad. A continuación, presentamos el detalle y validación del proceso de solución que hizo cada uno de ellos, en cada una de las actividades. Estudiante A1 Actividad Nº 1. Un estudiante de ingeniería está interesado en construir un tanque de máxima capacidad debajo del primer plano inclinado de la escalera de su casa. Para tal efecto obtiene las medidas las cuales se muestran en la (Figura 1). Dicho tanque debe tener la forma de un paralelepípedo rectangular recto donde una de sus aristas debe tener longitud igual al ancho de la escalera (100 cm). Figura 1 71 1) A partir del enunciado, relacione con variables las aristas desconocidas del paralelepípedo y explique con sus propias palabras qué tendrá que hacer para hallar el volumen máximo de dicho tanque. Podemos observar que el estudiante, hace una representación gráfica para relacionar con variables los lados desconocidos del paralelepípedo. Si comparamos su respuesta con la que esperábamos, nos damos cuenta de que se relaciona con la estrategia N° 2 para resolver esta actividad. Además, usa correctamente el registro verbal para explicar con sus propias palabras lo que tiene que hacer para optimizar el volumen pedido. En conclusión, podemos decir que dicho estudiante sí contestó correctamente de acuerdo a los resultados esperados para esta parte de la actividad. 72 2) Escriba una expresión algebraica que determine las restricciones del problema. En esta parte, el estudiante, presenta algunas dificultades para expresar las restricciones del problema, como por ejemplo, no indicar los límites de variación de los lados del paralelepípedo. Sin embargo, utiliza correctamente el registro verbal para explicar que uno de los lados del paralelepípedo permanece siempre constante, por lo que ignora su valor momentáneamente. 3) Halle el modelo matemático correspondiente a la función que se tendrá que optimizar. De acuerdo como él lo ha planteado, sí sería el modelo matemático (registro algebraico) que representa al área que tiene que optimizar, pero presenta un error al considerar que tanto la base y altura del rectángulo, tienen las mismas longitudes. Hubiésemos esperado que su respuesta sea: f (x) 8  x2 10x 7700 11 73 4) Qué tipo de función real de una variable obtuvo en el paso anterior y cuál es el dominio de dicha función. Recalcamos que la representación algebraica que el estudiante obtuvo es la correcta según el gráfico que consideró en la parte 1, incluso reconoce que se trata de una función cuadrática, pero presenta dificultades al identificar el dominio de dicha función. 5) Cuál cree que sería la forma del gráfico correspondiente a la función obtenida en el paso anterior. a) b) c) Justifique su respuesta verbalmente: …………………………………………………………………………………… 74 La respuesta que el estudiante proporciona no es del todo la que realmente esperábamos. En realidad, se esperaba que, al obtener la función cuadrática en el paso anterior, identifique inmediatamente la forma del gráfico de dicha función. Es decir, se buscaba que estudiante transite del registro algebraico al gráfico. 6) En qué punto alcanza su valor máximo la función obtenida en el paso 4. En este caso el estudiante presenta serias dificultades al tratar de obtener el máximo de la función objetivo, No utiliza las representaciones algebraicas propias para el tratamiento del valor óptimo para una función cuadrática. 7) Cuál es el valor máximo de dicha función. No fue contestada 8) Represente gráficamente el modelo matemático obtenido para la función. No fue contestada 9) Ubique el punto más alto de la gráfica del paso anterior e interprete cada una de sus coordenadas. No fue contestada 10) Cuáles deben ser las dimensiones del paralelepípedo para que su volumen sea el 75 mayor posible y cuál es el volumen máximo. Se observa que la respuesta proporcionada por el estudiante no es la esperada. Hubiésemos querido que su respuesta sea: 110 x 1106.875103.125 cm , y 8 [11 (5)] 70  75 cm ; 100 cm. 11 8 Por lo tanto, el volumen del tanque de mayor capacidad es: V 100(110 x)y 100(7734.375)  773437.5 cm3 En conclusión, esta actividad: La primera pregunta, fue contestada correctamente. En las preguntas 2-6, fueron contestadas parcialmente, donde el estudiante trata de articular el registro verbal, algebraico y gráfico. A partir de la pregunta 6, se puede apreciar que el estudiante presenta dificultades para contestar dichas preguntas. Por lo que no hay más información para hacer el contraste con los comportamientos esperados. 76 A continuación, presentamos la producción del estudiante A2 al desarrollar la Actividad N°2. Estudiante A2 Actividad Nº 2 En el curso de dibujo técnico, el profesor les encarga a sus estudiantes la siguiente tarea: Considerar una hoja rectangular ABCD de lados a y b, 0 < a ≤ b (Fig.2). De tal manera que al doblar la hoja, el vértice B “caiga” sobre el lado opuesto AD en el punto B´ formando el triángulo rectángulo PAB´ (P es el punto de doblez del lado AB) cuya área sea la mayor posible. b a Figura 2 1) A partir del enunciado, relacione con variables los lados desconocidos del triángulo rectángulo PAB´. 77 En esta parte, el estudiante relaciona a cada lado del triángulo PAB´ con una variable, pero no señala que: z=b-y. 2) Escriba una expresión algebraica que relacione los tres lados del triángulo rectángulo PAB´. Se observa que el estudiante, usa correctamente el Teorema de Pitágoras para relacionar los tres lados del triángulo en mención. 3) Halle el modelo matemático correspondiente a la función área del triángulo rectángulo PAB´. El estudiante, muestra correctamente la expresión algebraica para calcular el área del triángulo rectángulo PAB´, pero no indica que y depende de x, por lo que no logra obtener por completo el modelo matemático esperado. Hubiésemos esperado que su repuesta sea: 78 f (x) 1 (b2x  x3 ) 4b 4) Qué tipo de función real de una variable obtuvo en el paso anterior y cuál es el dominio de dicha función. Observamos, que el estudiante presenta un error al generalizar que x=y, esto te lleva a obtener una función cuadrática de una variable, pero dicha función no representa al modelo matemático correspondiente al área del triángulo rectángulo PAB´. Además, no dice nada sobre el dominio de dicha función. 5) En qué punto alcanza su valor máximo la función obtenida en el paso anterior. No fue contestada 6) Cuál es el valor máximo de la función de dicha función. No fue contestada 7) Cuáles deben ser las dimensiones del triángulo rectángulo PAB´ para que su área sea la mayor posible y cuál es el área máxima. 79 No fue contestada 8) En el caso particular para: a = b = 6, represente gráficamente el modelo matemático obtenido en el paso 3. Observamos que el estudiante, presenta errores al contestar esta pregunta, y esto se deba tal vez a que ha ido arrastrando errores como por ejemplo: No considerar en la parte 1, que z=b-y. Por lo tanto, el estudiante no logra obtener el registro pedido. 9) Ubique el punto más alto de la gráfica del paso anterior e interprete cada una de sus coordenadas. En esta parte, se puede observar el intento del estudiante por obtener el registro gráfico, y así ubicar el punto más alto de la gráfica. Pero tiene dificultades debido a que no cuenta con estrategias adecuadas para realizar el gráfico pedido. En esta actividad se ve claramente que el estudiante no logra alcanzar los resultados 80 esperados, puesto que, presenta muchas dificultades de representación algebraica, verbal y gráfica. Por último, presentamos las producciones del estudiante A3, al desarrollar la Actividad N°3. Estudiante A3 Actividad Nº 3. Un estudiante de arquitectura observa que los granos en reposo (maíz, arroz, frijol, etc.) de manera natural forman una figura cónica regida por propiedades físicas. A raíz de esta situación está motivado en diseñar un silo para almacenar grandes cantidades de granos. El silo a diseñar debe tener altura H y constituido por una parte inferior cilíndrico y la parte superior de forma cónica similar al que se muestra en la figura 5. La parte inferior debe ser un cilindro circular recto inscrito en un cono circular recto de radio R y altura H igual al del silo (H > 2R) de tal manera que el volumen de dicho cilindro sea el máximo. Figura 3 Figura 4 Figura 5 1) A partir del enunciado, relacione con variables la altura y radio del cono, así como la altura y generatriz del cilindro inscrito en el cono circular recto. 81 Se observa que el estudiante, realiza una representación gráfica, y logra relacionar con éxito los elementos pedidos. Por lo tanto, la respuesta de dicho estudiante está de acuerdo con los resultados esperados. 2) Halle la relación entre la altura y radio del cono con la altura y generatriz del cilindro. Al igual que en el paso anterior, la respuesta del estudiante sí está de acuerdo con lo que se esperaba, puesto que, utiliza la semejanza de triángulos tal como lo habíamos supuesto. Por lo tanto, en base a la teoría de Registros de Representación Semiótica, podemos afirmar que el estudiante, en esta parte, usó correctamente el registro algebraico. 3) Halle el modelo matemático correspondiente a la función volumen del cilindro circular recto inscrito en el cono. 82 En este caso, muestra la fórmula correcta para calcular el volumen del sólido en cuestión, pero no logra reemplazar los resultados obtenidos en el paso anterior. 4) Qué tipo de función real de una variable se obtuvo en el paso anterior y cuál es el dominio de dicha función. No fue contestada 5) En qué punto alcanza su valor máximo la función obtenida en el paso anterior. No fue contestada 6) Cuál es el valor máximo de dicha función. No fue contestada 7) Cuáles deben ser las dimensiones del cilindro circular recto inscrito en el cono para que su volumen sea el mayor posible y cuál es el volumen máximo del cilindro. No fue contestada 8) En el caso particular par H=12m y R=5m, represente gráficamente el modelo matemático obtenido en el paso 4. No fue contestada 9) Ubique el punto más alto de la gráfica del paso anterior e interprete cada una de sus coordenadas. No fue contestada En esta actividad, se observa que a partir de la pregunta 5, el estudiante no contestó absolutamente nada, demostrando que tiene dificultades para desarrollar problemas de esta naturaleza. 83 CAPITULO 6: PROPUESTA DIDÁCTICA USANDO EN EL SOFTWARE CABRI II Luego de analizar los tipos de registros que producen los estudiantes al resolver problemas de optimización enunciados en el lenguaje verbal y en base al contraste entre los supuestos y los resultados obtenidos, en este capítulo presentamos el rediseño de las mismas actividades trabajadas con lápiz y papel, pero esta vez usando como recurso didáctico al software Cabri. Estas actividades fueron adaptadas y diseñadas por el investigador siguiendo una secuencia didáctica, la que presentamos como propuesta, con la intención de ayudar a los estudiantes a superar las dificultades que presentaron al resolver dichas actividades solo con lápiz y papel. A continuación, proporcionamos el rediseño de cada una de las tres actividades puestas en juego, siguiendo una secuencia didáctica para favorecer la articulación entre los registros de representación semiótica. 6.1 Descripción de la Actividad 1, diseñada en el Software Cabri II Esta actividad está diseñada y construida en el Software Cabri II, de acuerdo con las condiciones del problema, solo tenemos que acompañar al estudiante en el proceso de experimentación, para tal efecto se sugiere tener en cuenta los siguientes pasos: 1) Abrir el archivo de nombre: Actividad -1.fig 2) Al activar los íconos 84 Se muestra el registro verbal correspondiente al problema a optimizar, es decir: 3) Activar el botón Para explicar que, para obtener el tanque de máximo volumen, se tiene que optimizar el área del rectángulo PQRD, puesto que una de las aristas del tanque permanecerá siempre constante. 85 4) Activar los botones Para mostrar la construcción del trapecio ABCD y el rectángulo PQRD, de acuerdo a las condiciones del problema. En esta parte empieza el proceso de experimentación del estudiante al que se le pide que arrastre el punto P y pueda apreciar cómo cambian las longitudes de los lados del rectángulo PQRD. 5) Activar el botón Con esta acción se podrá apreciar que al mover el punto P no solo cambian las longitudes de los lados del rectángulo en mención sino también cambia el área de dicha figura. Es momento de hacer una nueva pregunta ¿cuáles deben ser las dimensiones de los lados del rectángulo PQRD para que su área sea la máxima? 86 6) Activar el botón La ventaja de la herramienta “Ejes” es fundamental para relacionar el cambio que está sufriendo el área de la figura con respecto a la variación de sus lados. Para esto se pide que arrastre el punto P y observe la trayectoria que describe el valor del área del rectángulo PQRD en el sistema de ejes coordenados. 87 7) Activar el botón Con esta acción el estudiante comprobará que la trayectoria vista en paso anterior forma parte de una curva parabólica. Para comprobar puede hacer uso de la herramienta “lugar geométrico”. 8) Activar el botón Con esta acción el estudiante podrá articular el registro gráfico del paso anterior con el registro algebraico utilizando la herramienta del mismo software “coordenadas o ecuación” 88 9) A esta altura de la etapa experimental el estudiante se espera que sea capaz de relacionar la segunda coordenada del vértice de la parábola con el área máxima del rectángulo PQRD. 10) Luego de la etapa experimental se recomienda realizar la comprobación matemática haciendo uso del cálculo diferencial, para esto se sugiere tomar en cuenta la justificación matemática que se presentó en la etapa de los comportamientos esperados. 6.2 Descripción de la Actividad 2, diseñada en el Software Cabri II Esta actividad también está diseñada y construida en el Software Cabri II, de acuerdo a las condiciones del problema, al igual que en la Actividad 1, solo tenemos que acompañar al estudiante en el proceso de experimentación, para tal efecto se sugiere tener en cuenta los siguientes pasos: 1) Abrir el archivo de nombre: Actividad -2.fig 89 2) Activar los íconos Actividad 2 y Figura 2 respectivamente, es decir: Con esta acción se muestra al estudiante el registro verbal correspondiente al problema a optimizar, es decir: 3) Activar en forma simultánea los botones: Con esta acción el estudiante será capaz de seguir experimentando puesto que al mover el punto B´ se tendrá la simulación del doblez de la hoja rectangular. 90 4) Activar el botón: En esta parte el estudiante al mover el punto B´ estará haciendo variar las longitudes de los lados del triángulo PAB´ y por consiguiente también varía el área de dicho triángulo. 91 5) Activar el botón: Recalcamos que la ventaja de la herramienta “Ejes” es fundamental para relacionar el cambio que está sufriendo el área de la figura con respecto a la variación de sus lados. Para esto se pide que arrastre el punto B´ y observe la trayectoria que describe el valor del área del triángulo PAB´ en el sistema de ejes coordenados. Es decir: 6) Activar en forma simultánea los botones:: Al activar estos botones, el estudiante relacionará el registro gráfico con el registro algebraico. Comprobando que se trata de una función cúbica y que el punto más alto de la gráfica guarda relación con el área máxima del triángulo rectángulo PAB´. 92 7) Al igual que en la Actividad 1, se recomienda realizar la validación rigurosamente matemática, haciendo uso del cálculo diferencial, para esto se sugiere tomar en cuenta la justificación matemática que se presentó en la etapa de los comportamientos esperados. 6.3 Descripción de la Actividad 3, diseñada en el Software Cabri II-y Cabri 3D Esta actividad al igual que las dos anteriores también fue diseñada y construida por el investigador, aprovechando las ventajas del Software Cabri II y de acuerdo a las condiciones del problema, para acompañar al estudiante en el proceso de experimentación se sugiere tener en cuenta los siguientes pasos: 1) Abrir el archivo de nombre: Actividad -3.fig 93 2) Activar el botón: Esta acción está destinada a mostrar al estudiante el registro verbal correspondiente al problema de optimización. 3) Activar el botón: Este esquema sería muy importante para relacionar el radio y generatriz del cilindro con el radio y altura del cono, mediante la semejanza de triángulos. 94 x : radiodelcilindro y : generatrizdelcilindro 4) Activar los botones: Para mostrar la construcción hecha en Cabri, en la que el estudiante al mover el punto G de la gráfica, hallará las dimensiones del radio y generatriz del cilindro de mayor volumen que se pueda inscribir en el cono dado. 95 5) Activar los botones: Al igual que en las actividades anteriores, el estudiante será capaz de interactuar con el software y relacionar el volumen del cilindro con la trayectoria mostrada en el plano coordenado. 6) Activar los botones: Con esta acción se pretende que los estudiantes logren articular el registro gráfico con el algebraico, comprobar que se trata de una función cúbica. 96 7) Luego de la interacción con el softwar se recomienda realizar la validación rigurosamente matemática, haciendo uso del cálculo diferencial, para esto se sugiere tomar en cuenta la justificación matemática que se presentó en la etapa de los comportamientos esperados. Téngase en cuenta que la Actividad 3 también pudo haberse tratado con Cabrí 3D, de la siguiente forma: 97 CAPITULO 7: CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES Concluimos esta investigación, comprobando que el nivel de concepción que tienen los estudiantes de ingenierías de la UPN, que estuvieron matriculados en el curso de cálculo 1 en el semestre 2013-1, sobre el planteamiento y resolución de los problemas de optimización de funciones enunciados en el lenguaje verbal, es alarmante. Ningún estudiante que se consideró como partícipe de esta investigación pudo terminar por completo la solución de alguna de las tres actividades propuestas. Los tipos de representaciones que ellos hicieron no resultaron ser las esperadas, la gran dificultad se encuentra en pasar del registro verbal al algebraico. Estas dificultades se ponen de manifiesto no solo en esta investigación, sino que en base a nuestra experiencia docente damos fe de que en este tipo de representación los estudiantes tienden por lo general a presentar mayores dificultades. Con la intención de superar en cierto grado dichas dificultades, proponemos, como alternativa didáctica, enfrentar a los problemas de optimización valiéndose de los medios tecnológicos y para esto sugerimos hacer uso de algún software de geometría dinámica como el Cabri Géomètre II, para rediseñar las actividades y trabajarlas dentro de estos ambientes dinámicos en los que se puede hacer construcciones y representaciones del tipo verbal, algebraico y gráfico. A continuación, presentamos algunas conclusiones de manera particular para cada actividad diseñada por el investigar y desarrollada por los estudiantes. Actividad 1: Esta es una actividad diseñada por el propio investigador en base a un contexto real, con la finalidad de que los estudiantes se trasladen por los diferentes tipos de representaciones, desde el punto de vista de la Teoría de Registros de Representación Semiótica de Duval (1993), al resolver cada una de las 10 preguntas planteadas. Con las 10 preguntas planteadas en esta actividad, tratamos de inducir al estudiante a que 98 transite por los registros verbal, algebraico, gráfico y también por supuesto que realice el tratamiento de un registro o bien la conversión entre registros. Al analizar los resultados obtenidos y contrastando con los resultados esperados, lamentablemente se comprobó que solo 2 de los 58 estudiantes que participaron en el desarrollo de las actividades, lograron resolver parcialmente dicha actividad, los demás estudiantes mostraron serias dificultades al pasar del registro verbal al algebraico, a pesar de hacer su esfuerzo solo intentaron llegar hasta el modelo matemático a optimizar y para representar gráficamente a dicho modelo se inclinaron por la tabulación, demostrando carencia de estrategias para graficar funciones cuadráticas, pues el modelo matemático que se obtiene en esta actividad representa a una función cuadrática. A pesar de las dificultades mencionadas, la Actividad 1 fue la más tratada por parte de los estudiantes. Hubiésemos querido que los resultados sean más favorables, así poder hacer un análisis más riguroso sobre el tipo de representaciones semióticas que ellos producen. Pero lamentablemente volvemos a comprobar que la enseñanza y aprendizaje de los problemas de optimización, enunciados en el lenguaje verbal, no están siendo asimilados por nuestros estudiantes. Seguramente que somos nosotros, como docentes, los que jugamos un papel fundamental para revertir estos resultados, no estando pegados a una postura tradicionalista, sino por el contrario buscar los recursos necesarios para ayudar a nuestros estudiantes a entender y comprender los temas matemáticos en general, y la solución de los problemas de optimización en particular. Desde este punto de vista, proponemos tratar dichos problemas en un ambiente interactivo usando como recurso didáctico al Software Cabri Géomètre II. En el caso de la Actividad 1, se ha diseñado en el software en mención la construcción del rectángulo PQRD basada en las hipótesis del problema, luego de experimentar y hacer arrastre de elementos de la figura, el estudiante puede identificar o comprobar conjeturas con 99 respecto a las dimensiones de la figura de mayor área. El hecho de que se pueda ingresar ejes coordenados es de suma importancia para poder relacionar el comportamiento que tiene el valor del área de la figura con respecto a la variación en la longitud de uno de sus lados. Usando como herramienta el lugar geométrico, se puede obtener la representación gráfica de la función área. Además, con la herramienta coordenadas u ecuación podemos obtener la representación algebraica del lugar geométrico en mención. En conclusión, el haber diseñado esta actividad usando como recurso didáctico al software Cabri II, se puede articular los registros verbal, algebraico y gráfico desde el punto de vista de la Teoría de Registros de Representación Semiótica de Duval (1993). Actividad 2: Esta actividad es una adaptación de la construcción geométrica que elaboramos en el curso de Geometría en la Maestría en Enseñanza de la Matemática en las Aulas de la Pontificia Universidad Católica del Perú, guiados por el docente Mariano Gonzáles Ulloa. Al igual que en la Actividad 1, la finalidad de esta actividad es lograr que los estudiantes se trasladen por los diferentes tipos de Representación Semiótica, al resolver las 9 preguntas planteadas en esta actividad. Luego de contrastar el análisis a posteriori con el análisis a priori, comprobamos que ningún estudiante logró desarrollar completamente dicha actividad. Del primer grupo de estudiantes solo 16 llegaron a contestar las dos primeras preguntas de las 9 planteadas, mientras que del segundo grupo hicieron lo mismo solo 8 estudiantes. Nuevamente estamos frente a una situación desafortunada y preocupante, puesto que el nivel de concepción, con respecto a la solución de problemas de optimización, de nuestros estudiantes no es el esperado. Frente a esta situación como investigadores, en aras a mejorar la enseñanza y aprendizaje de la solución de problemas de optimización enunciados en el lenguaje verbal, proponemos que dicha actividad sea adaptada y tratada haciendo uso del 100 software Cabri II. De esta forma estaríamos intentando motivar al estudiante a prestar especial interés en la solución de dichos problemas, de tal manera que mediante la experimentación y la facilidad de arrastre de los elementos de la figura se cree en el estudiante el conflicto cognitivo y así logre articular los diferentes registros de representación. Actividad 3: Se trata de un problema de optimización planteado en uno de los libros texto, al que se le ha dado un contexto diferente tratando despertar la motivación e interés por parte de los estudiantes. Con las 9 preguntas de esta actividad, al igual que en las actividades anteriores, también esperamos rescatar las representaciones que producen los estudiantes al dar solución cada pregunta. Luego del contraste entre el análisis a priori y el a posteriori, comprobamos que solo 2 estudiantes de los 58 que participaron en el desarrollo de tales actividades, intentaron resolver y obtener el modelo matemático a optimizar. Esta es la realidad actual de nuestros estudiantes, y tenemos que como investigadores o como docentes, buscar las estrategias y recursos necesarios para mejorar la enseñanza y aprendizaje de los problemas matemáticos enunciados en el lenguaje verbal en general. Por esta razón es que estamos proponiendo el tratamiento de los problemas de optimización en general usando como recurso didáctico algún software de Geometría dinámica, puesto que una de las principales ventajas, frentes a otros recursos (lápiz, papel, etc.), es que las figuras dejan de ser estáticas y vistas en el plano para pasar a la pantalla de un ordenar y presentarse en forma de animaciones que nos permiten observarlas desde diferentes ángulos. Pero no es solo el movimiento de las figuras los que proporcionarían interés para el aprendizaje de las matemáticas, lo realmente innovador e interesante es que las actividades diseñadas pueden ser concebidos para poder modificar ciertos parámetros en la construcción y comprobar los efectos de nuestros cambios. Así por ejemplo, en la 101 Actividad 1 diseñada en Cabri, al mover o arrastrar el punto P del rectángulo PQRD, varía inmediatamente las dimensiones del rectángulo, en consecuencia también varía su área. Con el diseño de las tres actividades para ser solucionadas con lápiz y papel se ha podido analizar los tipos de registros de representación que producen los estudiantes desde el punto de vista de la Teoría de Registros de Representación Semiótica de Duval (1993), además se ha comprobado las dificultades que presentan los estudiantes al enfrentarse a problemas de optimización enunciados en el lenguaje verbal cuyos modelos matemáticos son funciones cuadráticas o cúbicas. Logrando así uno de nuestros objetivos específicos planteado en el Capítulo 1. Luego de confrontar los resultados obtenidos con los esperados y comprobar las dificultades que presentan los estudiantes al resolver este tipo de problemas, se propone la secuencia didáctica de las tres actividades diseñadas, tratadas con lápiz y papel, pero usando como recurso didáctico al software Cabri, de tal manera que se logre mejorar la articulación de los registros de representación semiótica. De esta forma estaríamos logrando nuestro segundo objetivo específico. Por lo tanto, creemos haber logrado contestar a nuestra pregunta de investigación, así como también a nuestros objetivos (general y específicos), pero recalcamos que con esta propuesta no pretendemos desmerecer al cálculo diferencial para resolver dichos problemas, sino por el contrario sería la herramienta fundamental para validar los resultados obtenidos por experimentación con el software. Hubiese sido interesante ejecutar la propuesta y comprobar los efectos, pero para lograr esto se necesita mayor tiempo de investigación, así como ambientes implementados con algún software de geometría dinámica como el Cabri, de tal manera que sea posible la 102 puesta en marcha de este tipo de estudios. Por lo tanto, estamos dejando un campo abierto para seguir investigando sobre los temas tratados. RECOMENDACIONES Debido a la importancia y ventajas que ofrecen los softwares de geometría dinámica para la enseñanza de las matemáticas, se recomienda a las Instituciones Educativas destinar un presupuesto para la obtención de la licencia de dichos softwares e implementar laboratorios de cómputo, de tal manera que cada estudiante tenga un ordenador. Se recomienda implementar un plan de capacitaciones a los docentes involucrados en temas de enseñanza de las matemáticas en general y del cálculo diferencial en particular, puesto que, pocos son los docentes que conocen este tipo de recursos didácticos, y si queremos contribuir en la mejora de la enseñanza y aprendizaje de este tipo de problemas, todos los docentes de la institución debemos estar hablando el mismo lenguaje. Se recomienda que todos los problemas de optimización sean tratados primero en un ambiente de geometría dinámica, de tal manera que el estudiante pueda experimentar, hacer y comprobar conjeturas. En segundo lugar hacer la formalización y estricta validación de los resultados haciendo uso del cálculo diferencial. 103 REFERENCIAS Artigue, M. (1995). La enseñanza de los principios del cálculo: problemas epistemológicos, cognitivos y didácticos. En P. Gómez (Ed.). Ingeniería didáctica en educación matemática: Un esquema para la investigación y la innovación en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, (pp. 97-140). México: Grupo Editorial Iberoamérica. Beighter, Ch., Douglass, J. (1967). Foundations of Optimization. Englewood, N.J., USA. Ed. Prentice Hall, Inc. Campero, J. (2010). Propuesta Didáctica en Optimización Dinámica: El Caso del Cálculo de variaciones y la Teoría de Control (Tesis doctoral en Matemática Educativa). Instituto Politécnico Nacional. México. Contreras, A. (2000). La enseñanza del Análisis Matemático en el Bachillerato y primer curso de Universidad. Una perspectiva desde la teoría de los obstáculos epistemológicos y los actos de comprensión. Actas del IV Simposio de la SEIEM. España: Huelva. Dávila, M., Grijalva, A, Bravo, J.,(2001) .Construcción del significado geométrico de la derivada a partir de la resolución de problemas de optimización y uso de Geogebra. Memorias de la XX Semana Regional de Investigación y Docencia en Matemáticas; Hermosillo, Sonora,1-8. Duval, R. (1993). Registros de representación semiótica y funcionamiento cognitivo del pensamiento. En Hitt, F. (Ed.), Investigaciones en Matemática Educativa II, 173-201. México: Grupo Editorial Iberoamericana. 104 Duval, R. (1993). Semiosis y noesis. En E. Sánchez y G. Zubieta (Eds.), Lecturas en didáctica de la matemática: Escuela Francesa, (118-144) México: Sección de Matemática Educativa del CINVESTAV-IPN. Duval, R. (1995) Semiosis y pensamiento humano. Peter Lang. Universidad del Valle. Encinas, J., Ávila, R. (2011). La metacognición y la competencia de estudiantes de ingeniería en la resolución de problemas de optimización. 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Representaciones en solución de problemas. Un estudio de caso con problemas de optimización. Electronic Journal of Research in Educational Phychology, 1696-2095Nº 17/ 7(1) ,279- 308. Núñez, N. (2012). Resolución de problemas con inecuaciones cuadráticas. Una propuesta en el marco de la Teoría de Situaciones Didácticas (Tesis para obtener el grado de Magister en Enseñanza de La Matemática). Pontificia Universidad Católica del Perú. 106 ANEXOS ➢ ANEXO 1: Exámenes finales de los estudiantes E1, E2; E3 en curso de Cálculo 1. 107 108 109 110 111 . 112 ➢ ANEXO 2: Guías conteniendo las actividades que desarrollaron los estudiantes participantes en esta investigación. 113 Actividad Nº 1: Un estudiante de ingeniería está interesado en construir un tanque de máxima capacidad debajo del primer plano inclinado de la escalera de su casa. Para tal efecto obtiene las medidas las cuales se muestran en la (Figura 1). Dicho tanque debe tener la forma de un paralelepípedo rectangular recto donde una de sus aristas debe tener longitud igual al ancho de la escalera (100 cm). Figura n°1: Imagen de la escalera Fuente: Propia Indicaciones: Sólo con el uso de lápiz conteste las siguientes interrogantes: 1) A partir del enunciado, relacione con variables las aristas desconocidas del paralelepípedo y explique con sus propias palabras qué tendrá que hacer para hallar el volumen máximo de dicho tanque. 2) Escriba una expresión algebraica que determine las restricciones del problema. 3) Halle el modelo matemático correspondiente a la función que se tendrá que optimizar. 114 4) Qué tipo de función real de una variable obtuvo en el paso anterior y cuál es el dominio de dicha función. 5) Cuál cree que sería la forma del gráfico correspondiente a la función obtenida en el paso anterior. a) b) c) Justifique su respuesta verbalmente: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… 6) En qué punto alcanza su valor máximo la función obtenida en el paso 4. 7) Cuál es el valor máximo de dicha función. 8) Represente gráficamente el modelo matemático obtenido para la función. 9) Ubique el punto más alto de la gráfica del paso anterior e interprete cada una de sus coordenadas. 10) Cuáles deben ser las dimensiones del paralelepípedo para que su volumen sea el mayor posible y cuál es el volumen máximo. Actividad Nº 2: En el curso de dibujo técnico, el profesor les encarga a sus estudiantes la siguiente tarea: Considerar una hoja rectangular ABCD de lados a y b, 0 < a ≤ b (Figura 2). De tal manera que al doblar la hoja, el vértice B “caiga” sobre el lado opuesto AD en el punto B´ formando el triángulo rectángulo PAB´ (P es el punto de doblez del lado AB) cuya área sea la mayor posible. 115 b a Figura n° 2: Imagen de la Hoja rectangular Indicaciones: Sólo con el uso de lápiz conteste las siguientes interrogantes: 1) A partir del enunciado, relacione con variables los lados desconocidos del triángulo rectángulo PAB´. 2) Escriba una expresión algebraica que relacione los tres lados del triángulo rectángulo PAB´. 3) Halle el modelo matemático correspondiente a la función área del triángulo rectángulo PAB´. 4) Qué tipo de función real de una variable obtuvo en el paso anterior y cuál es el dominio de dicha función. 5) En qué punto alcanza su valor máximo la función obtenida en el paso anterior. 6) Cuál es el valor máximo de dicha función. 7) Cuáles deben ser las dimensiones del triángulo rectángulo PAB´ para que su área sea la mayor posible y cuál es el área máxima. 8) En el caso particular para: a = b = 6, represente gráficamente el modelo matemático obtenido en el paso 4. 116 9) Ubique el punto más alto de la gráfica del paso anterior e interprete cada una de sus coordenadas. Actividad Nº 3: Un estudiante de arquitectura observa que los granos en reposo (maíz, arroz, frijol, etc.) de manera natural forman una figura cónica regida por propiedades físicas. A raíz de esta situación está motivado en diseñar un silo para almacenar grandes cantidades de granos. El silo a diseñar debe tener altura H y constituido por una parte inferior cilíndrico y la parte superior de forma cónica similar al que se muestra en la figura 5. La parte inferior debe ser un cilindro circular recto inscrito en un cono circular recto de radio R y altura H igual al del silo (H > 2R) de tal manera que el volumen de dicho cilindro sea el máximo. Figura 3 Figura 4 Figura 5 Indicaciones: Sólo con el uso de lápiz conteste las siguientes interrogantes: 1) A partir del enunciado, relacione con variables la altura y radio del cono, así como la altura y generatriz del cilindro inscrito en el cono circular recto. 2) Halle la relación entre la altura y radio del cono con la altura y generatriz del cilindro. 117 3) Halle el modelo matemático correspondiente a la función volumen del cilindro circular recto inscrito en el cono. 4) Qué tipo de función real de una variable se obtuvo en el paso anterior y cuál es el dominio de dicha función. 5) En qué punto alcanza su valor máximo la función obtenida en el paso anterior. 6) Cuál es el valor máximo de dicha función. 7) Cuáles deben ser las dimensiones del cilindro circular recto inscrito en el cono para que su volumen sea el mayor posible y cuál es el volumen máximo del cilindro. 8) En el caso particular par H=12m y R=5m, represente gráficamente el modelo matemático obtenido en el paso 4. 9) Ubique el punto más alto de la gráfica del paso anterior e interprete cada una de sus coordenadas. 118 ➢ ANEXO 3: Fotos de los estudiantes que participaron en la investigación. 119 ➢ ANEXO 4: Sílabo del curso de Cálculo 1 de la UPN. SÍLABO DEL CURSO DE CÁLCULO 1 I. INFORMACIÓN GENERAL: 1.1 Facultad: Arquitectura y Diseño Ingeniería 1.2 Carrera Profesional: Arquitectura y Urbanismo Arquitectura y Gerencia de Proyectos Ingeniería Ambiental Ingeniería Civil Ingeniería Empresarial Ingeniería Industrial Ingeniería Mecatrónica Ingeniería Minas Ingeniería de Sistemas Computacionales 1.3 Departamento: Ciencias 1.4 Requisito: Matemática básica (1° Ciclo) 1.5 Periodo Lectivo: Semestre 2013 - 1 1.6 Ciclo de Estudios: 2 1.7 Inicio – Término: 25 de Marzo al 21 de Julio del 2013 1.8 Extensión Horaria: 7H (5 HC y 2H NP) 1.9 Créditos: 4 1.10 Equipo Docente: Carlos Piedra ; Rocío López, Karla Pérez, Elías Mejía, Elmer Marquina, Hugo Flores, Alberto Morales, Juan Broncano, Ada Aguilar, Ernaldo Caruajulca. II. SUMILLA: El curso contribuye a desarrollar en el estudiante habilidades para obtener modelos matemáticos, gráficas y optimizaciones. El curso es de naturaleza teórica- 120 práctica. Los principales temas son: Funciones, Límites, Continuidad y Cálculo Diferencial (Derivada y Aplicaciones) III. LOGRO DEL CURSO Al finalizar el curso, el estudiante resuelve problemas utilizando el análisis de funciones y el cálculo diferencial, aplicados a situaciones diversas en forma individual y grupal. IV. UNIDADES DE APRENDIZAJE Nombre de Unidad I: Funciones reales de variable real Logro de Unidad: Al finalizar la unidad, el estudiante analiza el comportamiento de funciones graficándolas en el plano cartesiano, determinando su ley de formación y resolviendo problemas vinculados a ingeniería y gestión. Contenidos Sema Actividades de Aprendizaje Evaluación na Saberes Básicos Horas No Recursos (criterios de Horas Presenciales Presenciales evaluación) • Funciones: definición, • Los estudiantes • Participación dominio y rango responden preguntas en clase (oral o • Uso del • Funciones elementales: impartidas por el escrita). aula virtual. lineal, cuadrática y raíz docente. cuadrada. • Los estudiantes, • Hoja de mediante grupos de trabajo 1 trabajo, resuelven ejercicios y problemas. • Utilizan algún software matemático para realizar el trazo de diversas funciones. • Participación activa de • Uso del • Participación • PPTs los estudiantes. aula en clase (oral o • Se organizan en virtual. escrita). equipos de trabajo para resolver • Grafican ejercicios y funciones • Práctica • Funciones elementales: problemas, con usando calificada racional, función definida asesoramiento del software. 2 por trozos y valor docente. absoluto. • Desarrollan en forma • Resolución • Aula individual la práctica de la virtual calificada sobre el práctica análisis de funciones. calificada. 121 • Los estudiantes • Uso del responden preguntas aula • Participación impartidas por el virtual. • Proyector en clase (oral o • Funciones elementales: docente. multimedi escrita). exponenciales y • El alumno logarítmica resuelve la a • Funciones • Resolución de autoevalua • Presentación Trigonométricas: Seno, ejercicios y ción del T1 de un informe coseno y tangente. problemas en forma en el aula grupal. virtual solución de un 3 • caso de Se organizan en estudio de equipos de trabajo acuerdo a los para resolver casos • Software criterios de la con el asesoramiento matemátic rúbrica. del docente. o • Pizarra y plumones • Resuelven ejercicios y • Uso del • Hoja de • Participación problemas en forma aula virtual trabajo en clase (oral o grupal. • PPTs escrita). • Operaciones con • Desarrollan en forma • Resolución • Aula individual el examen del examen virtual • Examen T1. funciones: adición, 4 sustracción, multiplicación de conocimientos T1. • Proyector y división (T1). multimedi a • Pizarra y plumones. Evaluación: (T1): EE (0.40), PC (0.20), PDC (0.20), P (0.20) Examen escrito (EE), Práctica Calificada (PC), Problema de casos (PDC), Participaciones en clases (P) • Los estudiantes • Uso del aula • Hoja de • Participación responden virtual trabajo en clase (oral o preguntas • PPTs escrita). • Composición de funciones. impartidas por el • Aula virtual • Modelos matemáticos docente • Proyector 5 aplicados a la ingeniería, arquitectura y gestión • Resuelven multimedia ejercicios y • Pizarra y empresarial problemas en plumones. forma individual o grupal. Nombre de Unidad II: Límites y continuidad de una función Logro de Unidad: Al finalizar la unidad, el estudiante analiza el comportamiento de funciones a partir de límites y continuidad. Contenidos Seman Actividades de Aprendizaje Evaluación a Saberes Básicos Horas Horas No Recursos (criterios de Presenciales Presenciales evaluación) 6 • Cálculo algebraico del límite • Los estudiantes • Uso del aula • Hoja de 122 de una función responden virtual. trabajo • Cálculo de Límites: preguntas • Uso de la • PPTs • Participación laterales y al infinito impartidas por el Biblioteca. • Aula virtual en clase (oral o docente • Proyector escrita). • Resuelven multimedia ejercicios y • Pizarra y problemas en plumones. forma individual o grupal. • Los estudiantes • Uso del aula responden virtual. • Participación preguntas • Uso de la en clase (oral o impartidas por el Biblioteca. escrita). docente • El alumno • Resuelven resuelve la ejercicios en autoevaluació • Continuidad de una función forma individua o • Presentación n del Examen • Asíntotas de una función: grupal. de un informe 7 parcial en el horizontales, verticales y • con la solución Los estudiantes aula virtual oblicuas de un caso de se organizan en estudio de equipos de acuerdo a los trabajo para criterios de la resolver rúbrica. problemas de casos con asesoramiento del docente. Nombre de Unidad III: Derivada de una función Logro de Unidad: Al finalizar la unidad, el estudiante resuelve problemas usando el cálculo, la interpretación geométrica e la interpretación física de la razón de cambio de una función. Contenidos Seman Actividades de Aprendizaje Evaluación a Saberes Básicos Horas No Recursos (criterios de Horas Presenciales Presenciales evaluación) • Derivada de una función: • Participan en • Uso del aula • Hoja de definición clase en forma virtual trabajo. • Interpretación geométrica oral o escrita. • Participación • Resuelven en clase (oral o 8 ejercicios en • PPTs escrita). forma • individual o grupal. EXAMEN PARCIAL: Examen Escrito individual • Participan en • Uso del aula • Participación en clase (oral o • Interpretación como razón clase en forma virtual instantánea de cambio de oral o escrita. escrita). 9 una función. • Resuelven • Presentación • Aula virtual del informe de • Reglas de derivación ejercicios en forma individual planificación del trabajo de 123 o grupal. aplicación final(IP) • Participan en • Uso del aula • Proyector clase en forma virtual. multimedia oral o escrita. • Resolución de • Resuelven la práctica • Participación • ejercicios en calificada. en clase (oral o Regla de la cadena forma individual escrita). 10 • Recta tangente y normal a • El alumno o grupal. • Pizarra y la curva en un punto resuelve la plumones. • Desarrollan en autoevaluació • Práctica forma individual n del T2 en el calificada. la práctica aula virtual calificada de derivadas. • Participan en • Uso del aula • Hoja de • Participación clase en forma virtual trabajo en clase (oral o oral o escrita. • Uso de la • PPTs escrita). • Los estudiantes, biblioteca. • Aula virtual • • Examen de Derivadas implícitas y en forma • Proyector 11 • Resolución individual, Multimedia conocimientos problemas de aplicación del examen resuelven • Pizarra y (T2). T2 ejercicios y plumones. problemas (T2). Evaluación: (T2): EE (0.40), PC (0.20), PDC (0.20), P (0.20) Examen escrito (EE), Práctica Calificada (PC), Problema de casos (PDC), Participaciones en clases (P) Unidad IV: Aplicaciones de la derivada Logro de Unidad: Al finalizar la unidad, el estudiante determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función, analizando los máximos y mínimos. Aplica objetivamente estos conocimientos resolviendo problemas de aplicación sobre optimizaciones. Contenidos Actividades de Aprendizaje Evaluación Seman a Saberes Básicos Horas Horas No Recursos (criterios de evaluación) Presenciales Presenciales • Participan en • Uso del aula • Funciones crecientes y clase en forma virtual. decrecientes en un oral o escrita. • Participación 12 intervalo • Resuelven • Hoja de en clase (oral o • Valores máximos y mínimos ejercicios en trabajo escrita). locales de una función forma individual o grupal. • Participan en • Uso del aula clase en forma virtual • Participación • PPTs oral o escrita. • Uso de la en clase (oral o • Intervalos de concavidad y • Los estudiantes escrita). 13 puntos de inflexión se organizan en • Gráfica de una función equipos de trabajo para • Presentación • Aula virtual resolver del informe del trabajo en 124 ejercicios y equipo. problemas con asesoramiento del docente. • Proyector • Participan en • Uso del aula multimedia • Participación clase en forma virtual. en clase (oral o oral o escrita escrita). • Resuelven • Uso de la ejercicios en biblioteca. forma individual • Pizarra y • Problemas de Optimización 14 • o grupal. plumones. Práctica Calificada • • Práctica Desarrollan en • Resolución de calificada. forma individual la práctica ejercicios y calificada. problemas de la práctica calificada. • Presentan y • Uso del aula • Participación sustentan los virtual. en clase (oral o trabajos de escrita). aplicación de fin • El alumno • Presentación de curso. resuelve la del informe autoevaluació final del n del Examen trabajo de Final en el aplicación del • Proyecto de aplicación de 15 aula virtual. curso de fin de curso (PA) acuerdo a los criterios de la rúbrica (IF) • Exposición del trabajo de aplicación de acuerdo a los criterios de la rúbrica (E). Evaluación: (T3): IP(0.20), IF (0.30), E (0.30), PC (0.20) Informe Preliminar (IP), Informe Final (IF), Exposición (E), Práctica Calificada (PC) 16 EXAMEN FINAL 17 EXAMEN SUSTITUTORIO V. ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS: El curso de cálculo 1 se desarrolla a través de metodologías activas, donde el rol del docente es un facilitador del aprendizaje. Entre las metodologías y técnicas a utilizar se tienen las siguientes: 125 Metodologías Técnicas • Estudio de casos. • Desarrollo de prácticas grupales. • Aprendizaje colaborativo. • Participación activa en clase. • Trabajo en equipo • Actividades en aula virtual - Argos VI. SISTEMA DE EVALUACIÓN DEL CURSO: Es obligatoria la asistencia a un mínimo del 70% de las clases teóricas y prácticas programadas. El alumno que no cumpla con este requisito quedará automáticamente inhabilitado en el curso y como consecuencia de ello, desaprobará. El alumno que no esté presente al llamado de lista será considerado ausente. El cómputo de la asistencia se realiza desde el primer día de clases. El sistema de evaluación mide el logro de determinados objetivos (contenidos), para lo cual contempla dos tipos de prueba: exámenes parciales y evaluación T. Los parciales son dos (a mitad y final del ciclo) y evalúan los contenidos conceptuales del curso. No es posible la recuperación de ninguna nota parcial de la evaluación continua, bajo ningún concepto. El cronograma de la evaluación continua del curso es el siguiente: ESPECIFICACIÓN DE ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN CONTINUA EN EL CURSO T Descripción Semana T1 • Funciones. Gráficas, dominio y, rango y problemas 4 de aplicación. T2 • Límites y continuidad de funciones, y derivada de 11 una función y problemas de aplicación T3 • Aplicaciones de la derivada y sustentación del 15 proyecto de fin de curso. ESPECIFICACIÓN DE ACTIVIDADES PARA LAS EVALUACIONES: PARCIAL Y FINAL Descripción Semana PARCIAL Se evaluará los temas que se realizaron en las ocho 8 primeras semanas. FINAL Se evaluará los temas que se realizaron desde la 16 primera semana hasta la semana quince. 126 Los pesos ponderados de los resultados de evaluación son los siguientes: EVALUACIÓN PESO (%) ESCALA VIGESIMAL PARCIAL 20 4 CONTINUA (Ts) 60 12 FINAL 20 4 TOTAL 100% 20 La evaluación sustitutoria evalúa toda la temática desarrollada en el semestre y se rinde la semana consecutiva al término de los exámenes finales y su nota reemplazará, necesariamente, a la nota de un Examen (Parcial o Final) o a la nota de un T, de tal manera que el resultado final sea favorable al alumno. VII. BIBLIOGRAFÍA: 1. Bibliografía Básica # CÓDIGO CÓDIGO CÓDIGO AUTOR TITULO EDITORIAL AÑO UPNT UPNC UPNL 1 515 515 515 Neuhauser, Matemática para Pearson 2004 NEUH NEUH NEUH Claudia Ciencias Educación 2 515.3 515.3 515.3 PITA Pita Ruiz, Claudio Cálculo de una variable PITA PITA Prentice Hall 1998 515 515 3 515 Tébar Flores, Problemas de cálculo Tébar TÉBA TÉBA 2005 TÉBA Emilio Infinitesimal 4 515 515 515 Hudhes – Hallett, Cálculo Aplicado 2004 HUDH HUDH HUDH Deborah Continental 515.15 515.15 515.15 Larson, Ron / 5 LARS LARS LARS Hostetler, Robert / Cálculo. McGraw-Hill 2006 2002 Edwards, Bruce 515.33 Cálculo diferencial para 6 515.33 515.33 Benítez López, BENÍ ciencias básicas e Trillas 1997 BENÍ BENÍ René ingeniería. Matemáticas aplicadas a 7 510 Harshbarger, la Administración, 510 510 McGraw-Hill 2005 HARS Ronald J. Economía y Ciencias HARS HARS Sociales. 510 Matemáticas Aplicadas 519 519 8 BUDN para la administración, McGraw-Hill BUDN BUDN Budnick, Frank S. 2007 2007 economía y ciencias 2007 2007 sociales. 127 2. Bibliografía Complementaria # CÓDIG CÓDIGO CÓDIGO O UPNC UPNL AUTOR TITULO EDITORIAL AÑO UPNT Matemáticas aplicadas a 9 515 515 515 Arya, Jagdish / Pearson la Administración y la 2009 ARYA ARYA200 ARYA200 Lardner, Robin Educación Economía. 2002 2 9 510 510 510 Matemática para 10 Haeussler, Ernest / HAEU/ HAEU/M HAEU/M Administración y Pearson 2008 Richard, Paul. M 2008 2008 Economía. Educación 515 515 Hoffmann, Calculo aplicado a la 515 11 HOFF/C HOFF/C Laurence Bradley, Administración, McGraw-Hill HOFF/C 2006 2006 2006 Gerald economía y Ciencias 2006 Sociales. 515 515 Cálculo para ciencias 12 515 BITT BITT Bittinger, Marvin L Económico– Pearson 2002 BITT Administrativas. Educación Matemática Para 510 2005 13 510 TAN 510 TAN Administración y Thompson TAN Economía. 3. Páginas Web para consultar en Internet RELACIONES Y FUNCIONES • http://www.escolar.com/menumate.htm • http://elcentro.uniandes.edu.co/cr/mate/estructural/libro/estructural/node21.html • http://www.fi.uba.ar/materias/61107/Apuntes/Rel00.pdf LíMITE Y CONTINUIDAD • http://euler.us.es/~renato/clases/eam2002-3/node24.html • http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas/39-1-u-continuidad.html DERIVADA DE UNA FUNCIÓN • http://www.decarcaixent.com/actividades/mates/derivadas/derivadas4.htm • http://www.fisicanet.com.ar/matematica/m3ap02/apm3_27e_Derivadas.php 128 APLICACIONES DE LA DERIVADA • http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0295-01/punto5/punto5.html http://docencia.udea.edu.co/ingenieria/calculo/pdf/4_10_1.pdf VIII. ANEXOS Competencias Genéricas UPN Competencias Descripción Inspira confianza en un grupo, lo guía hacia el logro de una visión 1. Liderazgo compartida y genera en ese proceso desarrollo personal y social. Trabaja en cooperación con otros de manera coordinada, supera 2. Trabajo en conflictos y utiliza sus habilidades en favor de objetivos Equipo comunes. 3. Comunicación Intercambia información a través de diversas formas de Efectiva expresión y asegura la comprensión mutua del mensaje. Asegura que sus acciones producirán un impacto general 4. Responsabilidad positivo en la sociedad y en la promoción y protección de los Social derechos humanos. 5. Pensamiento Analiza e Interpreta, en contextos específicos, argumentos o Crítico proposiciones. Evalúa y argumenta juicios de valor. Busca, identifica, evalúa, extrae y utiliza eficazmente 6. Aprendizaje información contenida en diferentes fuentes para satisfacer una Autónomo necesidad personal de nuevo conocimiento. 7. Capacidad para Reconoce y comprende un problema, diseña e implementa un Resolver proceso de solución y evalúa su impacto. Problemas 129