PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ 
FACULTAD DE EDUCACIÓN 
Los niveles de razonamiento de Van Hiele que alcanzan los estudiantes 
de quinto grado de primaria de una Institución Educativa Particular de 
Lima Metropolitana al desarrollar un test sobre triángulos y cuadriláteros 
TESIS PARA OPTAR EL TÍTULO DE LICENCIADA EN 
EDUCACIÓN CON ESPECIALIDAD EN EDUCACIÓN PRIMARIA 
AUTOR: 
Lourdes Florencia Rodríguez Soto 
ASESOR: 
Elizabeth Milagro Advíncula Clemente 
Lima, Setiembre, 2019 
AGRADECIMIENTOS 
A mi hermana Lidia, quien me ha acompañado desde el inicio en este increíble viaje. 
A mi mamá y papá, Honoria y Rubén, por su amor y sus enseñanzas. 
A mi abuela, Lidia Irupailla, por darme cariño y seguridad. 
A mi tía Bertha Irupailla, por ser mi mayor maestra. 
Edison, todo esfuerzo tiene su recompensa, te quiero. 
Un agradecimiento especial a mi asesora, Elizabeth Advíncula, quien con su carisma 
representa para mí un modelo a seguir tanto como persona y como profesora. 
ii 
RESUMEN 
El modelo de Van Hiele es una teoría de enseñanza y aprendizaje de la geometría que 
abarca dos grandes dimensiones de estudio: los niveles de razonamiento geométrico y las 
fases para una secuencia didáctica de geometría. En la presente investigación se abordará 
particularmente los niveles de razonamiento geométrico de Van Hiele respecto a los 
triángulos y los cuadriláteros. Este estudio es de tipo descriptivo, no experimental de 
diseño transversal y cuantitativo. 
La presente investigación es descriptiva, ya que se enfoca en identificar y describir los 
niveles de razonamiento de Van Hiele en estudiantes de quinto grado de primaria. 
También, es no experimental de diseño transversal, puesto que no habrá manipulación 
intencional de la categoría de estudio y los datos serán recolectados en un tiempo único. 
Y es cuantitativa porque se construirán creencias propias para un grupo determinado de 
personas a partir de la medición de variables.   
Respecto, al desarrollo de este estudio, se trabajó con un grupo de cuatro niños con alto 
rendimiento académico que pertenecían a quinto grado de primaria de una institución 
educativa particular de Lima Metropolitana. Esta investigación enriquece con la visión 
de una geometría accesible para todos, pues parte de un enfoque que busca conocer los 
niveles de razonamiento geométrico que presentan los estudiantes y a partir de ello 
contribuir con distintas actividades que desarrollen habilidades de razonamiento 
geométrico en los niños.  
De esta manera, por medio de esta investigación se buscó caracterizar el nivel de 
razonamiento geométrico respecto a los cuadriláteros y triángulos en los estudiantes de 
quinto grado de primaria de una IE particular de Lima Metropolitana. Asimismo, se 
encontró que el razonamiento geométrico de cada estudiante que participó del estudio es 
diverso y complejo, ya que cada uno desarrolla habilidades de razonamiento geométrico 
que los ubican en distintos grados de acuerdo a los niveles de Van Hiele.   
Palabras claves: Niveles de Van Hiele, razonamiento geométrico, triángulos y 
cuadriláteros. 
iii 
ÍNDICE 
INTRODUCCIÓN 5 
I. PARTE: MARCO TEÓRICO 7 
Capítulo I: Objetos geométricos: triángulos y cuadriláteros 7 
1.1 Las figuras geométricas en la historia 7 
1.2 Triángulos y cuadriláteros 8 
1.3 Triángulos y cuadriláteros en el Programa Curricular de Educación Primaria del 
Ministerio de Educación del Perú 16 
1.4 Triángulos y cuadriláteros en el Cuaderno de Trabajo de 5to de primaria del Ministerio 
de Educación del Perú 17 
Capítulo II: Niveles de Razonamiento Geométrico de Van Hiele en la enseñanza de los 
triángulos y los cuadriláteros 18 
2.1 Modelo de razonamiento geométrico de Van Hiele 18 
2.2 Descripción de los niveles de razonamiento geométrico de Van Hiele 19 
2.3 Niveles de razonamiento geométrico de Van Hiele respecto a los cuadriláteros y 
triángulos 31 
2.4. Descripción de las fases de aprendizaje del modelo de razonamiento geométrico de 
Van Hiele para los triángulos y cuadriláteros. 34 
II. PARTE: INVESTIGACIÓN 36 
Capítulo I: Diseño de la investigación 36 
1.1 Objetivos de la investigación 36 
1.2 Metodología de la investigación 36 
1.3 Categoría, subcategoría e indicadores de la investigación 38 
1.4 Población, muestra e informantes 41 
1.5 Técnica e instrumento de la investigación 43 
1.6 Importancia del estudio de los niveles de razonamiento de Van Hiele 45 
Capítulo II: Análisis e interpretación de los resultados 46 
2.1 Aplicación del test de razonamiento geométrico 46 
2.2 Descripción de las respuestas esperadas al test de razonamiento 48 
2.3 Descripción de las respuestas dadas al test de razonamiento geométrico 54 
2.4 Análisis de los resultados 68 
CONCLUSIONES 72 
RECOMENDACIONES 74 
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 75 
ANEXOS 79 
iv 
INTRODUCCIÓN 
La presente tesis parte de la siguiente pregunta problema: ¿Cuál es nivel de razonamiento 
geométrico respecto a los cuadriláteros y triángulos que alcanzan los estudiantes de quinto 
grado de primaria de una Institución Educativa particular de Lima Metropolitana? Para 
ello, se propone tener como marco de referencia de la investigación los Niveles del 
Modelo de Van Hiele. Estos niveles permiten conocer el razonamiento geométrico de los 
estudiantes al identificar las habilidades del nivel en el que se encuentran. Así, al 
determinar el grado de adquisición de los niveles de Van Hiele, se tendrá una visión más 
clara de cómo razona el niño y también de los objetivos que se espera alcancen al aprender 
un nuevo contenido matemático.  
A partir de lo mencionado anteriormente, esta investigación tiene como objetivo principal 
“Caracterizar el nivel de razonamiento geométrico respecto a los cuadriláteros y 
triángulos en los estudiantes de quinto grado de primaria de una IE particular de Lima 
Metropolitana”. Para lo cual, se propone: “Describir los niveles de razonamiento 
geométrico según Van Hiele, respecto a los triángulos y cuadriláteros que se espera 
alcancen los estudiantes de quinto grado de primaria” e “Identificar el nivel de 
razonamiento geométrico según Van Hiele, respecto a los cuadriláteros y triángulos en 
estudiantes de quinto grado de primaria de una IE particular de Lima Metropolitana”. 
Tras una revisión bibliográfica respecto a estudios anteriores que antecedan a esta 
investigación, se encontraron investigaciones que tienen como punto en común la prueba 
como técnica para la recogida de información. Estas investigaciones son las siguientes: 
“Estudio de los niveles de razonamiento de Van Hiele en alumnos de centros de enseñanza 
vulnerables de educación media en Chile” (Aravena, Gutiérrez, y Jaime, 2016); 
“Aportaciones a la interpretación y aplicación del modelo de Van Hiele: la enseñanza de 
las isometrías del plano. La evaluación del nivel de razonamiento” (Jaime, 1993) y “An 
alternative paradigm to evaluate the acquisition of the van hiele levels” (Fortuny, 
Gutiérrez y Jaime, 1991). 
Por otro lado, este trabajo de investigación presenta cuatro capítulos distribuidos en dos 
partes. La primera parte se refiere al marco teórico y desarrolla dos capítulos, el primero 
está relacionado a los objetos geométricos de la investigación, los triángulos y los 
cuadriláteros. Asimismo, el segundo capítulo está vinculado a los Niveles de 
razonamiento geométrico de Van Hiele en relación a los triángulos y cuadriláteros. 
5 
Luego, la segunda parte también llamada Investigación, desarrolla un primer capítulo 
sobre el diseño de la investigación, y un segundo capítulo sobre el análisis e interpretación 
de los resultados. Por último, la parte final de la tesis expone conclusiones y 
recomendaciones relacionadas directamente con los objetivos de investigación 
previamente expuestos.   
El presente estudio obtuvo distintos aportes relacionados al marco teórico, metodológico 
y práctico relacionado a los niveles de Van Hiele. En relación al marco teórico y 
metodológico, se elaboró una matriz de indicadores relacionados a los Niveles de Van 
Hiele respecto a los triángulos y cuadriláteros. Esta matriz permite conocer, a través de 
determinados indicadores, aquellas habilidades que un estudiante puede alcanzar en un 
determinado nivel de razonamiento geométrico. Asimismo, un aporte relacionado al 
marco práctico es el test de razonamiento geométrico, el cual está elaborado para 
caracterizar el nivel de razonamiento geométrico respecto a los triángulos y cuadriláteros.  
El desarrollo de este estudio permite reflexionar sobre la importancia de entender y 
valorar a la geometría como una ciencia cotidiana en la vida de los niños. Por lo cual, es 
necesario conocer y respetar los niveles de razonamiento que presentan nuestros 
estudiantes. No obstante, en muchas ocasiones por causa de la rutina académica diaria, 
este tipo de evaluaciones que permite al docente conocer cómo razonan sus alumnos, 
queda como simple paradigma que no se emplea en las aulas.   
6 
I. PARTE: MARCO TEÓRICO 
Capítulo I: Objetos geométricos: triángulos y cuadriláteros 
Los objetos geométricos a estudiar en la presente investigación son los cuadriláteros y los 
triángulos; estos son considerados como “figuras geométricas planas” o 
“bidimensionales” y forman parte de la amplia familia de figuras geométricas. A 
continuación, el primer capítulo abordará información importante sobre los cuadriláteros 
y triángulos, desde su historia, un repaso por sus características hasta una revisión de estas 
figuras a partir del material educativo que se emplea en la enseñanza primaria como son 
los libros.  
1.1 Las figuras geométricas en la historia 
Cuenta Vitruvio (s.f) que el filósofo Aristipo, discípulo de Sócrates, fue arrojado a las 
costas de la isla de Rodas. Al advertir unas figuras geométricas dibujadas en la arena, 
gritó a sus compañeros: “¡tengamos confianza, pues observo huellas humanas!”. Las 
figuras geométricas han estado presentes desde hace miles de años, esto gracias a los 
dibujos que hacían los antiguos habitantes en su intento por representar la realidad, su 
entorno o todo aquello que conocían. Así mismo, señala Corberán, Huerta, Margarit, 
Peñas y Ruiz (1989), que las figuras geométricas, consideradas como modelos de 
representación rigurosa, han sido por siglos referencia obligada para la enseñanza de la 
geometría; muchas veces denominadas como “prima dona” del currículo en las escuelas. 
Euclides, matemático griego considerado como el padre de la geometría pensaba: 
“¿Cómo no va a ser objeto de admiración la primera entre las ciencias que logra organizar 
todo el saber acumulado, codificarlo, elaborar un sistema axiomático y unos mecanismos 
de razonamiento que controlen y verifiquen la imaginación creadora?" (Corberán et al., 
1989, p. 10). Con esta cita se observa el valor que recibía la geometría desde la antigüedad 
de la mano de filósofos o pensadores como el ya mencionado Euclides. Asimismo, otras 
fuentes que demuestran el valor que se le otorgaba a esta disciplina la podemos encontrar 
en “La República”, obra de Platón y en la obra “Comentario a las Categorías”, escrita por 
Elías. La primera fuente, relatada en primera persona por Sócrates, sostiene un diálogo 
en el que se refiere a la geometría como una de las enseñanzas fundamentales para el 
desarrollo académico de los guerreros y pensadores. Por su parte, la segunda obra, cuenta 
que en el frontis de la Academia de Platón se leía la siguiente frase: “Que nadie entre aquí 
7 
si no sabe Geometría”. Esta ciencia era valorada por los filósofos de la antigua Grecia, ya 
que les brindaba herramientas de organización, orientación espacial, entre otros.    
Como se ha mencionado anteriormente, desde tiempos pasados se remonta el valor que 
se le otorgaba a la geometría, y con ello el interés progresivo por conocer temas como las 
figuras geométricas, aunque inicialmente con distintas denominaciones. Hasta el día hoy, 
la geometría es considerada como ciencia primordial en el desarrollo de los estudiantes, 
ya que como señala Akkaya, Celebi Akkaya y Erdogan (2009), la geometría es un 
componente de las matemáticas que permite a los estudiantes tener una mejor 
comprensión del ambiente que los rodea y los eventos que en este se desarrollan. Así 
mismo, el razonamiento geométrico desarrolla distintas características cognitivas en los 
estudiantes, las cuales contribuyen a su desarrollo. 
A partir de la revisión realizada a las figuras geométricas a través de su historia, los 
siguientes párrafos expondrán información relevante sobre los objetos geométricos del 
presente estudio: cuadriláteros y triángulos.  
1.2 Triángulos y cuadriláteros 
Los cuadriláteros y triángulos son considerados figuras geométricas planas o 
bidimensionales, las cuales pertenecen al grupo de los polígonos. Para Weisstein (citado 
por Scahill, 2006), “a polygon is a closed plane figure with many sides” (p. 31)1, es decir, 
un polígono es una figura cerrada de tres a más lados, el cual de acuerdo a la media de 
sus lados y ángulos puede ser regular o irregular. Para Cahir y Weisstein (citados por 
Scahill, 2006), si todos los lados y ángulos de un polígono tienen la misma medida se 
llaman “polígonos regulares”, mientras que si sus lados y ángulos no son de igual medida, 
se les denomina “polígonos irregulares”.  
La geometría se encarga de estudiar las propiedades y medidas de las figuras geométricas. 
Para Godino (2004), las figuras geométricas pueden clasificarse según su forma en: 
figuras geométricas planas (bidimensionales) y figuras geométricas espaciales 
(tridimensionales). Por su parte, las figuras geométricas planas pueden dividirse en 
polígonos y circunferencia; mientras que las figuras geométricas espaciales pueden ser: 
cubo, esfera, prismas, pirámides, conos, cilindros, entre otros.  
1 Un polígono es una figura plana cerrada con muchos lados. (Traducción textual) 
8 
De acuerdo a Godino (2004), “realizar clasificaciones de estos objetos geométricos no 
solo ayuda a entender mejor sus propiedades sino a establecer relaciones entre ellos” (p. 
468). Es por ello, que en coherencia con el propósito de la presente investigación, se 
tomará en cuenta la clasificación propuesta por Godino (2004), la cual permitirá estudiar 
los polígonos: cuadriláteros y triángulos.  
Por un lado, los cuadriláteros son aquellas figuras geométricas planas que se caracterizan 
por presentar cuatro lados, cuatro vértices y cuatro ángulos. Cuadrilátero proviene de las 
palabras latinas “quadri”, que significa cuatro, y “latus”, que significa lado. Para Salvat 
Editores (2004), el cuadrilátero es una “figura formada por cuatro rectas que se cortan dos 
a dos y sus seis puntos de intersección” (p. 4075). Por otro lado, los triángulos son figuras 
geométricas planas conformadas básicamente por tres lados, tres vértices y tres ángulos. 
Díaz (citado por Barroso, 2000), señala en el Diccionario básico de matemáticas que el 
triángulo es un “polígono de tres lados o ángulos” (p. 288). 
A continuación, a fin de caracterizar los objetos geométricos de la presente investigación, 
se explicarán las propiedades, los elementos y la clasificación tanto de los cuadriláteros 
como los triángulos. Para dicho estudio formal se tomará como principal fuente de 
consulta el libro “Geometría moderna” escrito con Moise y Downs (1986).  
Propiedades, elementos y clasificación de cuadriláteros 
De acuerdo a Moise y Downs (1986), “un cuadrilátero es una figura plana de cuatro lados” 
(p. 143), el cual puede definirse de la siguiente manera: 
Sean A, B, C y D cuatro puntos coplanarios2, de los cuales tres no están alineados y los 
segmentos AB, BC, CD y DA se intersecan solamente en sus extremos, entonces la 
reunión de los cuatro segmentos se llama cuadrilátero (ver figura 1).  
Para el presente estudio, se tendrá en cuenta los siguientes elementos de los cuadriláteros: 
lados, vértices y ángulos. A modo de ejemplo, presentamos el cuadrilátero ABCD, donde 
los cuatro segmentos AB, BC, CD y DA se llaman lados; los puntos A, B, C y D se llaman 
vértices; y los ángulos ABC, BCD, CDA y DAB se llaman ángulos interiores del 
cuadrilátero (ver figura 1). 
2 Coplanario: que se encuentran en el mismo plano. 
9 
Figura 1: Cuadrilátero 
Fuente: Elaboración propia 
Así mismo, Salvat Editores (2004) señalan que “dos vértices consecutivos de un 
cuadrilátero determinan una recta que divide al plano en dos semiplanos: según que los 
otros dos vértices pertenezcan o no al mismo semiplano se dice que el cuadrilátero es 
convexo o cóncavo” (p. 4075). Para propósitos del presente estudio, este se enfocará en 
los cuadriláteros convexos, los cuales se clasifican en: paralelogramos, trapecios y 
trapezoides. 
Así pues, en las siguientes líneas se caracterizan los cuadriláteros convexos anteriormente 
mencionados.  
 Paralelogramo
Para Salvat (2004), paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos. 
Este puede ser: cuadrado, rectángulo, rombo y romboide. 
o Cuadrado
Es un paralelogramo cuyos lados y ángulos son de igual medida entre sí. De acuerdo a 
Salvat Editores (2004), los ángulos de un cuadrado son todos iguales a un recto, es decir, 
miden 90°. A modo de ejemplo, presentamos el cuadrado ABCD (ver figura 2). 
Figura 2: Cuadrado 
Fuente: Elaboración propia 
10 
o Rectángulo
Es un paralelogramo cuyos ángulos son todos rectos (90°) y sus lados paralelos son de 
igual medida, mientras que los consecutivos no lo son. A modo de ejemplo, presentamos 
el rectángulo ABCD (ver figura 3). 
Figura 3: Rectángulo 
Fuente: Elaboración propia 
o Rombo
Es un paralelogramo cuyos lados son todos de igual medida entre sí. Tienen dos ángulos 
agudos (miden menos de 90°) y dos ángulos obtusos (miden más de 90°). A modo de 
ejemplo, presentamos el rombo ABCD (ver figura 4).  
Figura 4: Rombo 
Fuente: Elaboración propia 
o Romboide
Es un paralelogramo que tiene los lados y los ángulos consecutivos de diferente medida. 
Mientras que sus lados paralelos son de igual media al igual que sus ángulos opuestos. A 
modo de ejemplo, presentamos el romboide ABCD (ver figura 5). 
11 
Figura 5: Romboide 
Fuente: Elaboración propia 
 Trapecio
Es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos llamados bases y dos lados no paralelos. 
Además, la distancia entre las bases se denomina altura. Puede ser: rectángulo, isósceles 
y escaleno. A modo de ejemplo, presentamos el trapecio rectángulo ABCD (ver figura 6), 
el trapecio isósceles (ver figura 7) y el trapecio escaleno ABCD (ver figura 8). 
Figura 6: Trapecio rectángulo 
Fuente: Elaboración propia 
Figura 7: Trapecio isósceles 
Fuente: Elaboración propia 
Figura 8: Trapecio escaleno 
Fuente: Elaboración propia 
12 
 Trapezoide
Cuadrilátero que no tiene ningún lado paralelo a otro. A modo de ejemplo presentamos 
el trapezoide ABCD (ver figura 9).   
Figura 9: Trapezoide 
Fuente: Elaboración propia 
Propiedades, elementos y clasificación de los triángulos 
Para Moise y Downs (1986), un triángulo es un polígono definido por tres lados, tres 
vértices y tres ángulos, el cual también puede definirse de la siguiente manera: 
Si A, B y C son tres puntos cualesquiera no alineados sobre el plano, entonces la reunión 
de los segmentos AB, AC y BC se denomina como triángulo (ver figura 8).  
Además, los puntos A, B y C se llaman vértices y los tres segmentos AB, AC y BC se 
denominan lados. Así mismo, cada par de lados determina un ángulo interior (llamado 
ángulo), los cuales sumados en total resultan ciento ochenta grados (180°); estos son: 
BAC, ABC y ACB (ver figura 10). 
Figura 10: Triángulo 
Fuente: Elaboración propia 
Para Salvat Editores (2004), según sean los lados el triángulo puede ser: equilátero, 
isósceles y escaleno; y en razón de sus ángulos el triángulo puede ser: rectángulo, oblicuo, 
obtusángulo, acutángulo y equiángulo. Para propósitos del presente estudio, este se 
13 
enfocará solo en los triángulos equilátero, isósceles, escaleno, rectángulo, acutángulo y 
obtusángulo. 
A continuación, se caracterizarán los triángulos relacionados a la investigación 
anteriormente mencionados.  
 Triángulo equilátero
El triángulo equilátero es aquel que tienen sus tres lados de igual medida. A modo de 
ejemplo presentamos el triángulo ABC (ver figura 11). 
Figura 11: Triángulo equilátero 
Fuente: Elaboración propia 
 Triángulo isósceles
Un triángulo es isósceles si dos de sus tres lados son de igual medida. A modo de ejemplo 
presentamos el triángulo ABC (ver figura 12). 
Figura 12: Triángulo isósceles 
Fuente: Elaboración propia 
 Triángulo escaleno
El triángulo escaleno es aquel que presenta lados de distinta medida. A modo de ejemplo 
presentamos el triángulo ABC (ver figura 13). 
14 
Figura 13: Triángulo escaleno 
Fuente: Elaboración propia 
 Triángulo rectángulo
El triángulo rectángulo, también conocido como recto u ortogonio, es aquel en el que uno 
de sus ángulos interiores (ángulos) es recto, es decir, mide 90°. A modo de ejemplo 
presentamos el triángulo ABC (ver figura 14). 
Figura 14: Triángulo rectángulo 
Fuente: Elaboración propia 
 Triángulo acutángulo
Se denomina triángulo acutángulo, agudo u oxigonio si los tres ángulos del triángulo son 
agudos, es decir, miden menos de 90°. A modo de ejemplo presentamos el triángulo ABC 
(ver figura 15). 
Figura 15: Triángulo acutángulo 
Fuente: Elaboración propia 
15 
 Triángulo obtusángulo
Se denomina triángulo obtusángulo o ambligonio, si uno de los ángulos del triángulo es 
obtuso, es decir, miden más de 90°. A modo de ejemplo presentamos el triángulo ABC 
(ver figura 16). 
Figura 16: Triángulo obtusángulo 
Fuente: Elaboración propia 
Una vez revisada la bibliografía pertinente sobre los objetos geométricos de la presente 
investigación (cuadriláteros y triángulos), se pasará a exponer la implicancia de estos con 
documentos institucionales del Ministerio de Educación del Perú (Minedu): 
Programación Curricular de Educación Primaria y Cuaderno de Trabajo de Matemática 
(quinto grado de primaria).    
1.3 Triángulos y cuadriláteros en el Programa Curricular de Educación Primaria 
del Ministerio de Educación del Perú  
El Programa Curricular de Educación Primaria del Perú forma parte del Currículo 
Nacional (2016), el cual es marco orientador para la educación básica en cuanto señala 
los aprendizajes esperados en los estudiantes de acuerdo a las etapas de formación básica. 
Por su parte, el Programa Curricular de Educación Primaria tiene como objetivo 
“contribuir con orientaciones específicas que permitan concretar la propuesta pedagógica 
del Currículo Nacional” (Minedu, 2017). Asimismo, estas orientaciones son el marco para 
las competencias, capacidades y desempeños organizados en cada área curricular.  
Según el Ministerio de Educación del Perú (2017), los desempeños de aprendizaje son 
aquellos aprendizajes esperados alineados a las competencias, las capacidades y los 
estándares de aprendizaje nacionales. A continuación, se detallan aquellos desempeños o 
estándares de aprendizaje que un estudiante de ciclo V debe lograr en relación al tema de 
triángulos y cuadriláteros, y respondiendo a los requerimientos del Minedu (p. 252, 2017): 
16 
 Resuelve problemas en los que modela características de objetos con propiedades 
de formas geométricas. 
 Describe y clasifica cuadriláteros y triángulos basado en criterios propios.  
 Describe y clasifica cuadriláteros y triángulos por sus elementos: vértices, lados, 
ángulos, y por sus propiedades; usando lenguaje geométrico. 
 Combina instrumentos y recursos para construir formas geométricas. 
 Plantea y explica sus afirmaciones sobre relaciones entre elementos de las formas 
geométricas. 
 Deduce propiedades y las sustenta con argumentos que evidencian su solvencia 
conceptual.  
 Explica sus afirmaciones sobre relaciones entre elementos de las formas 
geométricas.  
1.4 Triángulos y cuadriláteros en el Cuaderno de Trabajo de 5to de primaria del 
Ministerio de Educación del Perú 
Uno de los documentos que promueve el desarrollo de habilidades matemáticas en base 
al trabajo con triángulos y cuadriláteros es el Cuaderno de Trabajo de Matemática de 
quinto grado de Primaria. Este cuaderno de trabajo busca complementar aquello que los 
estudiantes han desarrollado durante las clases, para lo cual desarrollan distintas 
actividades que los estudiantes pueden trabajarlas como tarea o en la clase. En las 
siguientes líneas se explicarán algunas actividades del cuaderno de trabajo relacionadas 
al tema de la presente investigación.  
La primera actividad titulada “Trazamos polígonos regulares”, busca que los estudiantes 
reconozcan y repasen las características del triángulo equilátero a través de una actividad 
vivencial. Esta actividad consiste en armar una cometa con forma de tetraedro, para el 
cual los niños3 deberán armar primero cuatro caras con forma de triángulos equiláteros. 
Esta tarea promueve habilidades de trazo, dibujo, ubicación y reflexión a partir de las 
cuales los niños forman el triángulo equilátero teniendo noción de: segmentos, puntos, 
ángulos y lados.  
La segunda actividad, denominada “Descubrimos polígonos regulares”, tiene por objetivo 
que los estudiantes reconozcan y repasen los elementos de ciertas figuras geométricas 
                                               
3 En esta investigación se emplea la palabra niño para referirse de forma global a los niños y las niñas.  
17 
como el rombo y el triángulo. Para ello, los estudiantes deberán recorrer las calles y 
encontrar en las señales de tránsito las figuras geométricas que se les asemeje. Luego, 
deberán construir con papel las figuras geométricas encontradas, para después responder 
una serie de preguntas relacionadas a las características de dichas figuras. Con esta 
actividad, se busca que los estudiantes reconozcan y repasen la noción de: polígono, lados 
y ángulos.  
Ambos documentos descritos anteriormente explican cómo el Minedu, ente principal de 
la educación peruana, abarca el tema de los polígonos, en especial los cuadriláteros y 
triángulos. Para ello, postula distintos estándares y desempeños que permiten conocer 
cuánto aprenden los niños en relación a un tema determinado. Asimismo, propone 
actividades que los docentes pueden utilizar respetando el grado de enseñanza y el tema 
elegido.  
Capítulo II: Niveles de Razonamiento Geométrico de Van Hiele en la enseñanza de 
los triángulos y los cuadriláteros 
A continuación, el siguiente capítulo se centrará en los niveles de razonamiento 
geométrico de Van Hiele en la enseñanza de los triángulos y cuadriláteros. Por ello, se 
empezará por describir brevemente del Modelo de razonamiento geométrico de Van 
Hiele; después, se explicará cada nivel de razonamiento geométrico para luego describir 
los mismos en relación al trabajo con triángulos y cuadriláteros; asimismo, se 
especificarán las propiedades de los niveles de razonamiento, las fases de aprendizaje y, 
finalmente, se detallará el proceso de evaluación de los niveles de Van Hiele.   
2.1 Modelo de razonamiento geométrico de Van Hiele 
El modelo de razonamiento geométrico de Van Hiele o la Teoría de Van Hiele se remonta 
al año 1957 en la Universidad de Utrecht, Holanda. Este modelo fue presentado por la 
pareja de esposos conformada por Dina van Hiele—Geldof y Pierre van Hiele. Según De 
Villiers (2012), Pierre van Hiele presentó una investigación basada en los problemas de 
aprendizaje de sus estudiantes en el área de geometría; mientras que Dina van Hiele se 
enfocó en estudiar un experimento de enseñanza para la geometría. A partir de estas dos 
investigaciones y las experiencias recogidas por ambos autores surgió el modelo de Van 
Hiele.  
18 
Durante su experiencia de enseñanza, los Van Hiele descubrieron las dificultades de los 
estudiantes por entender argumentos matemáticos formales conforme se iban 
incorporando nuevos elementos de aprendizaje. Dichos investigadores se percataron que, 
al igual que hoy en día, muchos alumnos no comprenden lo que estudian, debido, 
probablemente, a la ausencia de actividades que permitan a los estudiantes demostrar una 
afirmación o un ejercicio. Tal y como señala Corberán et al. (1994), “es difícil encontrar 
cursos de Primaria, ni siquiera del Ciclo Superior, en los que se realicen demostraciones 
más o menos rigurosas, aunque sean intuitivas, de las propiedades o resultados que se 
están estudiando” (p. 12).  
Así pues, este modelo desarrolla dos grandes dimensiones: Los Niveles de razonamiento 
geométrico o Niveles de Van Hiele4, y Las Fases para una secuencia didáctica de 
geometría (Gamboa y Vargas, 2013). Ambas dimensiones responden a la problemática 
encontrada por los Van Hiele descrita anteriormente. La primera, de acuerdo a Corberán 
et al. (1994), se enfoca en los procesos de aprendizaje que están inmersos en la Geometría, 
para los cuales se plantean diversos niveles de razonamiento geométrico. Por otro lado, 
la segunda dimensión surge como respuesta directa al “¿qué experiencias de aprendizajes 
se pueden desarrollar para promover habilidades de razonamiento geométrico?”.  
Respecto al Modelo de Van Hiele, Guillén (2004) coincide en que este abarca dos grandes 
aspectos: 
Está formado por dos componentes: el primero es la descripción de los distintos 
tipos de razonamiento geométrico de los estudiantes a lo largo de su formación 
matemática, que van desde el razonamiento intuitivo de los niños hasta el formal 
y abstracto de los estudiantes de las licenciaturas de Matemáticas; el segundo es 
una descripción de cómo puede un profesor organizar la actividad en sus clases 
para que los estudiantes puedan alcanzar el nivel de razonamiento superior al que 
tengan (las cinco “fases de aprendizaje”); básicamente, estas cinco fases 
constituyen un esquema para organizar la enseñanza. (p.105) 
2.2 Descripción de los niveles de razonamiento geométrico de Van Hiele 
Los niveles de Van Hiele buscan explicar el desarrollo del razonamiento geométrico en 
los estudiantes. Según este modelo, los niveles por los que atraviesa el estudiante respecto 
a su razonamiento geométrico son cinco: Visualización, Análisis, Clasificación, 
Deducción y Rigor. Estos niveles permiten conocer el razonamiento y las ideas 
                                               
4 En adelante, referirse a “los Niveles de Van Hiele” será también referirse a “los niveles de razonamiento 
geométrico”. 
19 
geométricas que los estudiantes manejan. Para Van de Walle (citado por Akkaya et al., 
2009), los niveles de Van Hiele “define how they [students] think and what kind of 
geometric ideas they are busy with instead of how much knowledge they have” (p. 183).5 
En relación a dicho modelo, Gamboa y Vargas (2013) señalan que “el modelo de Van 
Hiele ayuda a explicar cómo, en el proceso de aprendizaje de la geometría, el 
razonamiento geométrico de los estudiantes transcurre por una serie de niveles” (p. 81). 
Cada uno de los niveles presentan características particulares, sin embargo, guardan 
relación uno del otro. De acuerdo a Gamboa y Vargas (2013), la relación que existe entre 
los niveles es tal que para que un estudiante domine su nivel y alcance el siguiente nivel 
deberá cumplir con ciertos aprendizajes del nivel anterior. 
En la educación escolar primaria y secundaria se pueden distinguir los cuatro primeros 
niveles de razonamiento de Van Hiele. Estos son: Visualización; Análisis; Clasificación 
y Deducción. El quinto nivel, el nivel de “Rigor”, demanda del estudiante una alta 
capacidad de abstracción. Para Gamboa y Vargas (2013) y Gutiérrez (1991), este último 
nivel solo se desarrolla en estudiantes de universidades con buena capacidad y 
comprensión de la geometría. 
Así mismo, en su “Diseño para evaluar los niveles de Van Hiele”, Gutiérrez y Jaime 
(1994) consideran diferentes “key thinking process” (“procesos de pensamiento clave”) 
por cada nivel de razonamiento propuestos en el modelo de Van Hiele. Es decir, según 
estos autores, los niveles de razonamiento están integrados y caracterizados por distintos 
procesos de pensamiento clave, los cuales permiten evaluar cada nivel. Para Gutiérrez y 
Jaime (1994), la idea de que cada nivel contiene procesos de pensamiento clave no es 
nueva. Por el contrario, esta forma parte de las investigaciones que buscan evaluar los 
niveles de Van Hiele en los estudiantes. 
The view of considering the kind of reasoning of a Van Hiele level divided into 
several components is not new. De Villiers (1987) makes this distinction. Also 
Hoffer (1981) shows a characterization of 5 geometric skills to be considered for 
the assessment of each Van Hiele level. (Gutiérrez y Jaime, 1994, p. 42).6 
                                               
5 Definen cómo piensan y qué tipo de ideas geométricas mantienen los niños, no buscan expresar cuánto 
conocimiento tienen (Traducción textual). 
6 La idea de considerar el tipo de razonamiento de un nivel de Van Hiele dividido en varios componentes 
no es nuevo. De Villiers (1987) hace esta distinción. También Hoffer (1981) muestra una caracterización 
de 5 habilidades geométricas para ser consideradas para la evaluación de cada nivel de Van Hiele. 
(Traducción textual). 
20 
Para Gutiérrez y Jaime (1994) los procesos de pensamiento clave que caracterizan a los 
niveles de Van Hiele son: Identificación, Definición, Clasificación y Prueba; estos 
engloban habilidades matemáticas que serán descritas posteriormente.  
Procesos de pensamiento claves en los niveles de razonamiento geométrico de Van 
Hiele 
Al igual que los niveles de razonamiento de Van Hiele, estos procesos claves se explican 
según el tema geométrico que se busca evaluar. Así, de acuerdo al tema de triángulos y 
cuadriláteros, el primer procedimiento se refiere a la “identificación” de la familia a la 
que pertenece cada objeto geométrico; el segundo procedimiento se enfoca en la 
“definición” de un concepto, el cual puede darse como una repetición o lectura de un 
concepto dado (read definition) o aquella que formula una definición para una clase de 
figuras geométricas (state definition); el tercer procedimiento apunta a la “clasificación” 
de objetos geométricos en diferentes familias; y el último proceso indica la “prueba” de 
propiedades o afirmaciones a manera de convencer a alguien sobre la veracidad de dichas 
afirmaciones. 
Como señalan Gutiérrez y Jaime (1994), los niveles de razonamiento geométricos están 
integrados por procesos de pensamiento clave, y a su vez estos están conformados por 
distintas habilidades matemáticas como: identificar, comparar, demostrar, clasificar, entre 
otras. Sin embargo, no todos estos procedimientos y habilidades forman parte de todos 
los niveles. En la siguiente tabla (tabla 1), se explica el sentido de lo expuesto 
anteriormente, el check, “✓”, significa que dicho proceso forma parte del nivel de 
razonamiento geométrico, mientras que el símbolo “x”, significa que dicho proceso no 
forma parte del nivel de razonamiento geométrico. 
Tabla 1: Procesos de pensamiento clave en cada nivel de razonamiento de Van Hiele7 
 Identificación Definición Clasificación Prueba 
Nivel 1 ✓ ✓ ✓ x 
Nivel 2 ✓ ✓ ✓ ✓ 
Nivel 3 x ✓ ✓ ✓ 
Nivel 4 x ✓ x ✓ 
Fuente: Tomado y adaptado de Gutiérrez y Jaime (1994, p. 43). 
                                               
7 Key thinking process involved in each reasoning level of Van Hiele Gutiérrez y Jaime (1994). 
21 
De igual manera, Gutiérrez y Jaime (1994) indican que los procesos de pensamiento clave 
muestran ciertas diferencias entre sí de acuerdo al nivel de razonamiento de los 
estudiantes. Por ejemplo, el proceso de “identificación” presentará determinadas 
características estando en el nivel 1 y algunas variaciones estando en el nivel 3. A 
continuación, la siguiente tabla describe los procesos de pensamiento clave presentes en 
los niveles de razonamiento geométrico o niveles de Van Hiele. 
Tabla 2: Descripción de los procesos claves en cada nivel de razonamiento de Van Hiele 
 Identificación Definición Clasificación Prueba 
Clasificación de las 
figuras considerando 
Percepción Se formulan definiciones sus características 
global de las en base a los atributos físicas generales. No 
generales de la figura. 
figuras en base a 
Nivel Algunas veces el nombre 
se acepta ninguna 
características relación entre familias ------------------- 
1 físicas generales: de la figura se convierte en de figuras, ni figuras 
aspecto, tamaño, su propia definición. Por que pertenecen a la 
ejemplo: “un triángulo es 
posición. un triángulo”. misma familia pero 
que tienen aspectos 
diferentes. 
Identificación de 
Formulación de Clasificación 
las figuras definiciones empleando “exclusiva”, basada Comprobación de 
Nivel geométricas en algunas propiedades con en los conocimientos propiedades con 
2 base a sus ayuda de uno o 
propiedades cierto grado de dificultad previos de los algunos ejemplos. 
(omisión de propiedades). estudiantes. 
matemáticas. 
Comprensión y Comprobación de 
formulación de 
definiciones matemáticas Clasificación de propiedades con 
ayuda algunos 
incorporando algunas figuras geométricas a 
Nivel ejemplos y ------------------ propiedades de las figuras. partir de sus 
3 apoyado de La redundancia de las propiedades 
características o matemáticas. explicaciones 
propiedades es casi informales con 
base matemática. 
inexistente. 
Comprensión y 
formulación de 
definiciones matemáticas. Demostración de 
Nivel propiedades en ------------------ Reconocimiento de la ------------------ 
4 base a pruebas equivalencia de dos o más 
definiciones para una matemáticas. 
misma figura geométrica. 
Fuente: Tomado y adaptado de Gutiérrez y Jaime (1994). 
22 
Descripción de las propiedades de los niveles de Van Hiele 
En su descripción de los niveles de Van Hiele, Corberán et al. (1994) resaltan que estos 
niveles de razonamiento geométrico presentan características que explican el recorrido de 
los estudiantes a través de estos hasta demostrar la comprensión de aquello que están 
aprendiendo. Algunas de las características resaltadas por Corberán et al. son, primero, 
que los niveles guardan relación uno con el otro, es decir, la adquisición de un nivel no 
supone dejar de lado las habilidades de razonamiento conseguidas en el nivel precedente. 
Según los autores mencionados anteriormente, los estudiantes utilizan de manera 
implícita o inconsciente ciertas habilidades, las cuales cuando llegan a usarse de manera 
explícita o consciente en los próximos niveles significan el “paso al siguiente nivel”. 
Corberán et al. presentan la siguiente tabla donde exponen los principales elementos 
explícitos e implícitos en los niveles de Van Hiele. 
Tabla 3: Elementos implícitos y explícitos en los niveles de razonamiento de Van Hiele 
 Elementos explícitos Elementos implícitos 
Nivel 1 Objetos geométricos  Propiedades de los objetos geométricos. 
Nivel 2 Propiedades de los objetos geométricos. Relaciones entre propiedades y/u objetos 
Nivel 3 Relaciones entre propiedades y/u objetos Demostración formal de relaciones 
Nivel 4 Demostración formal de relaciones.  _____ 
Fuente: Tomado de Corberán et al. (1994). 
Otra característica de los niveles de Van Hiele es que el paso de un nivel a otro nivel de 
razonamiento se realiza de forma continua. Es decir, conforme los estudiantes Van 
adquiriendo destrezas irán desenvolviéndose en situaciones sencillas hasta llegar a 
situaciones complejas. Tal y como señalan Corberán et al. (1994) “el aprendizaje de una 
nueva forma de razonar no se realiza de golpe. La experiencia en la realización de 
actividades y la resolución de problemas hace que poco a poco se vayan adquiriendo esas 
nuevas destrezas” (p. 23). 
La última característica que menciona Corberán et al. respecto a los niveles de 
razonamiento geométrico es el lenguaje específico que se demuestra en cada nivel. Van 
Hiele (citado por Corberán et al., 1994) afirma que “dos personas que razonan en 
diferentes niveles y que, por lo tanto, interpretan los argumentos expuestos de formas 
23 
diferentes, no podrán entenderse” (p. 23). El lenguaje que se use en cada nivel varía no 
solo por el vocabulario matemático que empleen los alumnos, sino también por la 
comprensión de términos matemáticos.  
Al igual que las características antes mencionadas, autores como Gutiérrez y Jaime 
(1996), Gamboa y Vargas (2013) y Venegas (2015), sugieren que los niveles de 
razonamiento de Van Hiele se sostienen bajo las siguientes propiedades: Recursividad, 
Secuencialidad, Especificidad del lenguaje, Continuidad y Localidad. A continuación, se 
explicarán dichas propiedades.  
 Recursividad 
Esta propiedad hace referencia a cómo los objetos que se trabajan en un determinado nivel 
se convierten en objetos de estudio en el siguiente nivel. Ello, con el fin de hacer explícito 
aquello que los estudiantes mantenían implícito. Gamboa y Vargas (2013) señalan que 
“el éxito en un nivel depende del grado de asimilación que tenga el estudiante de las 
estrategias del nivel anterior” (p.86).  
 Secuencialidad 
La secuencialidad en los niveles de Van Hiele “hace referencia a que para alcanzar un 
nivel de razonamiento, es necesario haber adquirido previamente los niveles anteriores” 
(Gutiérrez y Jaime, 1996, p.93). Con ello se puede afirmar que cada nivel de razonamiento 
geométrico se apoya del nivel que lo antecede, y por lo tanto, como señala Vargas y 
Gamboa (2013), no se puede alcanzar un nivel sin haber superado de forma ordenada los 
niveles inferiores.  
 Especificidad del lenguaje 
En cuanto a la propiedad de Especificidad de Lenguaje, Gutiérrez y Jaime (1996) 
consideran que “cada nivel de razonamiento tiene un lenguaje propio, entendiendo por 
ello no sólo las palabras o construcciones gramaticales empleadas, sino también el 
significado que se les da” (p.94). Respecto a ello, señala Venegas (2015) que el docente 
sostiene un lenguaje distinto al de los alumnos debido, probablemente, a los distintos 
niveles en los que se encuentren.  
 Continuidad 
La Continuidad es aquella propiedad que explica cómo el estudiante pasa de un nivel a 
otro, el cual, según Gamboa y Vargas (2013) puede durar entre cuatro y cinco años. Para 
24 
Gutiérrez y Jaime (1996), “el paso de un nivel al siguiente se produce de manera pausada 
y continua, con un periodo de transición durante el cual se entremezclan momentos de 
razonamiento de los dos niveles consecutivos” (p.94). 
 Localidad 
Gutiérrez y Jaime (1996) señalan que “por localidad de los niveles se entiende que un 
individuo puede razonar en diferentes niveles al trabajar en distintos campos de la 
geometría” (p.93). Es decir, como explica Gamboa y Vargas (2013), los estudiantes no se 
encuentran en el mismo nivel de razonamiento geométrico respecto a los campos de 
estudio de la geometría que se desarrolla en el curso, lo cual se debe, probablemente, a 
los conocimientos previos que se posean.  
Las características y propiedades que presentan los niveles de razonamiento geométrico 
de Van Hiele demuestran el carácter riguroso de su estudio, el cual nos permite entender 
cómo razonan y cómo aprenden los niños. En relación al tema de la presente 
investigación, el estudio de los niveles de razonamiento respecto a los cuadriláteros y 
triángulos nos mostraran las distintas habilidades y características que niños de la misma 
edad poseen, lo cual a su vez nos permitirán entender cómo razonan respecto a los 
polígonos antes mencionados.  
Evaluación de los niveles de Van Hiele 
La evaluación de los niveles de Van Hiele tiene como propósito identificar el nivel o los 
niveles de razonamiento geométrico que presentan los estudiantes respecto a un 
determinado tema relacionado a la geometría, de manera que el/la docente se acerque al 
razonamiento de los niños haciendo pausa en cada respuesta brindada por ellos para 
revisarla y analizarla. Evaluar el razonamiento geométrico implica evaluar las razones, 
los argumentos, las explicaciones y las demostraciones que están detrás de las respuestas 
que los niños brinden en un test u otra prueba. Asimismo, al evaluar el nivel de 
razonamiento geométrico es importante valorar el razonamiento como un conjunto de 
procesos y no como un solo proceso. Para Aravena y Gutiérrez (2016):  
El razonamiento matemático se basa en realizar, según la tarea planteada, algunos 
de los procesos de reconocimiento y descripción, uso o formulación de 
definiciones, clasificación y demostración. Por tanto, la correcta evaluación del 
nivel de razonamiento de Van Hiele obliga a evaluar cómo razonan los estudiantes 
cuando realizan cada uno de dichos procesos (p. 110).  
25 
Según Gutiérrez y Jaime (1998), una prueba capaz de evaluar el nivel de razonamiento 
de Van Hiele debe poseer las siguientes características: a) Evaluar los procesos de 
pensamiento claves en los niveles de razonamiento geométrico de Van Hiele-
identificación, definición, clasificación y prueba (explicados en las páginas 23-25 de la 
presente investigación). b) Debe evaluar, por lo menos, los cuatro niveles de 
razonamiento, de tal manera que los niños tengan la oportunidad de responder preguntas 
de acuerdo a su capacidad de razonamiento. c) Debe dar la oportunidad a los estudiantes 
de justificar sus respuestas, de manera que el investigador pueda estudiar el nivel 
razonamiento que está detrás de los argumentos.  
Debido a las características y propiedades de los niveles de Van Hiele, distintos 
investigadores, incluidos los Van Hiele, han propuesto diferentes instrumentos para 
evaluar el razonamiento geométrico. Gutiérrez y Jaime (1998), en su investigación sobre 
la evaluación de los niveles de Van Hiele, resaltan dos de los instrumentos más 
significativos propuestos a la fecha para dicha evaluación; el primero, es un modelo de 
evaluación basado en un test de elección múltiple; y el segundo, se centra más en una 
entrevista clínica, ambos tienen el objetivo de identificar el nivel de razonamiento 
geométrico en los niños. Gutiérrez y Jaime (1998) encontraron que:  
An early attempt was made by Usiskin (1982), who designed a paper and pencil 
multiple-choice test in which each item was intended to evaluate a specific level 
of reasoning. The answers were marked as right or wrong, and students were 
assigned to a van Hiele level depending on the number of correct answers at each 
particular level. […]Burger and Shaughnessy (1986) worked at the other end of 
the spectrum of possibilities by creating a clinical interview test based on a set of 
problems and semi-structured dialogues. For each problem, each student’s answer 
was analyzed and a van Hiele level was assigned on the basis of the dominant 
level evidenced in the answer. Finally, from the levels assigned to a student’s set 
of answers, an overall van Hiele level was assigned to the student. (p. 27) 8  
A partir de ello, Gutiérrez y Jaime (1998) proponen un modelo de test el cual permite 
evaluar los niveles de Van Hiele de tal manera que cumpla con los requisitos antes 
                                               
8 Usiskin (1982) realizó un intento temprano, diseñó una prueba de selección múltiple de papel y lápiz en 
la que cada ítem tenía la intención de evaluar un nivel específico de razonamiento. Las respuestas fueron 
marcadas como correctas o incorrectas, y los estudiantes fueron asignados a un nivel de van Hiele 
dependiendo de la cantidad de respuestas correctas en cada nivel particular. […] Burger y Shaughnessy 
(1986) trabajaron en el otro extremo del espectro de posibilidades al crear una prueba de entrevista clínica 
basada en un conjunto de problemas y diálogos semiestructurados. Para cada problema se analizó la 
respuesta de cada alumno y se asignó un nivel de van Hiele sobre la base del nivel dominante evidenciado 
en la respuesta. Finalmente, a partir de los niveles asignados al conjunto de respuestas de un alumno, se 
asignó un nivel general de van Hiele al alumno. […] (Traducción textual). 
26 
mencionados. Este modelo será explicado con más detalles en la segunda sección de la 
presente investigación. Es preciso mencionar que para evaluar los niveles de 
razonamiento geométrico también hay que tener muy presente su propiedad de 
“continuidad”. Esta propiedad permite entender cómo a partir de las respuestas que se 
den en el test se puede establecer un grado de adquisición en los niveles de razonamiento 
que el alumno alcance.  
De esta manera, al evaluar los niveles de razonamiento geométrico debe considerarse una 
continuidad y discretitud entre ellos, y no pensar determinar un nivel de razonamiento 
único. Jaime (1993) explica que la adquisición de los niveles se determina debido a la 
continuidad o discretitud en la transición de un nivel de razonamiento a otro. Asimismo, 
señala que “las investigaciones en las que se ha intentado identificar el nivel de 
razonamiento de los estudiantes han encontrado con frecuencia comportamientos que 
rebaten la discretitud [o continuidad de los niveles]” (Jaime, 1993, p. 260).  
Es por esto que, con el propósito de alcanzar los objetivos de la investigación, la 
evaluación de los niveles de Van Hiele se apoyará de la “metodología del cálculo de los 
grados de adquisición de los niveles de razonamiento” y de la corrección matemática de 
las respuestas propuestas por Gutiérrez, Jaime y Fortuny (1991). Estos autores (citados 
por Aravena y Gutiérrez, 2016),  
Proponen unos criterios de evaluación de los niveles de razonamiento basados en 
la consideración de la perfección en el uso de un determinado nivel de 
razonamiento y en la corrección matemática de las respuestas, valorada esta desde 
el punto de vista del nivel de razonamiento expresado. (p.117) 
A continuación, se expondrán las ideas más importantes relacionadas a la metodología 
del cálculo de grados de adquisición y los tipos de respuestas que permitirán entender la 
evaluación de los niveles de Van Hiele. 
 Grados de adquisición  
De acuerdo a Jaime (1993), el cálculo de los grados de adquisición favorece a la 
evaluación del test de razonamiento geométrico, ya que “proporciona mayor información 
sobre la forma de razonamiento de los estudiantes y mayor precisión en su evaluación 
que la asignación de un simple y único nivel de razonamiento.” (p.263). Este método 
busca que al asignar el nivel o los niveles de razonamiento geométrico en los estudiantes, 
se comprenda al razonamiento como un proceso continuo que se desarrolla 
27 
progresivamente y que puede presentar distintas características de acuerdo a las 
actividades propuestas.  
Al hablar de grados de adquisición se hace referencia al porcentaje o dominio de un nivel 
de razonamiento respecto a otro (en un mismo estudiante). La determinación del grado 
de adquisición va desde el “dominio nulo” hasta el “dominio completo”. Jaime (1993) 
explica así los grados de adquisición que pueden encontrarse por cada nivel de Van Hiele:  
Tabla 4: Grados de adquisición de los niveles de razonamiento de Van Hiele 
Grado de 
Descripción  
Adquisición 
Adquisición No se emplean las características de un nivel de razonamiento determinado. 
nula 
Adquisición Empieza la conciencia de las características, métodos y exigencias propios del 
baja nivel, sin embargo, es muy pobre el uso de los mismos. 
El empleo de las características y métodos de este nivel es más frecuente y preciso. 
Adquisición No obstante, todavía no se domina el nivel, por lo que suele haber saltos frecuentes 
media entre dos niveles consecutivos de razonamiento.  
Adquisición Dominio de características y métodos del nivel. En ocasiones se hace un uso 
alta inadecuado de las herramientas propias del nivel de razonamiento.  
Adquisición Dominio total de las herramientas y métodos de trabajo propios del nivel de 
alta y razonamiento.  
completa 
 
Fuente: Tomado y adaptado de Jaime (1993). 
Asimismo, Jaime (1993) y Gutiérrez (1991) sugieren una lectura cuantitativa de los 
grados de adquisición de los de Niveles de Van Hiele (Gr(n)). Estos se asignan según el 
dominio de un determinado nivel de razonamiento, el cual es medido en porcentaje y va 
desde 0% a 100%. Tal y como se aprecia en la Figura 17 y en la Tabla 5, cada grado de 
adquisición está representado como una variación porcentual, la cual discurre entre dos 
números porcentuales. 
Figura 17: Valores cuantitativos de los Grados de adquisición de los Niveles de Van 
Hiele  
 
 
 
Fuente: Tomado de Gutiérrez (1991) 
 
28 
Tabla 5: Valoración porcentual de los grados de adquisición de los Niveles de Van 
Hiele  
 
Grados de adquisición de los Niveles de Van Hiele 
Valor cuantitativo Valor cualitativo 
Adquisición nula 0% ≤ Gr(n) ≤ 15% 
Adquisición baja 15% ≤ Gr(n) ≤ 40% 
Adquisición media 40% ≤ Gr(n) ≤ 60% 
Adquisición alta 60% ≤ Gr(n) ≤ 85% 
Adquisición alta y completa 85% ≤ Gr(n) ≤ 100% 
Fuente: Tomado y adaptado de Jaime (1993). 
Los grados de adquisición permiten la buena lectura y comprensión de las respuestas al 
test de razonamiento geométrico. Por ello, es importante conocer los tipos de respuestas 
que se pueden obtener en el test de razonamiento geométrico, las cuales permiten conocer 
con mayor exactitud el grado de adquisición de los niveles de Van Hiele. A continuación, 
se explica cuáles son estos tipos de respuesta y cómo estas permiten determinar el grado 
de adquisición de los niveles de Van Hiele. 
 Tipos de respuesta                                   
Como se mencionó anteriormente, las respuestas a las actividades del test son la principal 
herramienta que nos permiten identificar el grado de adquisición de los niveles de 
razonamiento. Por ello, Gutiérrez, Jaime y Fortuny (1991) proponen una metodología de 
interpretación a las respuestas, las cuales se complementan con la corrección matemática 
que se hace a cada ejercicio. Estos autores sugieren unos “Tipos de respuesta” que tienen 
en cuenta la veracidad y la exactitud de cada respuesta, tomando como punto de referencia 
tanto la corrección matemática como la caracterización de los niveles de razonamiento. 
Jaime (1993) sostiene que “a partir del conjunto de respuestas a un test […], a cada 
estudiante se le pueden asignar los grados de adquisición que muestra de cada uno de los 
niveles de Van Hiele.” (p. 264). 
A continuación, se describen los siete tipos de respuesta que desarrolla Jaime (1993) para 
comprender y saber identificar el grado de adquisición de los niveles de razonamiento. Es 
preciso mencionar que los tipos de respuestas varían de acuerdo al tema geométrico a 
evaluar. 
 
29 
Tabla 6: Tipos de respuestas 
Tipo de 
Descripción 
respuesta 
Ítems sin respuestas o con respuestas que indican que el estudiante no está en un 
Tipo 1 determinado nivel de razonamiento. 
Respuestas matemáticamente incorrectas y muy incompletas que no contestan 
Tipo 2 directamente a la pregunta planteada pero en las que se reconocen indicios de 
utilización de cierto nivel de razonamiento.  
Respuestas matemáticamente correctas pero muy incompletas, en las que se reconocen 
Tipo 3 indicios de utilización de cierto nivel de razonamiento. Respuestas breves y pobres, 
aunque no contienen errores matemáticos.  
Respuestas que reflejan claramente características de dos niveles de razonamiento 
Tipo 4 consecutivos. Estas pueden ser matemáticamente correctas o incorrectas, pero deben 
ser bastante completas. 
Respuestas bastantes completas pero matemáticamente incorrectas, que reflejan 
Tipo 5 claramente la utilización predominante de un nivel de razonamiento determinado.  
Respuestas bastantes completas y matemáticamente correctas, que reflejan claramente 
Tipo 6 la utilización predominante de un nivel de razonamiento determinado. No obstante, no 
llegan a resolver el problema totalmente.  
Respuestas matemáticamente completas y correctas, que reflejan claramente la 
Tipo 7 utilización de un nivel de razonamiento determinado. 
 
Fuente: Tomado y adaptado de Jaime (1993). 
En la tabla 7 se aprecia la correlación entre la “corrección matemática” y el “uso del nivel 
de Van Hiele” por cada tipo de respuesta. Así, por ejemplo, una respuesta tipo 2 significa 
que es matemáticamente incorrecta y que por lo que se observa el nivel de razonamiento 
es bajo; mientras que una respuesta tipo 5 puede ser matemáticamente incorrecta, sin 
embargo, se observa un nivel de razonamiento alto.  
Tabla 7: Características de los tipos de respuestas 
 
 
 
 
Fuente: Tomado de Jaime (1993). 
Asimismo, una vez determinado el tipo de respuesta al test de razonamiento, el siguiente 
paso para asignar el grado de adquisición es la ponderación de dichas respuestas. Jaime 
30 
(1993) propone una ponderación en porcentaje que va del 0% al 100% y que responde a 
cada tipo de pregunta. En la siguiente tabla se aprecia lo anteriormente mencionado: 
Tabla 8: Ponderación de los diferentes tipos de respuestas 
Fuente: Tomado de Jaime (1993) 
Para propósitos del presente estudio, en los siguientes capítulos se presentará la 
corrección matemática y los tipos de respuestas que se espera alcancen los estudiantes a 
partir del test de razonamiento aplicado. Esto permitirá un mejor análisis y determinación 
del grado de adquisición de los niveles de Van Hiele.   
2.3 Niveles de razonamiento geométrico de Van Hiele respecto a los cuadriláteros y 
triángulos 
A continuación, se caracterizan los niveles de razonamiento geométrico respecto a los 
cuadriláteros y triángulos. Para ello, se toma de referencia a Corberán et al. (1994),  
Gutiérrez y Jaime (1996) y otros autores que se irán citando. Asimismo, es preciso tener 
en cuenta que se describirán los niveles del 1 al 4, ya que son aquellos que, según Gamboa 
y Vargas (2013), los estudiantes de colegio pueden alcanzar.  
Nivel 1: Visualización 
El nivel 1 denominado con el nombre de “Nivel de visualización” o “Nivel de 
reconocimiento”, es aquel en el que los objetos se perciben por su totalidad o como 
unidades (Guillén, 2004). Los estudiantes en este nivel perciben las figuras geométricas 
“centrando sus descripciones en el aspecto físico de las figuras […]. No son capaces de 
generalizar características de una figura a otra” (Aravena y Gutiérrez, 2016, p.110). Así, 
en este nivel no se reconocen explícitamente los elementos y propiedades de los objetos, 
como señala Lobo (2004), un niño en este nivel puede reconocer la imagen de un 
rectángulo mas no es consciente de las propiedades de esta figura geométrica plana.   
Respecto a los cuadriláteros y triángulos, en el nivel 1 los estudiantes presentan las 
siguientes características (Corberán et al., 1994; Jaime, A.; Gutiérrez, A., 1994; Aravena, 
M.; Gutiérrez, A., 2016): 
31 
 Compara triángulos y cuadriláteros usando aspectos o características físicas 
globales de cada uno de estos polígonos. 
 Caracteriza los cuadriláteros y triángulos a partir de figuras dadas.  
 Emplea vocabulario geométrico relacionado a los cuadriláteros o triángulos. 
 Identifica triángulos y cuadriláteros a partir de figuras dadas. 
 A partir de una figura dada, reproduce en papel algunos cuadriláteros y triángulos. 
 Clasifica cuadriláteros y triángulos en base a su apariencia global: “se parece a 
...”, “tiene la forma de ...”, “es como……...”. 
Nivel 2: Análisis 
En el nivel 2 o “nivel de análisis”, los conceptos de los cuadriláteros y triángulos se 
entienden a través de los elementos que los componen, identificando y generalizando 
propiedades de los mismos, las cuales se utilizan independientemente sin establecer 
relaciones entre ellas. Gutiérrez y Jaime (citados por Uribe, Cárdenas y Becerra, 2014) 
consideran que el niño en este nivel: 
Percibe los objetos como formados por partes y dotados de propiedades, aunque 
no identifica las relaciones entre ellas. Puede describir los objetos de manera 
informal mediante el reconocimiento de sus componentes y propiedades, pero no 
es capaz de hacer clasificaciones lógicas. (p. 148). 
En relación a los cuadriláteros y triángulos, en el nivel 2 los estudiantes presentan las 
siguientes características (Corberán et al., 1994; Jaime, A.; Gutiérrez, A., 1994; Aravena, 
M.; Gutiérrez, A., 2016): 
 Reconoce que los cuadriláteros y triángulos están formados por partes y tienen 
propiedades matemáticas particulares que los caracterizan. 
 Describe las características de cuadriláteros y triángulos, utilizando vocabulario 
geométrico apropiado (por ejemplo: “lados opuestos”, “los ángulos consecutivos 
suman 180°”, entre otros). 
 Definen los cuadriláteros y triángulos a partir de las propiedades que caracterizan 
a cada uno de estos polígonos. 
 Clasifica cuadriláteros y triángulos, relacionando algunas propiedades: lados y 
ángulos. 
 Justifica la verdad o falsedad de enunciados relacionados con triángulos y 
cuadriláteros. 
32 
Nivel 3: Clasificación 
Para Gutiérrez y Jaime (citados por Uribe, Cárdenas y Becerra, 2014), en el nivel 3 o 
“Nivel de Clasificación”, se realizan clasificaciones lógicas de los objetos, descubriendo 
nuevas propiedades en base a relaciones o propiedades ya conocidas y por medio del 
razonamiento informal. Así mismo, se comprenden los pasos individuales de un 
razonamiento lógico en una forma aislada pero no se comprende el encadenamiento de 
estos pasos ni la estructura de una demostración. Por ejemplo, según Lobo (2004), el 
estudiante podrá entender por qué todo cuadrado es un rectángulo y por qué no todo 
rectángulo es cuadrado, pero no podrá explicar la congruencia de las diagonales de un 
rectángulo. 
Sobre los cuadriláteros y triángulos, en el nivel 3 los estudiantes presentan las siguientes 
características (Corberán et al., 1994; Jaime, A.; Gutiérrez, A., 1994; Aravena, M.; 
Gutiérrez, A., 2016):  
 Construye definiciones propias de los cuadriláteros y triángulos usando sus 
propiedades de manera correcta. 
 Clasifica diferentes familias de cuadriláteros y triángulos a partir de sus 
propiedades: lados, ángulos y diagonales. 
 Justifica la verdad o falsedad de enunciados relacionados con triángulos y 
cuadriláteros, haciendo uso correcto de definiciones y propiedades. 
 No construyen demostraciones matemáticas relacionadas a los cuadriláteros y 
triángulos.  
 Utilizan las demostraciones físicas de los cuadriláteros y triángulos para verificar 
su demostración más que como un medio para realizarlas. 
 Realizan demostraciones haciendo explícitas las definiciones.  
 Aceptan formas equivalentes de una definición relacionada a los cuadriláteros y 
triángulos. 
Nivel 4: Deducción 
El nivel 4 o “Nivel de Deducción”, los estudiantes comprenden la estructura axiomática 
de la matemática y se emplea el razonamiento lógico formal para construir 
demostraciones, comprendiendo la posibilidad de obtener el mismo resultado siguiendo 
distintas premisas. Sin embargo, los estudiantes en este nivel aún no han adquirido un 
33 
conocimiento global de los sistemas axiomáticos, por lo cual no se comprende la 
necesidad del razonamiento riguroso (Gutiérrez y Jaime, 1996). 
Dado a que la presente investigación está dirigida a estudiantes de quinto grado de nivel 
primario, solamente se considerarán los niveles de razonamiento geométrico del 1 al 3 
como aquellos en los que puede estar la muestra de este estudio. Para ello, se ha revisado 
los estándares de aprendizaje que propone el Ministerio de Educación e investigaciones 
encontradas relacionadas al tema.   
2.4. Descripción de las fases de aprendizaje del modelo de razonamiento geométrico 
de Van Hiele para los triángulos y cuadriláteros. 
Uno de los resultados de la investigación realizada  por Akkaya et al. (2009), señala que 
la enseñanza de la geometría basada en el modelo de Van Hiele es más efectiva que la 
enseñanza de contenido geométrico tradicional, por lo cual dichos autores sugieren que 
esta forme parte de la planificación de las sesiones de clase. De igual manera, Gutiérrez 
y Jaime (2012) consideran que la enseñanza de la geometría en la educación básica regular 
debe basarse en metodologías que promuevan actividades de exploración y 
descubrimiento por los estudiantes. De esta manera, las clases de geometría con dichas 
metodologías se caracterizarían por ser activas y participantes, las cuales a su vez 
permitirán a los niños descubrir, comprender y aprender conceptos, propiedades y 
relaciones geométricas. 
Las fases del modelo de Van Hiele constituyen una propuesta metodológica que permite 
a los docentes organizar los distintos contenidos que un tema geométrico puede abarcar. 
Sobre qué significa el aprendizaje para Van Hiele, Gutiérrez y Jaime (2012) consideran 
que: 
Van Hiele caracteriza el aprendizaje como un resultado de la acumulación de la 
cantidad suficiente de experiencias adecuadas; por tanto, existe la posibilidad de 
alcanzar niveles más altos de razonamiento fuera de la enseñanza escolar si se 
consiguen las experiencias apropiadas. No obstante, esas experiencias, aunque 
existen y no deben despreciarse, generalmente no son suficientes para producir un 
desarrollo de la capacidad de razonamiento completo y rápido, por lo que la 
misión de la educación matemática escolar es proporcionar experiencias 
adicionales, bien organizadas para que sean lo más útiles posible (p. 56-57). 
34 
A continuación, se describirán las cinco fases de la secuencia didáctica del modelo de 
Van Hiele respecto a la enseñanza de cuadriláteros y triángulos. Para ello, se tomará de 
referencia los aportes de Corberán et al. (1994) y Lobo (2004). 
Fase 1: Información 
También conocida como “la fase de toma de contacto” (Corberán et al., 1994), es aquella 
en la que al iniciar el estudio de un tema, el profesor informa sobre el campo de 
investigación a trabajar, los problemas a resolver e indaga los conocimientos previos y el 
nivel de razonamiento del grupo. 
Fase 2: Orientación dirigida 
Esta se caracteriza porque los estudiantes exploran el campo de investigación mediante 
una serie de actividades dirigidas al descubrimiento y aprendizaje de los conceptos y las 
propiedades fundamentales del área de estudio. Para Corberán et al. (1994), el objetivo 
de esta fase es que los estudiantes se familiaricen con métodos de razonamiento del nivel 
superior de Van Hiele que se espera alcance.  
Fase 3: Explicitación 
Corberán et al. (1994) indican que “en esta fase los estudiantes intercambian sus 
experiencias, comentan lo que han observado, explican cómo han resuelto las actividades, 
etc., todo ello dentro de un contexto de diálogo en el grupo” (p. 27). En otras palabras, 
esta fase se basa en el diálogo entre los estudiantes con intervenciones del profesor cuando 
sea necesario, a fin de conseguir que las experiencias adquiridas se unan a los símbolos 
lingüísticos precisos dentro de las características del nivel de razonamiento respectivo. 
Fase 4: Orientación libre 
En esta fase, los estudiantes aplican sus nuevos conocimientos a investigaciones 
posteriores sobre el tema de estudio, para ello se asignan tareas que preferiblemente lleven 
a diferentes soluciones. Corberán et al. (1994) consideran que “los problemas que hay 
que plantear en esta fase no tienen nada que ver con ejercicios de "aplicación" (...). Por el 
contrario, en estos problemas deben intervenir varios conceptos o propiedades del campo 
de estudio” (p. 27), a partir de los cuales los estudiantes deberán usar y combinar de 
manera que lleguen a la solución de un problema. 
 
 
35 
Fase 5: Integración 
En esta fase el profesor resume el campo explorado, con la finalidad de lograr que los 
estudiantes integren en su red de conocimientos las habilidades de razonamiento 
adquiridas. “El trabajo que se realiza en esta fase, y las actividades que se planteen, no 
deben tener como objetivo producir conocimientos nuevos, sino que deben ayudar a 
organizar los que ya se han aprendido” (Corberán et al., 1994, p. 28). 
Si bien es cierto, en la presente investigación no se desarrollarán actividades para las fases 
de aprendizaje según el modelo de Van Hiele, se considera necesario dar algunos alcances 
de las mismas para entender el cómo se promueve trabajar bajo este modelo.   
II. PARTE: INVESTIGACIÓN 
Capítulo I: Diseño de la investigación 
1.1 Objetivos de la investigación 
El presente estudio tiene como objetivo general “Caracterizar el nivel de razonamiento 
geométrico respecto a los triángulos y cuadriláteros en los estudiantes de quinto grado de 
primaria de una Institución Educativa particular de Lima Metropolitana”. Este objetivo 
busca responder a la siguiente pregunta de investigación: “¿Cuál es el nivel de 
razonamiento geométrico respecto a los triángulos y cuadriláteros que alcanzan los 
estudiantes de quinto grado de primaria de una Institución Educativa particular de Lima 
Metropolitana?”.  
De igual manera, como objetivos específicos, los cuales promuevan un mejor análisis de 
estudio, se plantean los siguientes: “Describir los niveles de razonamiento geométrico 
según Van Hiele, respecto a los triángulos y cuadriláteros que se espera alcancen los 
estudiantes de quinto grado de primaria” e “Identificar el nivel de razonamiento 
geométrico según Van Hiele, respecto a los triángulos y cuadriláteros en estudiantes de 
quinto grado de primaria de una Institución Educativa particular de Lima Metropolitana”. 
1.2 Metodología de la investigación  
Diaz, Suárez y Flores (2016), en su Guía de Investigación en Educación, señalan que el 
método de investigación “es el procedimiento o camino regular, explícito, repetible, 
racional, ordenado y objetivo que selecciona el investigador para responder al problema 
36 
de investigación, [y] alcanzar sus objetivos.” (p. 28). A partir de ello, se entiende como 
método de investigación aquella secuencia de pasos por las que el investigador atraviesa 
con el fin de alcanzar el propósito de su estudio.  
Para comenzar a explicar este procedimiento, se empezará por señalar el paradigma o 
enfoque de la presente investigación. Este estudio se desarrolla bajo el paradigma 
positivista, puesto que trabaja baja una metodología rigurosa que incluye técnicas 
descriptivas con diseños cuasi-experimentales (Suárez, 2017). La técnica descriptiva que 
se usará será un test que permita determinar el nivel de razonamiento geométrico de los 
estudiantes. Con la aplicación del test se podrá conocer el grado de adquisición de los 
niveles de razonamiento geométrico de cada niño. 
Respecto al tipo de investigación, como precisa Arias (2012), existen muchos modelos y 
diversas clasificaciones que hablan de tipología. Se puede hacer referencia al tipo de 
investigación según su nivel, su diseño y su propósito. En primer lugar, según su nivel, el 
presente estudio es descriptivo; es decir, se centra en caracterizar a un individuo, un 
grupo, una situación, un evento o cualquier fenómeno con el objetivo de establecer su 
comportamiento, estructura o rasgos particulares (Arias, 2012). Bajo un nivel de 
investigación descriptiva, la presente investigación se enfoca en identificar y describir los 
niveles de razonamiento de Van Hiele en estudiantes de quinto grado de primaria. De 
igual manera, al ser de nivel descriptivo, el estudio no busca ahondar en los factores que 
podrían explicar los niveles en los que se encuentran los estudiantes. 
En cuanto a la investigación según su diseño, el presente estudio es “no experimental de 
diseño transversal”. Es una investigación no experimental, ya que no hay manipulación 
intencional de las variables o categorías de estudio ni asignación al azar de la muestra 
(Fernández et al. 2010). Respecto a este tipo de investigación, Mertens (citada por 
Fernández, Hernández y Baptista, 2010) considera que la investigación no experimental 
“es apropiada para variables que no pueden o deben ser manipuladas o resulta complicado 
hacerlo” (p. 150), afirmación que concuerda con la recogida de información de la presente 
investigación. Asimismo, es de diseño transversal, puesto que se “recolectan datos en un 
solo momento, en un tiempo único. Su propósito es describir variables y analizar su 
incidencia e interrelación en un momento dado” (Fernández et al. 2010, p. 151).  
37 
Por último, de acuerdo al enfoque de investigación, el presente estudio es de corte 
cuantitativo. Para Suárez (2017), Fernández, Hernández y Baptista (2010), el enfoque 
cuantitativo, busca predecir, controlar y confirmar hipótesis, apoyándose de estudios 
previos y de la medida de variables, así con este enfoque se construirán creencias propias 
para un grupo determinado de personas. De igual manera, la investigación cuantitativa se 
basa en la estadística inferencial, la cual según Fernández, Hernández y Baptista (2010), 
permitirá deducir propiedades de una población a partir de una muestra. No obstante, la 
muestra del presente estudio es no probabilística, por lo cual no podrá hacerse inferencias 
o generalizaciones. Para Schmelkes (2014), la presente investigación es de enfoque 
cuantitativo porque es rigurosa, busca interpretar aquello que mide con el instrumento y 
presentará conclusiones validadas a partir de la validación de los instrumentos.  
Gráfico 1: Metodología de la investigación 
 
Paradigma 
de inv.:
 Positivista
 
 Enfoque de Metodología Según nivel:
inv.: de la inv. 
Cuantitativa investigación Descriptiva
 
  
Según diseño:
 Inv. no experimental-
diseño 
transversal
 
Fuente: Elaboración propia 
1.3 Categoría, subcategoría e indicadores de la investigación 
La categoría de estudio a través de la cual se plantea el análisis de la presente 
investigación está relacionada a los niveles de razonamiento geométrico de Van Hiele. 
Las sub-categorías de análisis que se extraen a partir de la categoría y los objetivos 
específicos permiten conocer a detalle cada nivel de razonamiento geométrico, mientras 
que los indicadores de análisis permiten entender los procesos de razonamiento.  
38 
El gráfico que se presenta a continuación muestra la relación entre la categoría de estudio, 
las sub-categorías e indicadores de análisis, así como los ítems que se incorporan en el 
instrumento de investigación. 
Gráfico 2: Distribución de categoría, sub-categoría e indicadores de análisis 
ÍTEMS TOMADOS EN CUENTA PARA EL TEST 
INDICADORES 
DE ESTUDIO 
Identifica triángulos y cuadriláteros a partir de figuras
dadas.
SUB- Identificación
CATEGORÍAS Identifica triángulos y cuadriláteros a partir de figuras
DE ESTUDIO dadas.
Caracteriza los cuadriláteros y triángulos a partir de
Nivel 1: figuras dadas.
Visualización Definición
Emplea vocabulario geométrico relacionado a los
cuadriláteros o triángulos.
Clasifica cuadriláteros y triángulos en base a su
Clasificación
apariencia global (lados y vértices)
Reconoce que los cuadriláteros y triángulos están
Identificación formados por partes y tienen propiedades matemáticas
CATEGORÍA DE particulares que los caracteriza.
ESTUDIO 
Describe las características de cuadriláteros y
triángulos, utilizando vocabulario geométrico
apropiado (por ejemplo: “lados opuestos”, “los ángulos
consecutivos suman 180°”, entre otros).
Niveles de razonamiento Definición 
geométrico de Van Hiele
Nivel 2: Análisis Define los cuadriláteros y triángulos a partir de las
propiedades que caracterizan a cada uno de estos
polígonos.
Clasifica cuadriláteros y triángulos,relacionando
Clasificación
algunas propiedades: lados y ángulos.
Prueba Justifica la verdad o falsedad de enunciados
relacionados con triángulos y cuadriláteros.
Construye definiciones propias de los cuadriláteros y
Definición 
triángulos usando sus propiedades de manera correcta.
Nivel 3: Clasifica diferentes familias de cuadriláteros y triángulos
Clasificación 
Clasificación a partir de sus propiedades: lados, ángulos y diagonales.
Justifica la verdad o falsedad de enunciados relacionados
Prueba con triángulos y cuadriláteros, haciendo uso correcto de
definiciones y propiedades.
Fuente: Elaboración propia 
39 
En las siguientes líneas se explicará a detalle la categoría y sus respectivas sub-categorías 
junto a los indicadores.  
Categoría: Niveles de razonamiento geométrico de Van Hiele 
Esta categoría hace referencia al razonamiento geométrico e ideas geométricas que 
presentan los estudiantes respecto al tema de cuadriláteros y triángulos. Se evidencia a 
través del test de razonamiento geométrico con el cual se podrá conocer el razonamiento 
de los estudiantes respecto a los problemas planteados. 
Subcategorías 
 Nivel 1-Visualización: hace referencia a cómo los alumnos perciben las figuras 
geométricas, la cual se da por su totalidad, describiendo así a la figura en base a 
características globales, dejando de lado a los elementos y propiedades de los 
objetos. Se evidencia cuando los alumnos describen las figuras geométricas de 
forma global, dejando implícito sus elementos y propiedades.  
Los indicadores seleccionados para esta categoría, explicados en la siguiente 
sección, son los siguientes:  
o Identificación 
o Definición 
o Clasificación 
 Nivel 2-Análisis: esta sub-categoría hace referencia al entendimiento de las 
figuras geométricas por los elementos que las componen. Aunque no se relacionan 
unas figuras con otros, los estudiantes logran reconocer algunas propiedades. Se 
evidencia cuando los estudiantes describen las figuras geométricas apoyándose de 
sus elementos y algunas propiedades. 
Los indicadores seleccionados para esta categoría, explicados en la siguiente 
sección, son los siguientes:  
o Identificación 
o Definición 
o Clasificación 
o Prueba 
 Nivel 3-Clasificación: hace referencia a la comprensión de las figuras a partir de 
su clasificación de acuerdo a las propiedades por medio de razonamiento informal. 
Sin embargo, los estudiantes no pueden demostrar las propiedades de las figuras 
40 
geométricas. Se evidencia cuando los estudiantes organizan familias de figuras 
según las características y propiedades que estas comparten. 
Los indicadores seleccionados para esta categoría, explicados en la siguiente 
sección, son los siguientes:  
o Definición 
o Clasificación 
o Prueba 
Indicadores 
A continuación se exponen los indicadores de la presente investigación, estos se 
desprenden de cada sub-categoría de análisis y permiten comprender mejor los niveles de 
razonamiento geométrico.   
 Identificación: hace referencia a la identificación de la familia a la que pertenece 
un objeto geométrico. Se evidencia cuando los estudiantes describen los rasgos o 
las características de las distintas figuras geométricas.  
 Definición: hace referencia a definición de un concepto, el cual puede darse como 
una repetición o lectura de un concepto dado o aquella que formula una definición 
para una clase de figuras geométricas. Se evidencia cuando los estudiantes definen 
las figuras geométricas empleando el lenguaje aprendido por ellos. 
 Clasificación: hace referencia a la clasificación de objetos geométricos en 
diferentes familias. Se evidencia cuando los alumnos determinan agrupaciones de 
figuras geométricas de acuerdo a sus características o propiedades. 
 Prueba: hace referencia a la prueba de propiedades o afirmaciones a manera de 
convencer a alguien sobre la veracidad de dichas afirmaciones. Se evidencia 
cuando los estudiantes emplean demostraciones a manera de comprobar las 
propiedades de las figuras geométricas. 
1.4 Población, muestra e informantes  
Arias (2012) señala que la población “es un conjunto finito o infinito de elementos con 
características comunes para los cuales serán extensivas las conclusiones de la 
investigación. Ésta queda delimitada por el problema y por los objetivos del estudio.” 
(p.81). Entonces, se entiende por población al grupo de interés referente para que el 
investigador construya las conclusiones de la investigación. Así, la población de la 
41 
presente investigación la conforman los estudiantes de quinto grado de primaria de una 
IE particular de Lima Metropolitana, Perú. 
De igual manera, a partir de la población se extrae la muestra de estudio, la cual, según 
Hernández, Fernández y Baptista (2010) es un “subgrupo de la población del cual se 
recolectan los datos y debe ser representativo de ésta.” (p.175). Respecto a la muestra, 
Arias (2012) considera que, de acuerdo a las características y objetivos de la 
investigación, esta puede ser: probabilística y no probabilística. Hernández, Fernández y 
Baptista (2010) sostienen que en las muestras probabilísticas “todos los elementos de la 
población tienen la misma posibilidad de ser escogidos” (p. 176), ya sea a través de un 
muestreo aleatorio o mecánico; mientras en las muestras no probabilísticas “la elección 
de los elementos no depende de la probabilidad, sino de causas relacionadas con las 
características de la investigación o de quien hace la muestra.” (p. 176). A partir de ello, 
esta investigación presenta una muestra intencionada de cuatro (4) estudiantes con alto 
rendimiento académico ubicados en quinto grado de primaria de institución educativa 
particular de Lima Metropolitana.  
Esta muestra es de tipo no probabilística o dirigida, lo que significa que ha sido 
seleccionada de acuerdo a los intereses de la investigación. La muestra la conforman 4 
estudiantes de una IE particular de Lima Metropolitana, los cuales tienen como 
característica en común su alto rendimiento académico en el curso de matemática. La 
escuela de estos alumnos trabaja bajo el sistema de “sets”, el cual consiste en agrupar a 
los niños de acuerdo al rendimiento académico en el curso de matemática. Los autores, 
Hernández, Fernández y Baptista (2010), señalan que la ventaja de una muestra no 
probabilística en una investigación cuantitativa “es su utilidad para determinado diseño 
de estudio que requiere no tanto una “representatividad” de elementos de una población, 
sino una cuidadosa y controlada elección de casos con ciertas características". Así 
también, los informantes que participan de la recogida de la información desarrollando el 
test de razonamiento geométrico serán los mismos que conforman la muestra de la 
investigación. 
 
 
 
42 
1.5 Técnica e instrumento de la investigación 
Técnica e instrumento para la recogida de información 
De acuerdo con el objetivo de la presente investigación, “Caracterizar el nivel de 
razonamiento geométrico respecto a los cuadriláteros y triángulos en los estudiantes de 
quinto grado de primaria de una IE particular de Lima Metropolitana”, la técnica 
seleccionada para la recogida de información es la prueba. Fernández et al. (2010) 
consideran que las pruebas o inventarios miden variables específicas, como la 
inteligencia, la personalidad, el razonamiento matemático, el tipo de cultura 
organizacional, el estrés preoperatorio, entre otros. En particular, la prueba en esta 
investigación permitirá conocer el grado de adquisición del nivel o niveles de 
razonamiento geométrico que los estudiantes alcancen.  
Asimismo, esta técnica tendrá como instrumento una prueba abierta, la misma parte del 
“Modelo de test para evaluar los niveles de van Hiele” propuesta por Adela Jaime y Ángel 
Gutiérrez (1994). De acuerdo con estos autores, para medir el nivel de razonamiento 
geométrico hay que tener presente los niveles de Van Hiele, de manera que en la prueba 
abierta se propongan actividades o preguntas que den la oportunidad a los estudiantes de 
explicar y argumentar las razones de sus respuestas matemáticas. Jaime y Gutiérrez 
(1994) explican sobre su propuesta que: 
(...) El marco se basa en la consideración de los diferentes procesos clave 
involucrados en cada nivel de pensamiento y el uso de preguntas abiertas. 
Presentamos una propuesta de examen en papel y lápiz con una estructura que se 
aproxima a las entrevistas clínicas, con el fin de obtener la mayor cantidad de 
información posible de las respuestas escritas de los estudiantes (Gutiérrez y 
Jaime, 1994, p. 41).  
A partir de dicha propuesta se elaboró el primer borrador del test para la presente 
investigación. Este pasó por revisión de parte de la asesora asignada por la Facultad de 
Educación de la Pontificia Universidad Católica del Perú y luego, por la observación del 
investigador Ángel Gutiérrez, co-creador de la propuesta de test para evaluar los niveles 
de Van hiele y uno de los principales exponentes relacionados al modelo de Van Hiele. 
Tanto la asesora como el experto antes mencionados revisaron la coherencia de las 
preguntas con la matriz investigación que contenía los indicadores de cada nivel de Van 
Hiele seleccionados en el presente estudio. La validación con el experto, Ángel Gutiérrez, 
43 
se dio por medio de comunicación vía correo electrónico al departamento de Didáctica de 
la Matemática de la Universidad de Valencia.   
El test de razonamiento geométrico, instrumento del presente estudio, está organizado en 
4 actividades, las cuales contienen a su vez entre 1 y 4 ejercicios relacionados al tema de 
cuadriláteros y triángulos (ver anexo 1). Cada ejercicio responde a un determinado nivel 
de razonamiento geométrico, por lo cual cumple con un objetivo que se expresa como 
indicador en la matriz de investigación (anexo 2). En la siguiente la tabla se presenta el 
objetivo y el nivel designado por cada ejercicio de las cuatro actividades del test de 
razonamiento geométrico.    
Tabla 8: Descripción del test de razonamiento geométrico a partir del Modelo de Van 
Hiele 
Actividad- 
Niveles Objetivo 
ejercicio 
I.1 Identificar triángulos y cuadriláteros a partir de figuras dadas. 
Identificar triángulos y cuadriláteros a partir de figuras dadas. 
I.2 Clasificar triángulos y cuadriláteros en base a sus apariencias 
Nivel 1: globales (lados y vértices) 
Visualización Caracterizar los triángulos y cuadriláteros a partir de figuras 
II.1 dadas. Emplear vocabulario geométrico relacionado a los triángulos 
o cuadriláteros. 
I.2 Clasificar triángulos y cuadriláteros en base a sus apariencias globales (lados y vértices). 
Describir las características de triángulos y cuadriláteros 
II.2 utilizando vocabulario geométrico apropiado (por ejemplo: “lados opuestos”, “los ángulos consecutivos suman 180°”, 
Nivel 2: entre otros). 
Análisis II.3 Definir los triángulos y cuadriláteros a partir de las propiedades que caracterizan a cada uno de estos polígonos. 
Reconocer que los triángulos y cuadriláteros están formados 
III.1 por partes y tienen propiedades matemáticas particulares que 
los caracterizan. 
IV.1 Justificar la verdad o falsedad de enunciados relacionados con triángulos y cuadriláteros. 
Clasificar diferentes familias de triángulos y cuadriláteros a 
partir de sus propiedades: lados, vértices y ángulos. 
Nivel 3: IV.1 Justificar la verdad o falsedad de enunciados relacionados con 
Clasificación triángulos y cuadriláteros haciendo uso correcto de definiciones y propiedades. 
IV.2 Construir definiciones propias de los cuadriláteros usando sus propiedades de manera correcta. 
Fuente: Tomado y adaptado de Maguiña (2013) 
 
44 
Técnica para la organización, procesamiento y análisis de datos 
Gutiérrez y Jaime (1994) sugieren para el análisis de los resultados de la evaluación de 
los niveles de Van Hiele el uso de los "Grado de Adquisición". Esta denominación 
permite interpretar la adquisición de un nivel de razonamiento de Van Hiele, así como 
obtener más información sobre el razonamiento de los alumnos. Como se explicó en la 
sección “Evaluación de los niveles de Van Hiele”, Aravena, Gutiérrez y Jaime (2016) 
describen los criterios de evaluación en base a la perfección del uso de un determinado 
nivel de razonamiento y en la corrección matemática de las respuestas (revisar capítulo 
2.5 de la primera sección de la investigación).   
Tomando de referencia los procesos anteriormente mencionados, el procedimiento a 
llevarse a cabo en la etapa del análisis pasará por las siguientes etapas: aplicar el test a la 
muestra no probabilística; realizar el vaciado de la información; explorar la información 
recabada; clasificar las respuestas de acuerdo al tipo de respuestas y de acuerdo al nivel 
de Van Hiele; analizar las respuestas de acuerdo al tipo de respuestas y de acuerdo al nivel 
de Van Hiele; realizar análisis adicionales; asignar grados de adquisición de acuerdo a los 
niveles destacados; y finalmente, preparar los resultados obtenidos.  
1.6 Importancia del estudio de los niveles de razonamiento de Van Hiele  
Vargas y Gamboa (2013) sostienen que la geometría es una ciencia que forma parte de 
nuestro día a día, y que por tal, esta ciencia es de gran importancia para la humanidad y 
su desarrollo. Estos autores señalan que la geometría “se relaciona, de manera directa o 
indirecta, con múltiples actividades que se realizan ya sea para el progreso de la sociedad, 
el estudio o para la recreación” (p. 75). Asimismo, la importancia de la geometría radica 
en que por más simple que sea una actividad propuesta, esta permite desarrollar destrezas 
o habilidades mentales que exploran el razonamiento geométrico de los estudiantes o las 
personas en general (Vargas y Gambo, 2013). 
A partir de lo mencionado anteriormente, es importante que los principios que direccionan 
la enseñanza de la geometría promuevan el desarrollo de habilidades visuales, 
interpretativas, de clasificación, de lenguaje, entre otras como parte del razonamiento 
geométrico. Siguiendo con dicha visión de la geometría, surge el Modelo de Van Hiele, 
objeto de estudio de la presente investigación, el cual trabaja dos grandes dimensiones: 
los Niveles de Van Hiele y las Fases de Aprendizaje. En particular, la primera dimensión 
tiene una orientación descriptiva, ya que permiten conocer las diferentes formas 
45 
razonamiento en lo estudiantes. Dicha orientación contribuye con el objetivo 
anteriormente explicado de la geometría, permitiendo así conocer las habilidades de 
razonamiento de los estudiantes.    
La importancia del estudio de los Niveles de razonamiento de Van Hiele parte por 
reconocer la importancia de la geometría como una ciencia que promueve el desarrollo 
de habilidades y destrezas de razonamiento geométrico. Es por eso que en la presente 
investigación, el test de razonamiento que se aplique comunicará el nivel de razonamiento 
geométrico o nivel de razonamiento de Van Hiele que presenten los estudiantes. Al 
conocer los niveles de Van Hiele se hará visible el desarrollo del pensamiento geométrico 
de niños y niñas. Al hacerse visible tal pensamiento, el docente no solo sabrá y respetará 
el proceso de aprendizaje de los estudiantes, sino que también tendrá que responder a las 
necesidades directas de los estudiantes a partir de actividades contextualizadas.  
Gamboa y Vargas (2013) señalan que los niveles de razonamiento geométrico deben 
alcanzarse consecutivamente de forma que se respete el proceso de aprendizaje de los 
alumnos. Es decir, una vez conocido los niveles de razonamiento de los estudiantes, los 
profesores tomarán esto como diagnóstico o conocimiento previo para plantear el trabajo 
con los estudiantes. Asimismo, De Villiers (2010) señala que gracias a las investigaciones 
realizadas por los estudiosos Van Hiele se conoció que uno de los motivos más comunes 
del fracaso del plan de estudio de la geometría se debe a que su enseñanza se propone un 
nivel o niveles superiores al nivel de razonamiento que presentan los estudiantes. De igual 
manera, en su investigación relacionada a los niveles de Van Hiele, de Souza y Ferrentini 
(2010) consideran que cada estudiante razona a partir de distintos niveles, por lo que en 
las clases uno de los problemas de aprendizaje se debe a la falta de interés de los docentes 
por conocer cómo piensan sus estudiantes o en qué nivel de razonamiento se encuentran.  
Capítulo II: Análisis e interpretación de los resultados 
2.1 Aplicación del test de razonamiento geométrico   
El test de razonamiento geométrico cuenta con cuatro actividades, las cuales presentan 
un número determinado de ejercicios (entre 1 y 4). La prueba está programada para 
desarrollarse en una hora (60 minutos) y cada ejercicio tiene por objetivo medir el grado 
de adquisición de los niveles de Van Hiele. En la siguiente tabla se presenta, a manera de 
46 
resumen, las actividades/ejercicios junto a los niveles que los estudiantes pueden alcanzar 
al desarrollar el test de razonamiento geométrico. 
Tabla 9: Distribución de actividades de la prueba 
Niveles 
Actividad/ejercicio 
1: Visualización 2: Análisis 3: Clasificación 
I.1 ✓   
I.2 ✓ ✓  
II.1 ✓   
II.2  ✓  
II.3  ✓  
III.1  ✓  
IV.1  ✓ ✓ 
IV.2   ✓ 
Fuente: Tomado y adaptado de Jaime (1993) 
Como se mencionó anteriormente, la muestra del presente estudio la conforman cuatro 
estudiantes de una IE particular de Lima Metropolitana. Por motivos de privacidad y 
respeto a la identidad de los estudiantes, a cada uno se le asignó un código. Este código 
permite hacer distinciones entre las respuestas obtenidas a partir del test de razonamiento, 
y así lograr analizar el nivel de razonamiento presente en los estudiantes. Es preciso 
mencionar que el test de razonamiento geométrico empleado en el presente estudio se 
aplicó en el idioma inglés, ya que los alumnos que participaron pertenecen a una IE 
bilingüe, en la que el curso de matemática es impartido en este idioma desde los primeros 
grados. 
La muestra la constituyen los alumnos: CM, JO, OS y LH. Estos cuatro estudiantes 
lograron terminar la prueba en el tiempo establecido, es decir, desarrollaron las cuatro 
actividades en su totalidad. En líneas generales, se encontró que la mayoría de los 
estudiantes tienen un vocabulario geométrico apropiado y manejan criterios correctos 
para clasificar los triángulos y cuadriláteros. También se observó que la mayoría de los 
argumentos que emplean para justificar sus respuestas están relacionados a propiedades 
elementales de los triángulos y cuadriláteros. De igual manera, se encontró que algunos 
argumentos se apoyan de la percepción global o características físicas relacionadas a los 
triángulos y cuadriláteros.   
47 
A continuación, se presentan las respuestas esperadas a las actividades planteadas en el 
test, así como las respuestas recogidas a partir de la aplicación del test.  
2.2 Descripción de las respuestas esperadas al test de razonamiento 
Debido a que el propósito de la presente investigación es caracterizar el nivel de 
razonamiento geométrico respecto a los triángulos y cuadriláteros en estudiantes de 
quinto grado de primaria de una IE particular de Lima Metropolitana, se propone aplicar 
un test con cuatro actividades, las cuales desarrollan entre 1 y 4 ejercicios relacionados al 
tema de cuadriláteros y triángulos. El test permitirá identificar el grado de adquisición del 
nivel de razonamiento geométrico que presenta la muestra del presente estudio. A 
continuación, se describen las actividades, los tipos de respuestas junto a la corrección 
matemática por cada ejercicio y los objetivos de cada uno de ellos en relación a los niveles 
de razonamiento geométrico según Van Hiele. 
ACTIVIDAD I 
Ejercicio: I.1 
Objetivo:  
Nivel 1: Visualización Identificar triángulos y cuadriláteros a 
partir de figuras dadas. 
Actividad-ejercicio Corrección matemática 
 
 
Tipo de 
Descripción de la respuestas 
respuesta 
Ejercicio sin respuestas 1 
Reconoce algunos de los triángulos y cuadriláteros a partir de su forma global. 3 
Reconoce cada triángulo y cuadrilátero a partir de forma global,  7 
48 
Ejercicio: I.2 
Objetivos:  
- Identificar triángulos y cuadriláteros a 
partir de figuras dadas. 
Nivel 1: Visualización - Clasificar triángulos y cuadriláteros en 
base a su apariencia global: “se    parece 
a...”, “tiene la forma de...”, “es 
como……...”. 
Objetivo: 
-oClasificar triángulos y cuadriláteros, 
Nivel 2: Análisis relacionando algunas propiedades: lados y 
vértices. 
Actividad-ejercicio Corrección matemática 
  
 Reconoce a las figuras por su apariencia 
 global o por su forma, y las clasifica según 
 el número de lados de cada figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tipo de 
Descripción del ejercicio 
respuesta 
Ejercicio sin respuesta. 1 
Clasifica de manera incorrecta las figuras usando conceptos errados.  2 
Reconoce a las figuras en base a su apariencia global y las clasifica sin usar 
propiedades, empleando justificaciones escuetas.  3 
Reconoce las figuras por su apariencia global o por su forma y las clasifica 
según el número de lados o vértices, empleando justificaciones precisas. 6 y 7 
 
 
 
49 
ACTIVIDAD II 
Ejercicio: II.1 
Objetivos:  
- Caracterizar los triángulos y 
cuadriláteros a partir de figuras dadas. 
Nivel 1: Visualización - Emplear vocabulario geométrico 
relacionado a los triángulos o 
cuadriláteros. 
Actividad-ejercicio Corrección matemática 
  
 
 
Tipo de 
Descripción del ejercicio 
respuesta 
Ejercicio sin respuesta.  1 
Reconoce las características de algunos triángulos y cuadriláteros. 3 
Reconoce las características de los triángulos y cuadriláteros sin emplear 
vocabulario geométrico. 5 
Reconoce las características de los triángulos y cuadriláteros empleando 
vocabulario geométrico para nombrarlos.  6 y 7 
 
Ejercicio: II.2 
Objetivos:  
Describir las características de los 
Nivel 2: Análisis triángulos y cuadriláteros utilizando 
vocabulario geométrico apropiado, por 
50 
ejemplo: “lados opuestos”, “los ángulos 
consecutivos suman 180°”, entre otros. 
Actividad-ejercicio Corrección matemática 
  
Se espera que los alumnos describan las 
figuras identificadas previamente usando 
sus características y empleando 
vocabulario geométrico. 
Ejercicio: II.3 
Objetivos:  
Definir los triángulos y cuadriláteros a 
Nivel 2: Análisis partir de las propiedades que caracterizan 
a cada uno de estos polígonos 
Actividad-ejercicio Corrección matemática 
  
Se espera que los alumnos describan las 
figuras identificadas previamente usando 
sus propiedades y empleando vocabulario 
geométrico. 
 
 
 
 
51 
Tipo de 
Descripción del ejercicio 
respuesta 
Ejercicio sin respuesta.  1 
Describe las figuras del ejercicio II.1 de manera incorrecta.  2 
Describe las figuras del ejercicio II.1 usando sus características generales 
y empleando vocabulario geométrico. 3 
Describe las figuras del ejercicio II.1 usando sus propiedades y empleando 
vocabulario geométrico 6 y 7 
ACTIVIDAD III 
Ejercicio: III.1 
Objetivos:  
Reconocer que los triángulos y 
Nivel 2: Análisis cuadriláteros están formados por partes y 
tienen propiedades matemáticas 
particulares que los caracterizan. 
Actividad-ejercicio Corrección matemática 
  
 
 
Tipo de 
Descripción del ejercicio 
respuesta 
Ejercicio sin respuesta 1 
Respuesta matemáticamente incorrecta. 2 
Reconoce que algunos triángulos y cuadriláteros están formados por partes 
y tienen propiedades matemáticas. Emplea justificaciones cortas. 3 
Reconoce que algunos triángulos y cuadriláteros están formados por partes 
y tienen propiedades matemáticas particulares que los caracterizan. 5 
Emplea justificaciones precisas. 
Reconoce que los triángulos y cuadriláteros están formados por partes y 
tienen propiedades matemáticas particulares que los caracterizan. Emplea 6 y 7 
justificaciones precisas. 
 
52 
ACTIVIDAD IV 
Ejercicio: IV.1 
Objetivos:  
Justificar la verdad o falsedad de 
Nivel 2: Análisis enunciados relacionados con triángulos y 
cuadriláteros. 
- Clasificar diferentes familias de 
triángulos y cuadriláteros a partir de sus 
propiedades: lados, vértices y ángulos. 
Nivel 3: Clasificación - Justificar la verdad o falsedad de 
enunciados relacionados con triángulos y 
cuadriláteros, haciendo uso correcto de 
definiciones y propiedades. 
Actividad-ejercicio Corrección matemática 
  
 
Tipo de 
Descripción del ejercicio 
respuesta 
Ejercicio sin respuesta.  1 
Respuestas matemáticamente incorrectas.  2 
Respuestas matemáticamente correctas con justificaciones escuetas.  3 
En su mayoría, respuestas matemáticamente correctas con justificaciones 
que emplean definiciones, características y propiedades relacionadas a los 5 
triángulos y cuadriláteros. 
Respuestas matemáticamente correctas con justificaciones que emplean 
definiciones, características y propiedades relacionadas a los triángulos y 6 y 7 
cuadriláteros. 
 
Ejercicio: IV.2 
Objetivos:  
Construir definiciones propias de los 
Nivel 3: Clasificación cuadriláteros usando sus propiedades de 
manera correcta. 
53 
Actividad-ejercicio Corrección matemática 
  
paralelogramo 
  
Tipo de 
Descripción del ejercicio 
respuesta 
Ejercicio sin respuesta.  1 
Construye definiciones incorrectas para los cuadriláteros. 2 
Construye definiciones propias de los cuadriláteros usando algunas de sus 
propiedades respecto a los lados y ángulos para justificar sus respuestas. 5 
Construye definiciones propias de los cuadriláteros usando sus 
propiedades respecto a los lados y ángulos para justificar su respuesta.  6 y 7 
En el siguiente punto se presentan los resultados de la prueba aplicada a los cuatro 
estudiantes que participaron de la muestra.   
2.3 Descripción de las respuestas dadas al test de razonamiento geométrico 
Los ejercicios propuestos para evaluar el grado de adquisición del nivel 1, nivel de 
“visualización” o de “reconocimiento”, son tres: I.1, I.2 y II.1. El nivel 1 explica que un 
niño con dicho nivel de razonamiento, percibe los objetos, en este caso particular los 
triángulos y cuadriláteros, por su totalidad o como simples unidades. Es decir, cuando se 
describa las figuras geométricas, por ejemplo, el niño se centrará solo en los aspectos 
globales de cada una; además, no reconocerá correctamente los elementos de las figuras 
ni sus propiedades. Asimismo, este nivel se acompaña de un vocabulario geométrico 
básico, el cual se caracteriza por la repetición de palabras como lados, esquinas, ángulos, 
entre otros. 
Los tres ejercicios que tienen por objetivo evaluar el nivel 1, demandarán del estudiante 
lo siguiente: identificar y caracterizar triángulos y cuadriláteros a partir de figuras dadas; 
clasificar triángulos y cuadriláteros en base a su apariencia global; y emplear vocabulario 
geométrico relacionado a los cuadriláteros y triángulos. Es decir, los alumnos tendrán que 
reconocer dichas figuras geométricas teniendo en cuenta su aspecto físico y sus 
54 
características globales, sin necesidad de hacer hincapié en sus propiedades. Asimismo, 
los estudiantes no tendrán por qué generalizar o relacionar las características de una figura 
con otra. 
En cuanto a los ejercicios propuestos para evaluar el grado de adquisición del nivel 2, 
nivel de “análisis”, fueron cinco: I.2, II.2, II.3, III.1 y IV.1. Un niño con nivel 2 de 
razonamiento geométrico reconoce que cada figura, en este caso, triángulos y 
cuadriláteros, están formados por elementos y propiedades que los caracterizan y los 
hacen polígonos particulares. En este nivel, los estudiantes no establecen claramente 
relaciones entre figuras, es decir, realizan ciertas clasificaciones en base a algunas 
propiedades o algunas características de los polígonos. Por otro lado, los niños en este 
nivel emplean un vocabulario geométrico variado, el cual le permite justificar la verdad 
o falsedad de enunciados relacionados a triángulos y cuadriláteros.  
Los cinco ejercicios que tienen por objetivo evaluar el nivel 2, demandarán del estudiante 
lo siguiente: describir las características de triángulos y cuadriláteros utilizando 
vocabulario geométrico apropiado; definir los triángulos y cuadriláteros a partir de las 
propiedades que caracterizan a cada uno de estos polígonos; reconocer que los triángulos 
y cuadriláteros están formados por partes y tienen propiedades matemáticas particulares 
que los caracterizan; clasificar triángulos y cuadriláteros relacionando algunas 
propiedades como sus lados y vértices; y justificar la verdad o falsedad de enunciados 
relacionados con triángulos y cuadriláteros. 
Por su parte, los ejercicios propuestos para evaluar el nivel 3, nivel de “clasificación”, 
fueros dos: IV.1 y IV.2. El nivel 2 de razonamiento geométrico explica que los niños 
realizan clasificaciones entre figuras (de las mismas familias), descubriendo así 
propiedades ya conocidas o propiedades nuevas que formulan a partir de un razonamiento 
informal. De igual manera, un niño con grado de adquisición del nivel 2 presenta un 
razonamiento lógico que le permite comprender enunciados matemáticos a partir del 
aspecto físico de las figuras, mas no es capaz de formular demostraciones matemáticas.  
Los dos ejercicios que tienen por objetivo evaluar el nivel 3, demandarán del estudiante 
las siguientes habilidades: clasificar diferentes familias de triángulos y cuadriláteros a 
partir de sus propiedades: lados, vértices y ángulos; justificar la verdad o falsedad de 
enunciados relacionados con triángulos y cuadriláteros, haciendo uso correcto de 
55 
definiciones y propiedades; y construir definiciones propias de los cuadriláteros usando 
sus propiedades de manera correcta. 
A continuación, se describirán aspectos generales y particulares recogidos por cada 
ejercicio del test de razonamiento geométrico aplicado. En el ejercicio I.1 se observa que 
los estudiantes, en su totalidad, no tuvieron problemas al reconocer los triángulos y 
cuadriláteros a partir de las figuras dadas. Este ejercicio presentó once figuras de 
polígonos, de los cuales tres eran triángulos, seis cuadriláteros y las dos últimas figuras 
de más de cinco lados. Los alumnos escribieron una “Q” dentro de las figuras que eran 
cuadriláteros (6 de un total de 11 figuras), y una “T” en aquellas que eran triángulos (3 
de un total de 11 figuras).  
Es preciso señalar que las respuestas al ejercicio I.1 están guiadas por la percepción 
global, es decir, por el aspecto físico de cada figura. En la figura 17 se aprecia un ejemplo 
de las respuestas dadas al ejercicio I.1 del test de razonamiento geométrico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 17 
56 
Respecto al ejercicio I.2, continuación del ejercicio I.1, requirió de los estudiantes 
desarrollar respuestas que justifiquen las preguntas planteadas. Estas preguntas 
demandaban de los estudiantes explicar cuándo una figura era triángulo o cuando era 
cuadrilátero. Se observa que 3 de los 4 estudiantes emplearon la palabra “lado/s” como 
principal fuente para justificar por qué una figura es triángulo o por qué una figura es 
cuadrilátero. Asimismo, hacen referencia a la cantidad de lados para justificar sus 
respuestas y, en general, repiten las siguientes premisas: “es triángulo si tiene 3 lados”, 
“si tiene más de tres lados no es triángulo”, “es cuadrilátero si tiene 4 lados”, “no es 
cuadrilátero si tiene más o menos de 4 lados”.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 18 
Sin embargo, como se puede observar en la figura 19, LH añadió a una de sus 
justificaciones que la figura “b)” no era triángulo ya que “no tiene la misma forma y lados 
que un triángulo”. Esta muestra reitera el uso de una percepción global para justificar sus 
respuestas. A continuación, se muestra las respuestas al ejercicio I.2 del alumno LH. 
57 
 
 
 
 
Figura 19 
Por otro lado, JO fue el único estudiante que al justificar sus respuestas empleó la palabra 
“línea/s” haciendo referencia a la cantidad de lados que un cuadrilátero o un triángulo 
deben tener para ser tales figuras. De la muestra de 4 estudiantes, JO es el primero en 
incorporar la palabra “línea” dentro de su vocabulario geométrico. La figura 20 muestra 
la respuesta elaborada por JO.  
 
 
 
 
 
 
Figura 20 
Por lo que se refiere al ejercicio II.1, se encontró que la mayoría de los estudiantes usó 
vocabulario geométrico para nombrar las figuras; no obstante, solo 3 de los 4 niños 
desarrollaron en su totalidad dicho ejercicio. Este ejercicio presentó siete figuras de 
polígonos, de las cuales dos eran triángulos y cinco cuadriláteros. Para nombrar cada 
figura, los niños emplearon nombres convencionales con los que se conoce a dichos 
polígonos (triángulo, cuadrado, paralelogramo, entre otros); también se valieron de 
características generales para denominarlas (polígono, cuadrilátero, lados iguales y otros). 
A continuación, en la figura 21 se observa algunos de los nombres asignados por uno de 
los alumnos al polígono “e)” y al polígono “f)” del ejercicio II.1.    
 
58 
 
 
 
 
 
Figura 21 
Asimismo, en relación a este ejercicio, se observa que el estudiante LH emplea un 
lenguaje sencillo o coloquial para denominar las figuras propuestas. Por ejemplo, emplea 
palabras como: “cuadrado largo”, “rectángulo echado”, “rectángulo corto” para nombrar 
las figuras. En la siguiente imagen se observa lo mencionado.   
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 22 
Respecto al ejercicio II.2, ejercicio relacionado al II.1, muestra como los estudiantes 
definen los triángulos y cuadriláteros para justificar sus respuestas anteriores. De la 
muestra, 3 de los 4 estudiantes formulan definiciones que emplean algunas propiedades, 
como referirse al número de lados, acompañado de vocabulario geométrico básico, y en 
algunos casos, vocabulario coloquial para indicar alguna característica de la figura. Así 
por ejemplo, en la figura 23, 24 y 25 se observa las propiedades y el vocabulario que 
emplean OS, LH y JO para definir un paralelogramo, triángulo rectángulo y rombo 
respectivamente. Las siguientes figuras muestran el uso reiterativo de la propiedad 
relacionada al número de lados de que tiene cada polígono; así como el empleo de 
vocabulario  coloquial para expresar las características de dichos polígonos.  
59 
 
 
 
 
Figura 23 
 
 
 
 
 
 Figura 24 
 
 
 
 
Figura 25 
60 
Por su parte, CM al justificar sus respuestas emplea hasta 2 propiedades de un polígonos. Asimismo, hace uso de un vocabulario geométrico variado 
para fundamentar sus respuestas. A continuación, en las figuras 26 y 27 se puede apreciar lo anteriormente indicado: 
 
 
 
Figura 26 
Figura 27 
61 
Por su parte, el ejercicio III.1 buscó que los niños reconozcan propiedades de los 
cuadriláteros y triángulos, y así relacionen las características de estas figuras y, 
empleando vocabulario geométrico, describan cada una de ellas apoyándose además de 
dibujos. Los cuatro estudiantes respondieron correctamente el ejercicio propuesto, se 
valieron de las características de cada figura para justificar sus respuestas. Pese a que no 
todas las respuestas fueron iguales, todas estuvieron matemáticamente correctas.  
Dos de los cuatro alumnos (OS y LH) consideran que la figura A (figura A: es un 
cuadrilátero que tienen dos pares de lados paralelos) es un paralelogramo; mientras que 
solo uno (JO) considera que es un rombo y otro niño (CM) considera que es un cuadrado. 
Solo uno de los cuatro estudiantes (CM) señala más de una característica de la figura 
relacionada a los lados y los ángulos. El resto de estudiantes (OS, LH y JO), hace 
referencia a solo una característica de la figura, los lados. A continuación, la figura 28 
ilustra lo observado en esta primera parte del ejercicio III.1.   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
Figura 28 
62 
Respecto a la figura B del ejercicio III.1, las respuestas también fueron correctas. La 
figura B (figura B: es un triángulo que tiene lados diferentes y un ángulo recto) fue 
relacionada con: triángulo rectángulo y triángulo escaleno. Como se observa en la figura 
29, solo uno (LH) de los cuatro niños señaló que el triángulo al que hacía referencia la 
figura B era un triángulo escaleno, los demás lo relacionaron con triángulo rectángulo. 
Tres de los cuatro estudiantes (LH, CM y JO), al justificar sus respuestas, emplean 
propiedades del triángulo relacionados a los lados y ángulos; mientras que un estudiante 
(OS) basa su justificación en una solo característica del triángulo relacionada a los 
ángulos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 29 
63 
En relación al ejercicio IV.1, este demandó del estudiante hacer uso de todo el 
conocimiento relacionado a los cuadriláteros y triángulos para demostrar la verdad o 
falsedad de seis proposiciones. En las respuestas proporcionadas por los estudiantes, se 
apreció el uso de vocabulario geométrico, definiciones y ejemplos que emplearon los 
niños para sustentar sus justificaciones. En las siguientes líneas se mostrará las respuestas 
más resaltantes dadas por cada estudiante a este ejercicio. 
Como se puede observar en la figura 30, LH obtuvo dos respuestas matemáticamente 
correctas de las seis propuestas. En general, las demostraciones que emplea LH se 
sostienen de la percepción global que reconoce en cada figura. Repite frases como “todos 
los cuadrados son cuadrados”, “todos los paralelogramos son paralelogramos”, y así con 
el rectángulo, trapecio, triángulo equilátero y triángulo isósceles. Asimismo, emplea 
algunas propiedades para demostrar la verdad de un enunciado, como “la suma de los 
ángulos internos de un triángulo es 180°” y “todos los lados de un triángulo equilátero 
son iguales”.  
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 30 
En relación a OS (ver figura 16), obtuvo tres respuestas matemáticamente correctas de 
las 6 planteadas. Dentro de las demostraciones que emplea para justificar sus respuestas 
válidas, usa propiedades relacionados a los triángulos y cuadriláteros. Algunas 
propiedades como “la suma de los ángulos (internos) de un triángulo es 180°”, 
64 
“(triángulos equiláteros) tienen 3 (ángulos que son iguales)” y “(los rombos para ser 
cuadrados) necesitan 4 ángulos rectos”. De igual manera, se observa que al justificar sus 
respuestas equivocadas emplea propiedades elementales memorizadas. Por ejemplo, 
frente al enunciado “todos los cuadrados son rectángulos”, OS responde “no porque (los 
cuadrados) tienen todos los lados de igual medida”; asimismo, frente a la premisa “todos 
los triángulos equiláteros son triángulos isósceles”, OS señala que “no porque cada ángulo 
(de los triángulos isósceles) no mide 60°”; y frente al enunciado “todos los 
paralelogramos son trapecios”, OS señala que “no porque los trapecios tienen 1 (par) de 
lados paralelos”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 31 
Por su parte, CM obtuvo 3 respuestas matemáticamente correctas de las 6 propuestas. Se 
observa que al justificar la falsedad o verdad de sus respuestas CM emplea propiedades 
relacionadas a las figuras. Una de sus afirmaciones correctas fue “todos los lados (de un 
triángulo equilátero) son los mismos, no son dos lados sino tres lados (de igual medida)”. 
Asimismo, en sus justificaciones erróneas demuestra el uso de propiedades elementales 
memorizadas que parten de la percepción global como “los rectángulos no tienen lados 
iguales”, “(los) rombos tienen ángulos agudos y obtusos”.  
 
 
65 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 32 
Respecto a JO, logró 3 respuestas matemáticamente correctas de un total de 6 enunciados. 
Al igual que los demás niños, JO emplea alguna propiedad para justificar la verdad o 
falsedad del problema. Por ejemplo, señala que “todos los ángulos de un triángulo 
equilátero son iguales (igual medida)”, asimismo, se refiere, aunque equivocadamente, a 
la suma de los ángulos internos de un triángulo. Por otro lado, es importante señalar que 
JO fue el único en afirmar que “todo cuadrado es rectángulo” y “todo paralelogramo es 
trapecio”. Para justificar sus respuestas emplea explicaciones informales con base en su 
percepción visual, tales como: “Sí porque tu solo alargas dos líneas” (en respuesta a la 
primera afirmación) y “Sí, solo las líneas iguales (paralelas) se han alargado” (en 
respuesta a la segunda afirmación). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 33 
66 
Por último, en el ejercicio IV.2 todos los alumnos respondieron matemáticamente 
correcto. Sin embargo, se observa que las justificaciones a sus respuestas van desde 
incompletas a las que usan propiedades relacionadas a los lados y ángulos de los 
cuadriláteros. A continuación, se presentan las respuestas de los alumnos en el siguiente 
orden: OS, LH, CM y JO.  
 
 
 
 
Figura 34 
 
 
 
 
Figura 35 
 
 
 
 
Figura 36 
 
 
 
 
Figura 37 
 
 
67 
2.4 Análisis de los resultados  
El análisis de los resultados tendrá como base la metodología del cálculo de grados de 
adquisición de los Niveles de Van Hiele (Jaime y Gutiérrez, 1993). De igual manera, se 
tendrá en cuenta los tipos de respuestas previamente explicados por cada ejercicio en el 
punto 2.1; asimismo, será imprescindible tomar de referencia las respuestas dadas al test 
de razonamiento y descritas previamente en el punto 2.3.  
Tipos de respuestas según estudiante 
En las siguientes tablas se muestran los tipos de respuestas por cada ejercicio de acuerdo 
a las respuestas dadas de cada estudiante. Para ello, se ha tomado en cuenta la corrección 
matemática de los ejercicios, la descripción de las respuestas esperadas al test y la 
descripción de las respuestas dadas al test.  
Tabla 10: Tipo de respuestas de OS 
Ejercicio Tipo de respuesta T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 
I.1       ✓ 
I.2      ✓  
II.1      ✓  
II.2     ✓   
II.3     ✓   
III.1    ✓    
IV.1     ✓   
IV.II   ✓     
 Fuente: Tomado y adaptado de Jaime (1993) 
Tabla 11: Tipo de respuestas de LH 
Ejercicio Tipo de respuesta T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 
I.1       ✓ 
I.2      ✓  
II.1     ✓   
II.2     ✓   
II.3     ✓   
III.1     ✓   
IV.1   ✓     
IV.II   ✓     
 Fuente: Tomado y adaptado de Jaime (1993) 
68 
Tabla 12: Tipo de respuestas de CM 
Ejercicio Tipo de respuesta T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 
I.1       ✓ 
I.2      ✓  
II.1      ✓  
II.2      ✓  
II.3      ✓  
III.1      ✓  
IV.1     ✓   
IV.II     ✓   
 Fuente: Tomado y adaptado de Jaime (1993) 
Tabla 13: Tipo de respuestas de JO 
Ejercicio Tipo de respuesta T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 
I.1       ✓ 
I.2     ✓   
II.1      ✓  
II.2     ✓   
II.3     ✓   
III.1     ✓   
IV.1   ✓     
IV.II      ✓  
 Fuente: Tomado y adaptado de Jaime (1993) 
Niveles de Van Hiele relacionados al tipo de respuesta del estudiante 
A partir del tipo de respuestas determinadas en los test de razonamiento de los estudiantes, 
se organizó en la tabla 14 los Niveles de Van Hiele relacionados a cada ejercicio y cada 
respuesta. En cada columna se organiza con las iniciales de los estudiantes.   
Tabla 14: Niveles de Van Hiele en relación al tipo de respuesta por cada estudiante 
Ejercicio OS LH CM JO Nivel/Tipo9 Nivel/Tipo Nivel/Tipo Nivel/Tipo 
I.1 1/7 1/7 1/7 1/7 
I.2 2/6 2/6 2/6 2/5 
II.1 1/6 1/5 1/6 1/6 
II.2 2/5 2/5 2/6 2/5 
II.3 2/5 2/5 2/6 2/5 
                                               
9 Nivel, hace referencia al Nivel de Va Hiele. 
  Tipo, hace referencia al tipo de respuesta. 
69 
III.1 2/4 2/5 2/6 2/5 
IV.1 3/5 3/3 3/5 3/3 
IV.II 3/3 3/3 3/5 3/6 
 Fuente: Tomado y adaptado de Jaime (1993) 
Grado de adquisición de los Niveles de Van Hiele 
Una vez organizados los tipos de respuestas al test de razonamiento y los niveles 
vinculados a cada uno, en la siguiente tabla se organiza la ponderación del grado de 
adquisición de los niveles (1, 2 y 3) por cada ejercicio. 
  Tabla 15 y 16: Grado de adquisición de los Niveles de Van Hiele por estudiante 
Ejercicio OS LH Nivel 1 Nivel 2 Nivel 3 Nivel 1 Nivel 2 Nivel 3 
I.1 100 - - 100 - - 
I.2 100 80 - 100 80 - 
II.1 80 - - 75 - - 
II.2 - 75 - - 75 - 
II.3 - 75 - - 75 - 
III.1 - 50 - - 75 - 
IV.1 - 100 75 - 100 25 
IV.II - - 25 - - 25 
Gr 93% 76% 50% 92% 81% 25% Completa Alta Media Completa Alta Baja 
  
Ejercicio CM JO Nivel 1 Nivel 2 Nivel 3 Nivel 1 Nivel 2 Nivel 3 
I.1 100 - - 100 - - 
I.2 100 80 - 100 75 - 
II.1 80 - - 80 - - 
II.2 - 80 - - 75 - 
II.3 - 80 - - 75 - 
III.1 - 80 - - 75 - 
IV.1 - 100 75 - 100 25 
IV.II - - 75 - - 80 
Gr 93% 84% 75% 93% 80% 52% Completa Alta Alta Completa Alta Media 
 Fuente: Tomado y adaptado de Jaime (1993) 
A partir de lo recogido en las tablas 15 y 16, se observa que los cuatro estudiantes que 
participaron del estudio presentan un grado de adquisición “completo” respecto al nivel 
1. Es decir, todos estos estudiantes no mostraron dificultades en desarrollar los tres 
ejercicios planteados para dicho nivel. Asimismo, de acuerdo a Gutiérrez y Jaime (1994), 
las respuestas de estos alumnos demuestran manejo de percepción global de los triángulos 
70 
y cuadriláteros en base a sus características físicas. También, emplean definiciones en 
base a atributos generales como se observó en el ejercicio I.2 del test.  
En relación a los grados de adquisición del nivel 2, se aprecia en las tablas 15 y 16 que 
los cuatro estudiantes alcanzaron un grado de adquisición “alto” respecto a dicho nivel. 
Este grado de adquisición significa que los estudiantes son capaces de identificar los 
triángulos y cuadriláteros en base a algunas propiedades matemáticas, de igual manera, 
emplean dichas propiedades con cierto grado de dificultad al definir los triángulos y 
cuadriláteros (Gutiérrez y Jaime, 1994). De los cuatro estudiantes, CM presenta un grado 
de adquisición más alto que OS, con una diferencia de 8%. Uno de los ejercicios que 
sustenta esta diferencia es el III.1, en el que se aprecia como CM a diferencia de OS señala 
más de una característica de las figuras relacionadas a los lados y los ángulos. 
Por último, respecto al nivel 3, los niños alcanzan distintos grados de adquisición. LH 
alcanza un grado “bajo” respecto a este nivel 3, JO y OS alcanzan un grado “medio”, y 
CM alcanza un grado “alto” del mismo nivel. Respecto a LH, este alcanza grado “bajo” 
ya que apoya sus justificaciones en percepciones globales sobre los triángulos y 
cuadriláteros. Por su parte JO y OS, quienes alcanzan un grado “medio” del nivel 3, 
emplean algunas propiedades elementales relacionadas a los triángulos y cuadriláteros 
para justificar sus respuestas; se aprecia como en muchas de sus respuestas estas 
propiedades son memorizadas pues pese a que son correctas las emplean erróneamente. 
En relación a CM, quien obtuvo grado “alto” de adquisición del nivel 3, se observa que 
en la mayoría de sus justificaciones emplea propiedades relacionadas a las características 
de los triángulos y cuadriláteros.  
 
 
 
 
 
 
71 
CONCLUSIONES 
Los resultados del test de razonamiento geométrico permitieron identificar y analizar los 
distintos grados de adquisición de los niveles de Van Hiele presentes en cuatro estudiantes 
de 5to de primaria de una IE particular de Lima metropolitana respecto al tema de 
triángulos y cuadriláteros. En este punto se exponen las principales conclusiones a las que 
se llegó tras finalizar el trabajo de investigación.    
En primer lugar, se encontró que los cuatro estudiantes presentan un grado de adquisición 
completo respecto al nivel 1 o nivel de “visualización”. Esto quiere decir que todos estos 
estudiantes no mostraron dificultades en desarrollar los tres ejercicios planteados para 
dicho nivel. Los mismos han demostrado dominio de su percepción global para identificar 
y caracterizar triángulos y cuadriláteros, empleando definiciones para estas figuras que 
parten de sus atributos generales.   
Asimismo, los cuatro estudiantes presentan un grado de adquisición alto respecto al nivel 
2 o nivel de “análisis”, lo cual demuestra la capacidad que poseen para identificar y definir 
triángulos y cuadriláteros en base a algunas propiedades matemáticas. Por su parte, solo 
uno de los cuatro estudiantes presenta un grado de adquisición alto respecto al nivel 3 o 
nivel de “clasificación”, lo que significa que en la mayoría de sus justificaciones emplea 
correctamente las propiedades de ambas figuras.  
De igual manera, es importante señalar que las habilidades del razonamiento geométrico 
en los niños varían gradualmente de acuerdo a los niveles de Van Hiele. Así, si la 
habilidad de identificación de un estudiante es alta en el nivel 1, en el nivel 3, por ejemplo, 
podría descender.  
Respecto a la habilidad de razonamiento geométrico relacionada a la identificación, esta 
desarrolló una constante en todo el estudio. En la mayoría de respuestas, se observa como 
los estudiantes se apoyan de esta habilidad basándose en la percepción global de las 
figuras o en sus características físicas.  
En cuanto a las habilidades de razonamiento geométrico relacionadas a la definición y 
clasificación, estas se basaron en propiedades básicas de los triángulos y cuadriláteros 
tales como el número de lados o ángulos de dichas figuras.  
72 
Por otro lado, cabe resaltar que los estudiantes emplean un lenguaje matemático diverso 
para responder y justificar las preguntas del test. El vocabulario que presentan los 
alumnos va desde el uso de palabras coloquiales hasta el uso de palabras matemáticas 
establecidas por convención, como por ejemplo “cuadrado largo” o “figura de cuatro 
lados”.  
Tras el análisis de investigación, se observaron las propiedades de los niveles de Van 
Hiele, sobre todo, se aprecia como la continuidad de los niveles permite a los niños poseer 
distintos grados de adquisición, y cómo el lenguaje geométrico varía de niño a niño, desde 
usar un vocabulario cotidiano a usar un vocabulario más especializado. Los estándares o 
desempeños de aprendizaje presentados al inicio de la investigación que están 
relacionados a quinto grado de primaria, guardan consecuencia con lo recogido en el test.  
A partir de los resultados de la presente investigación, se concluye también que es 
importante para los docentes conocer los grados de adquisición de los niveles de 
razonamiento geométrico o niveles de Van Hiele. De tal manera que pueda enfatizar en 
posibles errores, dificultades o asegurar la comprensión de propiedades relacionadas, por 
ejemplo, a los polígonos.  
Por último, en el presente estudio se aprecia la diversidad y complejidad del razonamiento 
geométrico en cada estudiante, quienes pese a pertenecer al mismo grado y compartir 
ciertas características, desarrollan habilidades de razonamiento geométrico en distintos 
grados de acuerdo a los niveles de Van Hiele.   
 
 
 
 
 
 
 
73 
RECOMENDACIONES 
A continuación, se exponen algunas recomendaciones que pueden ser trabajadas en 
futuras investigaciones relacionadas al tema desarrollado en el presente estudio:  
1. Respecto a la caracterización de los niveles de razonamiento geométrico, se 
sugiere centrarse en un solo elemento de la geometría. Así, por ejemplo, si se 
quiere saber el razonamiento geométrico de los estudiantes respecto a los 
polígonos, deberá establecerse o seleccionarse una familia de polígonos en 
específico. En el presente estudio se trabajó con dos familias de figuras 
geométricas planas: cuadriláteros y triángulos, por lo que la investigación tuvo 
cuidado al trabajar las distintas propiedades y características de cada una de ellas.   
2. En relación a la descripción de los niveles de razonamiento geométrico según 
Van Hiele, se sugiere que la investigación parta por el enfoque de grados de 
adquisición de los niveles. Este enfoque permite conocer que procedimientos y 
habilidades matemáticas están detrás de la determinación de los grados de 
adquisición de los niveles de Van Hiele.    
3. Se sugiere que el test de razonamiento geométrico, empleado para caracterizar 
los niveles de Van Hiele en los estudiantes, presente un número reducido de 
ejercicios, de tal manera que permita determinar el grado de adquisición de dichos 
niveles y al mismo tiempo no sea agotador al ser resuelto.  
4. Asimismo, es favorable ofrecer a los estudiantes ejercicios que no solo muestren 
el razonamiento de los niños a través de los resultados (cálculos), sino también 
que promueven el desarrollo de distintas habilidades matemáticas como: 
demostración, comparación, argumentación, interpretación, entre otras.  
5. Respecto a los docentes, es importante adquirir en nuestra práctica diaria ojos de 
investigador/a, por lo que aplicar este tipo de pruebas permite recabar  
información necesaria para responder a las necesidades de nuestros estudiantes.   
6. Por último, es importante que el MINEDU, como organismo principal de la 
educación peruana, promueva prácticas docentes que se interesen por estudiar o 
reconocer los distintos procesos de pensamiento que están detrás de cada campo 
de la geometría o las matemáticas. 
 
 
74 
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
Akkaya, R., Celebi Akkaya, S. y Erdogan, T. (2009). The Effect of the Van Hiele Model 
Based Instruction on the Creative Thinking Levels of 6th Grade Primary School 
Students. Recuperado de http://files.eric.ed.gov/fulltext/EJ837779.pdf 
Aravena, M., Gutiérrez, A. y Jaime, A. (2016). Estudio de los niveles de razonamiento de 
Van Hiele en alumnos de centros de enseñanza vulnerables de educación media 
en Chile. Educación de las Ciencias, 34 (1), 107-128. Recuperado de 
http://www.raco.cat/index.php/Ensenanza/article/view/306639/396634 
Arias, F. (2012). El proyecto de Investigación. Introducción a la metodología científica. 
Recuperado de: http://ebevidencia.com/wp-content/uploads/2014/12/EL-
PROYECTO-DE-INVESTIGACI%C3%93N-6ta-Ed.-FIDIAS-G.-ARIAS.pdf 
Barrantes, R. (1997). Investigación: Un camino al conocimiento. Un enfoque cualitativo 
y cuantitativo. Costa Rica: EUNED 
Corberán, R., Gutiérrez, A., Huerta, M., Margarit, J., Pascual, A., Pastor A. y Ruiz, E. 
(1994). Diseño y evaluación de una propuesta curricular de aprendizaje de la 
geometría en enseñanza secundaria basada en el Modelo de razonamiento de Van 
Hiele. Madrid, España: Ministerio de Educación y Ciencias. 
Corberán, R., Huerta, P., Margarit, J., Peñas, A. y Ruiz, E. (1989). Didáctica de la 
Geometría: Modelo Van Hiele. España: Edició Valencia 
Corporativo Enlace. (2014, Enero 27) Diferencias entre la Investigación Cualitativa y 
Cuantitativa [Archivo de video]. Recuperado de 
https://www.youtube.com/watch?v=hDD7yv1mHDI 
De Villiers, M. (2012). Some Reflections on the Van Hiele theory. National Mathematics 
Congress. Conferencia llevada a cabo en Swakopmund, Namibia. Recuperado de 
https://www.researchgate.net/publication/264495589_Some_Reflections_on_the
_Van_Hiele_theory 
75 
Díaz, B. & Sime, P. (2009). La explicitación de la metodología de investigación. Un 
vistazo. Recuperado de http://blog.pucp.edu.pe/blog/wp-
content/uploads/sites/184/2009/02/boletin2.pdf 
Gamboa, R. y Vargas, G. (2013). El modelo de Van Hiele y la enseñanza de la geometría. 
Uniciencia, 27 (1), 74-94. Recuperado de 
https://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=4945319 
Godino, J. (2004). Didáctica de las Matemáticas para maestros. Recuperado de 
https://www.ugr.es/~jgodino/edumat-maestros/manual/9_didactica_maestros.pdf 
Guillén, G. (2004). El modelo de Van Hiele aplicado a la geometría de los sólidos: 
describir, clasificar, definir y demostrar como componentes de la actividad 
matemática. Educación Matemática, 16 (3), 103-125. Recuperado de 
http://www.redalyc.org/html/405/40516306/ 
Gutiérrez, A. y Jaime, A. (2012). Reflexiones sobre la enseñanza de la geometría en 
primaria y secundaria. Revista de la Facultad de Ciencias Económicas, (32), 55-
70. Recuperado de http://www.scielo.org.co/pdf/ted/n32/n32a05.pdf 
Gutiérrez, A. y Jaime, A. (1996). El Modelo de Razonamiento Geométrico de Van Hiele. 
El Grupo de las Isometrías del Plano (85-97). Madrid, España: Editorial Síntesis, 
S. A. 
Gutiérrez, A. y Jaime, A. (1994). A model of test design to assess the Van Hiele levels. 
Proceeding of the 18 th PME conference, Lisboa, (2), 41-48. Recuperado de 
https://www.researchgate.net/publication/237561733_A_model_of_test_design_
to_assess_the_Van_Hiele_levels 
Gutiérrez, A., Jaime, A. y Fortuny, J. (1991). An alternative paradigm to evaluate the 
acqusion of the van hiele levels. Journal for research in Mathematics Education, 
22 (3), 237-251. Recuperado de 
https://www.uv.es/angel.gutierrez/archivos1/textospdf/GutJaiFor91.pdf 
Gutiérrez, Á., y A. Jaime (1991). El modelo de razonamiento de Van Hiele como marco 
para el aprendizaje comprensivo de la geometría. Un ejemplo: Los giros. 
Educación Matemática, (3). México: Editorial Iberoamérica 
76 
Hernández, S., Fernández, C. y Baptista, L. (2010). Metodología de la investigación. 
México: McGraw-Hill. 
Jaime, A. (1993). Aportaciones a la interpretación y aplicación del modelo de van hiele: 
la enseñanza de las isometrías del plano. La evaluación del nivel de 
razonamiento. Valencia: Tesis Doctoral. Recuperado de 
https://www.uv.es/gutierre/archivos1/textospdf/Jai93.pdf 
Jara, L. (2015). Niveles de razonamiento según el modelo de van hiele que alcanzan los 
estudiantes del primer año de secundaria al abordar actividades sobre 
paralelogramos (tesis para optar grado de Magíster). Pontificia Universidad 
Católica del Perú, Lima, Perú.    
Kitzinger, J. (1995). Introducing focus group. US National Library of Medicine National 
Institutes of Health. Recuperado de 
https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC2550365/pdf/bmj00603-
0031.pdf 
Lobo, N. (2004). Aplicación del modelo propuesto en la Teoría de Van Hiele para la 
enseñanza de la geometría. Multiciencias, 4. Recuperado de 
http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=90440104 
Maguiña, A. (2013). Una propuesta didáctica para la enseñanza de los cuadriláteros 
basada en el modelo Van Hiele. Lima: Tesis Maestría. Recuperado de 
http://tesis.pucp.edu.pe/repositorio/bitstream/handle/123456789/4733/MAGUI%
C3%91A_ROJAS_ALBERT_PROPUESTA_CUADRILATEROS.pdf?sequence
=1&isAllowed=y 
Martínez, M. (1999). La investigación cualitativa etnográfica en educación. México: 
Trillas. 
Moise, E. y Downs, F. (1986). Geometría Moderna. México: Sistemas Técnicos de 
Edición 
Ministerio de Educación del Perú. (2016). Área de Matemática. Programa Curricular de 
Educación Primaria, 230-271. Recuperado de 
http://www.minedu.gob.pe/curriculo/pdf/programa-primaria-16-marzo.pdf 
77 
Ministerio de Educación del Perú. (2017). Cuaderno de trabajo de 6to grado, Educación 
Primaria. Matemática. Recuperado de 
http://repositorio.minedu.gob.pe/handle/MINEDU/5260 
Ministerio de Educación del Perú. (2017). Programas curriculares de la Educación Básica 
Regular. Currículo Nacional de la Educación Básica. Recuperado de 
http://www.minedu.gob.pe/curriculo/ 
Salvat Editores. (2004). Triángulos. En La Enciclopedia. Vol. 19, p.15135-15137. 
Madrid, España: Salvat Editores.  
Salvat Editores. (2004). Cuadriláteros. En La Enciclopedia. Vol. 19, p.4075-4076. 
Madrid: Salvat Editores.  
Suárez, M. (2017). Módulo 4: Desarrollo de la Investigación. Seminario de Tesis 2. 
Estudios empíricos. Lima: Maestría en Integración e Innovación Educativa de las 
TIC.v 
Uribe, S.; Cárdenas, O. y Becerra Martínez, J. (2014). Teselaciones para niños: una 
estrategia para el desarrollo del pensamiento geométrico y espacial de los niños. 
Educación Matemática, vol. 26, núm. 2, pp. 135-160 
Venegas, M. (2015). Niveles de razonamiento geométrico de Van Hiele al resolver 
problemas geométricos: un estudio con alumnos de 13 a 16 años en Cantabria 
(tesis para optar grado de Magíster). Universidad de Cantabria, Cantabria, España. 
Recuperado de 
https://repositorio.unican.es/xmlui/bitstream/handle/10902/6837/VenegasPerezIr
ene.pdf;sequence=1 
Vitruvio, M. (s.f). Los diez Libros de Arquitectura. Recuperado de https://www.u-
cursos.cl/fau/2015/0/AO104/1/foro/r/1_Vitrubio_Los_diez_Libros_de_Architect
ura.pdf 
 
 
 
78 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANEXOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
79 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Anexo 1 
Test de razonamiento geométrico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
80 
A continuación, encontrarás cuatro actividades, presta mucha atención y 
resuelve cada una de ellas. 
ACTIVIDAD I 
1. Observa las siguientes figuras, luego escribe una “X” dentro de los triángulos 
y una “Y” dentro de los cuadriláteros. 
 
 
 a) 
b) c) 
 
 
 
 
 
 d) 
e) f) 
 
 
 
 
 
 
 
g) h) i) 
 
 
 
  
j) k) 
81 
2. Responde lo siguiente: 
a) ¿Cómo sabes qué figuras son triángulos y qué figuras no son triángulos? 
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________ 
 
b) ¿Cómo sabes qué figuras son cuadriláteros y qué figuras no son 
cuadriláteros? 
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________ 
 
c) Escribe la letra de las figuras que no son triángulos y explica, en cada 
caso, ¿por qué no son triángulos?  
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________ 
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________ 
 
d) Escribe el número de las figuras que no son cuadriláteros y explica, en 
cada caso, ¿por qué no son cuadriláteros?  
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________ 
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________ 
 
 
 
 
82 
ACTIVITY II 
1. Observa cada figura y escribe todos sus posibles nombres en las líneas de la 
derecha: 
Figura  
 Nombres posibles 
a)  
 
 
 
 
b)  
 
 
 
 
 
c)  
 
 
 
 
 
d)  
 
 
 
 
 
e)  
 
 
 
 
 
 
f)  
 
 
 
 
 
 
g)  
 
83 
2. A partir de las respuestas anteriores, completa los siguientes espacios en 
blanco:  
Figura Nombre 1 Nombre 2 Nombre 3 
Es un _______________________, Es un _______________________, Es un _______________________, 
porque _____________________ porque _____________________ porque _____________________ 
a) 
_____________________________ _____________________________ _____________________________ 
_____________________________ _____________________________ _____________________________ 
Es un _______________________, Es un _______________________, Es un _______________________, 
porque _____________________ porque _____________________ porque _____________________ 
b) 
_____________________________ _____________________________ _____________________________ 
_____________________________ _____________________________ _____________________________ 
Es un _______________________, Es un _______________________, Es un _______________________, 
porque _____________________ porque _____________________ porque _____________________ 
c) 
_____________________________ _____________________________ _____________________________ 
_____________________________ _____________________________ _____________________________ 
Es un _______________________, Es un _______________________, Es un _______________________, 
porque _____________________ porque _____________________ porque _____________________ 
d) 
_____________________________ _____________________________ _____________________________ 
_____________________________ _____________________________ _____________________________ 
Es un _______________________, Es un _______________________, Es un _______________________, 
porque _____________________ porque _____________________ porque _____________________ 
e) 
_____________________________ _____________________________ _____________________________ 
_____________________________ _____________________________ _____________________________ 
Es un _______________________, Es un _______________________, Es un _______________________, 
porque _____________________ porque _____________________ porque _____________________ 
f) 
_____________________________ _____________________________ _____________________________ 
_____________________________ _____________________________ _____________________________ 
Es un _______________________, Es un _______________________, Es un _______________________, 
porque _____________________ porque _____________________ porque _____________________ 
g) 
_____________________________ _____________________________ _____________________________ 
_____________________________ _____________________________ _____________________________  
 
3. Lee las siguientes definiciones:  
Triángulo: es un polígono que tiene tres lados y tres ángulos. 
Romboide: es un cuadrilátero que tiene dos pares de lados paralelos. 
Rectángulo: es un cuadrilátero que tiene dos pares de lados paralelos y cuatro ángulos rectos. 
Rombo: es un cuadrilátero que tiene dos pares de lados paralelos y cuatro lados de igual 
medida. 
Cuadrado: es un cuadrilátero que tiene dos pares de lados paralelos cuyos lados son de igual 
medida y cuyos ángulos son todos rectos. 
Trapecio: es un cuadrilátero que tiene un par de lados paralelos. 
84 
Ahora, para cada figura mostrada en la página 4 y con ayuda de las 
definiciones dadas, completa los siguientes espacios en blanco. 
Figura Nombre 1 Nombre 2 Nombre 3 
Es un _______________________, Es un _______________________, Es un _______________________, 
porque _____________________ porque _____________________ porque _____________________ 
a) 
_____________________________ _____________________________ _____________________________ 
_____________________________ _____________________________ _____________________________ 
Es un _______________________, Es un _______________________, Es un _______________________, 
porque _____________________ porque _____________________ porque _____________________ 
b) 
_____________________________ _____________________________ _____________________________ 
_____________________________ _____________________________ _____________________________ 
Es un _______________________, Es un _______________________, Es un _______________________, 
porque _____________________ porque _____________________ porque _____________________ 
c) 
_____________________________ _____________________________ _____________________________ 
_____________________________ _____________________________ _____________________________ 
Es un _______________________, Es un _______________________, Es un _______________________, 
porque _____________________ porque _____________________ porque _____________________ 
d) 
_____________________________ _____________________________ _____________________________ 
_____________________________ _____________________________ _____________________________ 
Es un _______________________, Es un _______________________, Es un _______________________, 
porque _____________________ porque _____________________ porque _____________________ 
e) 
_____________________________ _____________________________ _____________________________ 
_____________________________ _____________________________ _____________________________ 
Es un _______________________, Es un _______________________, Es un _______________________, 
porque _____________________ porque _____________________ porque _____________________ 
f) 
_____________________________ _____________________________ _____________________________ 
_____________________________ _____________________________ _____________________________ 
Es un _______________________, Es un _______________________, Es un _______________________, 
porque _____________________ porque _____________________ porque _____________________ 
g) 
_____________________________ _____________________________ _____________________________ 
_____________________________ _____________________________ _____________________________  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
85 
ACTIVIDAD III 
1. Lee las siguientes definiciones: 
Figura A: Es un cuadrilátero que tiene un par de lados paralelos. 
Figura B: Es un triángulo que tiene lados distintos y uno de sus ángulos es recto. 
De acuerdo a las definiciones dadas dibuja la figura A y la figura B, y escribe 
para cada una su nombre y sus características.  
Figura A Figura B 
Nombre: Nombre: 
Características: Características: 
_________________________________________ _________________________________________ 
_________________________________________ _________________________________________ 
_________________________________________ _________________________________________ 
_________________________________________ _________________________________________ 
_________________________________________ _________________________________________ 
_________________________________________ _________________________________________ 
_________________________________________ _________________________________________ 
Dibujo: Dibujo: 
  
  
86 
ACTIVIDAD IV 
1. Lee los siguientes enunciados y escribe V si son verdaderas o F si son falsas. 
Luego, escribe una justificación para tus respuestas.   
 
Enunciado V/F Justificación 
a) La suma de los ángulos _______________________________________________________ 
interiores de un  _______________________________________________________ 
triángulo es igual a 90°.     _______________________________________________________ 
b) Los triángulos 
_______________________________________________________ 
equiláteros tienen solo 
 _______________________________________________________ 
dos ángulos de igual 
_______________________________________________________ 
medida. 
_______________________________________________________ 
c) Todos los cuadrados 
 _______________________________________________________ 
son rectángulos. 
_______________________________________________________ 
_______________________________________________________ 
d) Todos los rombos son 
 _______________________________________________________ 
cuadrados 
_______________________________________________________ 
e) Todos los triángulos _______________________________________________________ 
equiláteros son  _______________________________________________________ 
triángulos isósceles.  _______________________________________________________ 
f) Todos los _______________________________________________________ 
paralelogramos son  _______________________________________________________ 
trapecios _______________________________________________________ 
 
2. Lee atentamente siguientes propiedades: 
 Es una figura geométrica formada por cuatro segmentos.  
 Es una figura geométrica que tiene lados opuestos que son paralelos. 
 Es una figura geométrica que tiene cuatro lados de igual medida. 
 Es una figura geométrica cuyos ángulos opuestos tienen igual 
medida. 
A partir de las propiedades dadas, escribe el nombre o nombres de la figura 
o figuras que cumplen con estas propiedades y justifica tu respuesta. 
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________ 
___________________________________________________________________ 
87 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Anexo 2 
Matriz de coherencia de investigación 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
88 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
89 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Anexo 3 
Cronograma de trabajo
90 
 
91